1、内容索引010203自主预习 新知导学合作探究 释疑解惑随堂练习课标定位素养阐释1.进一步掌握双曲线的方程及其性质的应用.2.会判断直线与双曲线的位置关系.3.能运用直线与双曲线的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题.4.培养直观想象、逻辑推理与数学运算素养.自主预习 新知导学一、直线与双曲线的位置关系【问题思考】1.类比直线与椭圆的位置关系,思考直线与双曲线有几种位置关系?怎样判断其位置关系?提示:直线与双曲线的位置关系有相离、相交、相切三种.判断方法是联立直线与双曲线方程,转化为关于x(或y)的方程,利用方程的解来判断.2.设直线l:y=kx+m(m0),双曲线C:(a0,b0),两方程联立
2、消去y,会得到一个什么样的方程?怎样判断这个方程的解的个数?提示:两方程联立消去y,得(b2-a2k2)x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0.当b2-a2k2=0时,方程有一解;当b2-a2k20时,0方程有两解;=0方程有一解;0直线与双曲线有两个公共点,此时称直线与双曲线相交;=0直线与双曲线有一个公共点,此时称直线与双曲线相切;b0)相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,回想弦长|AB|的表达式是什么?若直线与双曲线相交于两点,这个弦长公式还适用吗?这个弦长公式对于双曲线仍然适用.3.做一做:直线x-y+=0被双曲线x2-y2=1截得的弦AB的长为.解析:联立直线与双曲线方
3、程,得x2+3x+2=0,设交点为A(x1,y1),B(x2,y2),答案:2【思考辨析】判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”.(1)直线和双曲线只有一个公共点直线与双曲线相切.()(4)直线和双曲线有两个公共点直线与双曲线相交.()(5)过双曲线焦点的直线一定与双曲线有两个交点.()合作探究 释疑解惑探究一探究二探究三易错辨析探究一直线与双曲线的位置关系【例1】已知直线y=kx+1与双曲线3x2-y2=1相交于A,B两点,当k为何值时,A,B在双曲线的同一支上?当k为何值时,A,B分别在双曲线的两支上?分析:直线与双曲线有两交点的条件是联立的方程组有两组解,也就是消
4、元后获得的一元二次方程有两解.两交点在同一支上,则说明两个交点的横坐标同号,即一元二次方程有两个同号根,两交点分别在两支上,则说明两个交点的横坐标异号,即一元二次方程有两个异号根.探究一探究二探究三易错辨析解:把y=kx+1代入3x2-y2=1,整理,得(3-k2)x2-2kx-2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),要使直线与双曲线有两个交点,探究一探究二探究三易错辨析反思感悟 直线与双曲线位置关系的判断方法(1)方程思想的应用,把直线与双曲线的方程联立成方程组,通过消元后化为ax2+bx+c=0的形式,在a0的情况下考查方程的判别式.当0时,直线与双曲线有两个不同的公共点.当=0时,
5、直线与双曲线只有一个公共点.当0)与直线l:x+y=1相交于两个不同的点A,B.(1)求双曲线C的离心率e的取值范围;分析:(1)先利用0可得a的范围,再写出离心率关于a的表达式,可求出离心率的范围;(2)由根与系数的关系及向量坐标关系,可得到关于a的方程,解出a即可.探究一探究二探究三易错辨析探究一探究二探究三易错辨析探究一探究二探究三易错辨析反思感悟 双曲线的综合问题最终仍体现在直线与双曲线轨迹、向量的应用及参数范围的探求上,直线方程与双曲线方程联立后,要注意二次项系数为零的情况,如本题,若注意不到1-a20,则会造成离心率范围扩大,另外,设而不求、根与系数的关系、消参也是常用的方法,在解
6、题时,应有意识地运用这些方法,达到熟练掌握的程度.探究一探究二探究三易错辨析【变式训练3】已知点M(-2,0),N(2,0),动点P满足条件|PM|-|PN|=2,记动点P的轨迹为W.(1)求W的方程;探究一探究二探究三易错辨析(2)设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).当ABx轴时,x1=x2,y1=-y2.当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y=kx+m,与W的方程联立,消去y得(1-k2)x2-2kmx-m2-2=0.探究一探究二探究三易错辨析探究一探究二探究三易错辨析【易错辨析】直线与双曲线相交忽视特殊情况致误【典例】已知过点P(1,1),斜率为k的直线l,与双曲线x
7、2-=1只有一个公共点,试探究直线l的斜率k的值.错解:由题意得l:y=k(x-1)+1,代入双曲线方程得(4-k2)x2-(2k-2k2)x-k2+2k-5=0.由题意得=(2k-2k2)2-4(4-k2)(-k2+2k-5)=0,探究一探究二探究三易错辨析以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:错解的原因是忽略了直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线只有一个公共点.正解:由题意得l:y=k(x-1)+1,代入双曲线方程得(4-k2)x2-(2k-2k2)x-k2+2k-5=0.若4-k2=0,即k=2,此时直线与双曲线的渐近线平行,直线与双曲线只有一个
8、公共点;探究一探究二探究三易错辨析防范措施 解决直线与双曲线的位置关系的题目时,要注意讨论联立直线与双曲线的方程消元得到的方程是否为一元一次方程,即二次项系数是否为0,因为直线与双曲线有一个公共点包含直线与双曲线的渐近线平行的情况.探究一探究二探究三易错辨析【变式训练】已知双曲线C:x2-=1,过点P(1,2)的直线l与C有且只有一个公共点,则满足上述条件的直线l共有()A.1条B.2条C.3条D.4条解析:如图,过点P(1,2)与双曲线x2-=1有且只有一个公共点有两种情况,分别是垂直于x轴和与渐近线y=-2x平行.答案:B随堂练习1.若直线y=mx+1与双曲线x2-y2=1总有公共点,则m的取值范围是()答案:D2.若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支交于不同的两点,则k的取值范围是()解析:将y=kx+2代入x2-y2=6,得(1-k2)x2-4kx-10=0.答案:D答案:34.已知双曲线(a0,b0)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是.答案:2,+)解:直线y=kx-1过(0,-1)点,若使直线与双曲线只有一个公共点,必须直线与双曲线的渐近线平行或直线与双曲线相切.
