1、内容索引010203自主预习 新知导学合作探究 释疑解惑随堂练习课标定位素养阐释1.通过抛物线与其方程的学习,进一步体会数形结合思想的应用.2.会用方程、数形结合思想解决直线与抛物线的位置关系.3.能运用直线与抛物线的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题.4.掌握抛物线中的定点与定值问题的求解方法.5.提升直观想象、逻辑推理与数学运算素养.自主预习 新知导学一、直线与抛物线的位置关系【问题思考】1.类比直线与椭圆、直线与双曲线的位置关系,思考直线与抛物线有几种位置关系?怎样判断其位置关系?提示:直线与抛物线的位置关系有相离、相交、相切三种.判断方法是联立直线与抛物线方程,转化为关于x(或y)的方
2、程,利用方程的解来判断.2.设直线l:y=kx+b与抛物线y2=2px(p0),两方程联立消去y,会得到一个什么样的方程?怎样判断这个方程的解的个数?提示:两方程联立消去y,得k2x2+2(kb-p)x+b2=0.当k=0时,方程有一解;当k0时,0方程有两解;=0方程有一解;0)的交点个数决定于关于x的方程组解的个数,即方程k2x2+2(kb-p)x+b2=0解的个数.(1)当k=0时,直线与抛物线的对称轴平行或重合,此时直线与抛物线有一个公共点.(2)当k0时,0直线与抛物线有两个不同的公共点,此时称直线与抛物线相交;=0直线与抛物线有一个公共点,此时称直线与抛物线相切;0),则()A.直
3、线与抛物线有一个公共点B.直线与抛物线有两个公共点C.直线与抛物线有一个或两个公共点D.直线与抛物线可能没有公共点解析:直线方程可化为y=k(x-1),因此直线恒过定点(1,0),点(1,0)在抛物线y2=2px(p0)的内部,因此直线与抛物线有一个或两个公共点,故选C.答案:C二、抛物线的焦点弦【问题思考】1.过焦点的直线与抛物线相交所得的弦叫做焦点弦.若抛物线y2=2px(p0)的焦点弦的端点为A(x1,y1),B(x2,y2),则有以下结论:(1)|AB|=x1+x2+p;(2)当AB垂直于对称轴时,焦点弦最短;(5)以AB为直径的圆必与准线相切,以AF为直径的圆必与y轴相切.2.做一做
4、:(1)过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A,B两点,它们的横坐标之和等于5,则这样的直线()A.有且仅有一条B.有且仅有两条C.有无穷多条D.不存在(2)过抛物线y2=4x的焦点的直线交抛物线于A,B两点,O为坐标原点,则的值是()A.12B.-12C.3D.-3解析:(1)由定义|AB|=5+2=7,|AB|min=4,这样的直线有且仅有两条.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),答案:(1)B(2)D【思考辨析】判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”.(1)若直线与抛物线只有一个交点,则直线与抛物线一定相切.()(2)过抛物线x2=-2ay(a
5、0)的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段长为2a.()(3)设点A(x1,y1),B(x2,y2)在抛物线y2=2px(p0)上,且直线AB过抛物线的焦点,则y1y2=-p2.()(4)过点(0,1)作直线,使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点,这样的直线有2条.()合作探究 释疑解惑探究一探究二探究三规范解答探究一直线与抛物线的位置关系【例1】已知抛物线的方程为y2=4x,直线l过定点P(-2,1),斜率为k,当k为何值时,直线l与抛物线y2=4x只有一个公共点?有两个公共点?没有公共点?分析:直线与抛物线方程联立,根据“”的正负判断.解:由题意,直线l的方程为y-1=k(x+2
6、),探究一探究二探究三规范解答(2)当k0时,方程的判别式为=-16(2k2+k-1).探究一探究二探究三规范解答反思感悟 判断直线与抛物线的位置关系,一般是将直线与抛物线的方程联立消元,转化为形如一元二次方程的形式,注意讨论二项系数是否为0.若该方程为二次方程,利用判别式判断方程解的个数.探究一探究二探究三规范解答【变式训练1】若直线l:y=(a+1)x-1与曲线C:y2=ax(a0)恰好有一个公共点,试求实数a的取值集合.解:因为直线l与曲线C恰好有一个公共点,消去y,得(a+1)x-12=ax,即(a+1)2x2-(3a+2)x+1=0.(1)当a+1=0,即a=-1时,方程是关于x的一
7、元一次方程,解得x=-1,探究一探究二探究三规范解答(2)当a+10,即a-1时,方程是关于x的一元二次方程.令=(3a+2)2-4(a+1)2=a(5a+4)=0,探究一探究二探究三规范解答探究二与中点弦、焦点弦有关的问题【例2】(1)已知过点Q(4,1)作抛物线y2=8x的弦AB,恰被点Q所平分,则AB所在直线的方程为.解析:(方法一)设以Q为中点的弦AB的端点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),探究一探究二探究三规范解答消去x,得ky2-8y-32k+8=0,此方程的两根就是线段端点A,B两点的纵坐标,由根与系数的关系得y1+y2=.又y1+y2=2,k=4.所求弦AB所在直线的方
8、程为4x-y-15=0.答案:4x-y-15=0探究一探究二探究三规范解答(2)已知过抛物线y2=2px(p0)的焦点,斜率为2 的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x10)的焦点时,弦长|AB|=x1+x2+p.(3)求解“中点弦”问题的两种方法:探究一探究二探究三规范解答【变式训练2】已知抛物线y2=2x,过点Q(2,1)作一条直线交抛物线于A,B两点,试求弦AB的中点的轨迹方程.解法一:设A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB的中点为M(x,y),探究一探究二探究三规范解答探究一探究二探究三规范解答探究三证明抛物线的焦点弦结论【例3】已知过抛物线y2=2px(p0)的
9、焦点F的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点.求证:(1)x1x2是一个定值;分析:讨论斜率是否存在联立方程组消元,利用根与系数的关系可得探究一探究二探究三规范解答探究一探究二探究三规范解答探究一探究二探究三规范解答本题条件不变,求证:y1y2=-p2.证明:当斜率不存在时,y1=p,y2=-p,故y1y2=-p2.探究一探究二探究三规范解答反思感悟 直线与抛物线相交问题中有很多的定值问题,若该定值是个待求的未知量,则可以先利用特殊位置(如斜率不存在、斜率等于0等)找出该定值,再证明该定值即为所求.探究一探究二探究三规范解答【变式训练3】设抛物线C:y2=4x,F为C的焦点,过
10、F的直线l与C相交于A,B两点.(1)设l的斜率为2,求|AB|的大小;(1)解:依题意得F(1,0),故直线l的方程为y=2(x-1).设直线l与抛物线的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),所以|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=3+2=5.探究一探究二探究三规范解答(2)证明:设直线l的方程为x=ky+1,直线l与抛物线的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),探究一探究二探究三规范解答【规范解答】抛物线中的定点与定值问题【典例】如图,过抛物线 y2=x上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB,AC交抛物线于B,C两点,求证:直线BC的斜率是定值.审题策略:欲证明直线
11、BC的斜率为定值,可写出直线BC的方程,说明其斜率为定值,或直接用两点连线的斜率公式写出斜率kBC,然后说明斜率kBC的值与参数无关;而已知直线AB,AC过定点,且两直线倾斜角互补,故两直线方程可用同一参数(直线AB的斜率k)来表示.探究一探究二探究三规范解答规范展示:证明:设kAB=k(k0),直线AB,AC的倾斜角互补,kAC=-k(k0).AB的方程是y=k(x-4)+2.探究一探究二探究三规范解答答题模板:第1步,寻找直线AB,AC的斜率之间的关系第2步,写出直线AB的方程并与抛物线方程联立,利用根与系数的关系求出点B的横坐标第3步,根据AB,AC斜率之间的关系,写出点C的横坐标第4步
12、,利用两点连线的斜率公式写出直线BC的斜率,整理化简得到一个数值第5步,得出结论.探究一探究二探究三规范解答失误警示 通过阅卷统计分析,发现造成失分的原因主要如下:(1)不能根据AB与AC两直线的倾斜角互补,得出其斜率互为相反数,从而无法用一个参数设出直线方程;(2)直线方程与抛物线方程联立后,不能利用根与系数的关系正确地求得点B的横坐标;(3)考虑不到利用AB与AC的斜率互为相反数来写出点C的横坐标;(4)化简整理出现错误.探究一探究二探究三规范解答【变式训练】已知A,B是抛物线y2=2px(p0)上的两点,并满足OAOB,求证:(1)A,B两点的横坐标之积、纵坐标之积分别都是一个定值;(2
13、)直线AB经过一个定点.探究一探究二探究三规范解答证明:(1)因为AB的斜率不为0,所以设直线AB的方程为my=x+b,=(-2pm)2-8pb0.因为y1+y2=2pm,y1y2=2pb,又OAOB,所以x1x2+y1y2=0.所以b+2p=0,所以b=-2p.所以y1y2=-4p2,x1x2=b2=4p2.所以A,B两点的横坐标之积、纵坐标之积分别是4p2和-4p2,为定值.(2)因为AB的方程为my=x-2p,所以AB过定点(2p,0).随堂练习1.过点(2,4)作直线l,与抛物线y2=8x只有一个公共点,这样的直线l有()A.1条B.2条C.3条D.4条解析:由题意可知点(2,4)在抛
14、物线y2=8x上,故过点(2,4)与抛物线y2=8x只有一个公共点的直线有两条,一条是抛物线的切线,另一条与抛物线的对称轴平行.答案:B2.与直线2x-y+4=0平行的抛物线y=x2的切线方程为()A.2x-y+3=0B.2x-y-3=0C.2x-y+1=0D.2x-y-1=0得x2-2x-m=0.由=4+4m=0,得m=-1,故切线方程为2x-y-1=0.故选D.答案:D3.已知抛物线y2=2px(p0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为()A.x=1 B.x=-1C.x=2 D.x=-2答案:B 4.设抛物线x2=12y的焦
15、点为F,经过点P(2,1)的直线l与抛物线相交于A,B两点,又知点P恰为AB的中点,则|AF|+|BF|=.解析:分别过点A,B,P作准线的垂线(图略),垂足分别为M,N,Q,根据抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离,得|AF|+|BF|=|AM|+|BN|=2|PQ|=8.答案:85.已知抛物线C的顶点在原点,焦点在x轴上,且抛物线上有一点P(4,m)到焦点F的距离为5.(1)求抛物线C的方程;(2)若抛物线C与直线y=x-4相交于不同的两点A,B,求证:OAOB.直线y=x-4与抛物线相交于不同的两点A,B,可设A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1+x2=12,x1x2=16.
