1、内容索引010203自主预习 新知导学合作探究 释疑解惑随堂练习课标定位素养阐释1.理解两条直线平行或垂直的充要条件.2.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.3.能利用两条直线平行或垂直的条件解决有关问题.4.发展直观想象、数学抽象、逻辑推理和数学运算素养.自主预习 新知导学一、两条直线平行与斜率之间的关系【问题思考】1.如图,设两条不重合的直线l1与l2,其倾斜角分别为1与2,斜率分别为k1,k2.若l1l2,则1与2之间有什么关系?k1与k2之间有什么关系?提示:1与2之间的关系为1=2.对于k1与k2之间的关系,当1=290时,因为1=2,所以tan 1=tan 2,即k1=k2;当1=2
2、=90时,k1,k2不存在.2.对于两条不重合的直线l1与l2,若k1=k2,是否一定有l1l2?为什么?提示:一定有l1l2.因为k1=k2tan 1=tan 21=2l1l2.3.填表:两条直线平行与斜率之间的关系设两条不重合的直线l1,l2的倾斜角分别为1,2,当斜率都存在时,分别为k1,k2,则对应关系如下表所示.4.做一做:已知直线l1经过(-1,-2),(-1,4)两点,直线l2经过(2,1),(x,6)两点,若l1l2,则x=.解析:由题意知l1x轴.因为l1l2,所以l2x轴.所以x=2.答案:2二、两条直线垂直与斜率之间的关系【问题思考】1.设两条直线l1,l2的斜率分别为k
3、1,k2,方向向量分别为a,b,请用k1,k2写出向量a,b的坐标.提示:a=(1,k1),b=(1,k2).2.如果l1l2,那么方向向量a,b有什么关系?你会得出怎样的关系式?提示:ab.l1l2abab=011+k1k2=0,即k1k2=-1.3.当直线l1或l2的倾斜角为0时,若l1l2,则另一条直线的倾斜角是多少?提示:90,如图,当直线l1的倾斜角为0时,若l1l2,则l2的倾斜角为90,其斜率不存在.4.填表:两条直线垂直与斜率的关系5.做一做:已知直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,且k1=2,l1l2,则k2=.解析:l1l2,【思考辨析】判断下列说法是否正确,正确的在后面
4、的括号内画“”,错误的画“”.(1)若两条直线平行,则斜率一定相等.()(2)斜率相等的两条直线(不重合)一定平行.()(3)只有斜率之积为-1的两条直线才垂直.()(4)若两条直线垂直,则斜率乘积为-1.()合作探究 释疑解惑探究一探究二探究三易错辨析探究一两条直线平行【例1】(1)下列各对直线互相平行的是()A.经过A(0,1),B(1,0)两点的直线l1与经过M(-1,3),N(2,0)两点的直线l2B.经过A(-1,-2),B(1,2)两点的直线l1与经过M(-2,-1),N(0,-2)两点的直线l2C.经过A(1,2),B(1,3)两点的直线l1与经过C(1,-1),D(1,4)两点
5、的直线l2D.经过A(3,2),B(3,-1)两点的直线l1与经过M(1,-1),N(3,2)两点的直线l2(2)已知ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1),B(1,0),C(4,3),则顶点D的坐标为.分析:对于(1),判断两条直线是否平行,若斜率存在,看直线的斜率是否相等,若斜率不存在,结合图形判断;对于(2),利用两条直线平行,当斜率存在时,斜率相等,列出方程组,求出点D的坐标.探究一探究二探究三易错辨析探究一探究二探究三易错辨析(2)设顶点D的坐标为(x,y),则x4,x0.点D的坐标为(3,4).答案:(1)A(2)(3,4)反思感悟 1.判断两条直线是否平行,应先看两直线的斜率
6、是否存在,若都不存在,则平行(不重合的情况下);若存在,再看是否相等,若相等,则平行(不重合的情况下).2.已知两条直线平行,求某参数值时,也应分斜率存在与不存在两种情况求解.探究一探究二探究三易错辨析【变式训练1】直线l1的斜率为2,l1l2,直线l2经过点(-1,1)且与y轴交于点P,则点P的坐标为()A.(3,0)B.(-3,0)C.(0,-3)D.(0,3)解析:k1=2,且l1l2,k2=2.答案:D 探究一探究二探究三易错辨析探究二两条直线垂直【例2】(1)直线l1经过点A(3,2),B(3,-1),直线l2经过点M(1,1),N(2,1),判断l1与l2是否垂直;(2)已知直线l
7、1经过点A(3,a),B(a-2,3),直线l2经过点C(2,3),D(-1,a-2),若l1l2,求a的值.分析:(1)若斜率存在,求出斜率,利用垂直的条件判断;若一条直线的斜率不存在,再看另一条直线的斜率是否为0,若为0,则垂直.(2)当两条直线的斜率都存在时,由斜率之积等于-1求解;若其中一条直线的斜率不存在,则由另一条直线的斜率为0求解.探究一探究二探究三易错辨析解:(1)因为直线l1的斜率不存在,直线l2的斜率为0,所以l1l2.(2)由题意,知l2的斜率k2一定存在,l1的斜率可能不存在.当l1的斜率不存在时,3=a-2,解得a=5,此时k2=0,则l1l2,符合题意.综上所述,a
8、的值为0或5.反思感悟 两条直线垂直需判定k1k2=-1,使用它的前提是两条直线的斜率都存在,若其中一条直线斜率不存在,另一条直线斜率为零,此时两直线也垂直,注意讨论的全面性.探究一探究二探究三易错辨析【变式训练2】已知直线l1的斜率k1=,直线l2经过点A(3a,-2),B(0,a2+1),且l1l2,则实数a=.解析:由题意知直线l2的斜率存在,则3a0,即a0.答案:1或3 探究一探究二探究三易错辨析探究三直线平行与垂直关系的综合应用【例3】已知A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)四点,若顺次连接A,B,C,D四点,试判定图形ABCD的形状.分析:先由图形判断四边形
9、各边的关系,猜测四边形的形状,再由斜率之间的关系完成证明.探究一探究二探究三易错辨析解:A,B,C,D四点在平面直角坐标系中的位置如图所示,kAB=kCD,且由图知AB与CD不重合,ABCD.由kADkBC,知AD与BC不平行.又kABkAD=(-3)=-1,ABAD.故四边形ABCD为直角梯形.探究一探究二探究三易错辨析已知矩形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1),B(1,0),C(3,2),则点D的坐标为.解析:设点D的坐标为(x,y).点D(2,3).答案:(2,3)探究一探究二探究三易错辨析方法总结 利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤探究一探究二探究三易错辨析【变式训练3】
10、已知A(1,-1),B(2,2),C(3,0)三点,且有一点D满足CDAB,CBAD,则点D的坐标为()A.(-1,0)B.(0,-1)C.(1,0)D.(0,1)解析:设D(x,y).因为直线AB的斜率不为0,直线CB的斜率存在,所以直线CD,AD的斜率存在.答案:D 探究一探究二探究三易错辨析【易错辨析】求参数时因忽视斜率不存在的情况致误【典例】已知A(-m-3,2),B(-2m-4,4),C(-m,m),D(3,3m+2)四点,若直线ABCD,求m的值.m的值为1.探究一探究二探究三易错辨析以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:本题出错的原因正是忽视
11、了斜率公式应用的前提,这类问题的解决方式应分斜率存在和不存在两种情况讨论.正解:A,B两点纵坐标不相等,AB与x轴不平行.ABCD,CD与x轴不垂直,-m3,即m-3.当AB与x轴垂直时,-m-3=-2m-4,解得m=-1.当m=-1时,点C,D的纵坐标均为-1.CDx轴,此时ABCD,符合题意.探究一探究二探究三易错辨析当AB与x轴不垂直时,m-1,综上,m的值为-1或1.防范措施 两条直线垂直k1k2=-1的前提条件是k1,k2均存在,且不为零.当一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0时,两条直线也垂直.探究一探究二探究三易错辨析【变式训练】已知A(m-1,2),B(1,1),C(3,
12、m2-m-1)三点,若ABBC,则m的值为.综上,若ABBC,则m=2或m=-3.答案:2或-3随堂练习1.已知经过点A(-2,m),B(m,4)的直线与斜率为-2的直线平行,则m的值为()A.0B.-8C.2D.10解析:由题意得经过A,B两点的直线的斜率存在,则m-2.答案:B 2.已知三角形三个顶点的坐标分别为A(4,2),B(1,-2),C(-2,4),则BC边上的高所在直线的斜率为()答案:C 3.以点A(-1,1),B(2,-1),C(1,4)为顶点的三角形是()A.锐角三角形B.钝角三角形C.以点A为直角顶点的直角三角形D.以点B为直角顶点的直角三角形kABkAC=-1,ABAC,即A为直角.答案:C4.直线l1的斜率为2,直线l2上有三点M(3,5),N(x,7),P(-1,y),若l1l2,则x=,y=.解析:l1l2,且l1的斜率为2,答案:-17
