1、？8.5.2直线与平面平行？课标定位素养阐释1.探究并理解直线与平面平行的判定定理.2.探究并理解直线与平面平行的性质定理.3.能使用符号语言、文字语言和图形语言表达直线与平面平行的判定定理及性质定理,并能运用这些定理进行逻辑推理.自主预习新知导学合作探究释疑解惑易 错 辨 析随 堂 练 习？自主预习新知导学？一、直线与平面平行的判定定理【问题思考】1.将课本放在桌面上,翻动书的封面,封面边缘所在直线与桌面所在平面具有什么样的位置关系?若判定直线与平面平行,你能想出一种方法吗?提示:平行;判定一条直线与一个平面平行,只要在这个平面内找出一条与此直线平行的直线就可以了.？2.直线与平面平行的判定
2、定理？3.做一做:能保证直线a与平面平行的条件是()A.b,abB.b,c,ab,acC.b,A,Ba,C,Db,且ACBDD.a,b,ab解析:由线面平行的判定定理可知,D正确.答案:D？二、直线与平面平行的性质定理【问题思考】1.如果直线a与平面平行,经过直线a的平面与平面相交于一条直线,那么这样的平面有多少个?直线a与交线的位置关系如何?为什么?提示:如图,有无数个.直线a与交线的位置关系为平行.设其中一条交线为b,因为直线a与平面平行,所以直线a与平面内的任何直线无公共点,所以a,b两直线平行.？2.直线与平面平行的性质定理？3.做一做:如图,在四棱锥P-ABCD中,M,N分别为AC,
3、PC上的点,且MN平面PAD,则()A.MNPDB.MNPAC.MNADD.以上均有可能解析:MN平面PAD,平面PAC平面PAD=PA,MN平面PAC,MNPA.答案:B？【思考辨析】判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”.(1)若直线与平面内无数条直线平行,则直线与平面平行.()(2)若直线与平面内任何一条直线平行,则直线与平面平行.()(3)若直线a平面,则在平面内,除了与直线a平行的直线外,其余的任一直线都与a是异面直线.()(4)若三条直线a,b,c两两平行,则在过直线a的平面中,有且只有一个平面与b,c均平行.()？合作探究释疑解惑探究一探究二探究三？探究一
4、 直线与平面平行的判定定理【例1】如图,已知P为平行四边形ABCD所在平面外一点,M为PB的中点,求证:PD平面MAC.？证明:如图,连接BD,与AC交于点O,连接MO,则MO为BDP的中位线,PDMO.PD平面MAC,MO平面MAC,PD平面MAC.？利用直线与平面平行的判定定理证线面平行的步骤上面的第一步“找”是证题的关键,其常用方法有:利用三角形、梯形中位线的性质;利用平行四边形的性质;利用平行线分线段成比例定理;基本事实4等证明两直线平行.？【变式训练1】如图,正方形ABCD和四边形ACEF所在平面相交.EFAC,EF=1.求证:AF平面BDE.证明:设AC,BD交于点G,连接EG.(
5、图略)因为EFAC,且EF=1,根据已知条件,所以四边形AGEF为平行四边形,所以AFEG.因为AF平面BDE,EG平面BDE,所以AF平面BDE.所以EF AG.？探究二 直线与平面平行的性质定理【例2】如图所示,在四面体A-BCD中,用平行于棱AB,CD的平面截此四面体,求证:截面MNPQ是平行四边形.证明:因为AB平面MNPQ,平面ABC平面MNPQ=MN,且AB平面ABC,所以由线面平行的性质定理,知ABMN.同理ABPQ,所以MNPQ.同理可得MQNP.所以截面MNPQ是平行四边形.？1.利用线面平行的性质定理解题的步骤2.运用线面平行的性质定理时,应先确定线面平行,再寻找过已知直线
6、的平面与这个平面相交的交线,然后确定线线平行.？【变式训练2】求证:如果一条直线和两个相交平面都平行,那么这条直线和它们的交线平行.解:已知:=l,a,a,求证:al.证明:如图,过a作平面交平面于b.a,ab.过a作平面交平面于c.a,ac,bc.又b,且c,b.又平面过b交于l,bl.ab,al.？探究三 直线与平面平行的判定定理与性质定理的综合运用【例3】如图所示,已知三棱锥A-BCD被一平面所截,截面为EFGH,求证:CD平面EFGH.证明:EFGH为平行四边形,EFGH.又GH平面BCD,EF平面BCD,EF平面BCD.又平面ACD平面BCD=CD,EF平面ACD,EFCD.又EF平
7、面EFGH,CD平面EFGH,CD平面EFGH.？本例条件不变,试证明:EHAB.证明:因为四边形EFGH为平行四边形,所以EHFG,因为EH平面ABC,FG平面ABC,所以EH平面ABC.又因为EH平面ABD,平面ABD平面ABC=AB,所以EHAB.？关于线面平行关系的综合应用判定和性质之间的推理关系是由线线平行线面平行线线平行,既体现了线线平行与线面平行之间的相互联系,也体现了空间与平面之间的相互转化.？【变式训练3】如图,四边形ABCD是平行四边形,P是平面ABCD外一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过点G和AP作平面交平面BDM于GH.求证:APGH.？证明:如图所示,连接AC
8、交BD于点O,连接MO.四边形ABCD是平行四边形,O是AC的中点.又M是PC的中点,APOM.OM平面BMD,AP平面BMD,AP平面BMD.又平面PAHG平面BMD=GH,且AP平面PAHG,根据直线和平面平行的性质定理,APGH.？易 错 辨 析？运用直线与平面平行的判定定理时表达不到位【典例】如图,已知AB,BC,CD是不在同一平面内的三条线段,E,F,G分别为AB,BC,CD的中点.求证:AC平面EFG,BD平面EFG.错解:证明:在ABC中,E,F分别是AB,BC的中点,ACEF.AC平面EFG.同理可证BD平面EFG.以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如
9、何防范?？提示:定理的运用应注重定理成立的条件,应强调直线与平面平行的判定定理成立的三个条件:两条直线互相平行;平行线中的一条在平面内;平行线中的另一条在平面外.正解:证明:在ABC中,E,F分别是AB,BC的中点,ACEF.又EF平面EFG,AC平面EFG,AC平面EFG.同理可证BD平面EFG.？用直线与平面平行的判定定理判定直线a和平面平行时,必须同时具备三个条件:(1)直线a在平面外,即a;(2)直线b在平面内,即b;(3)两直线a,b平行,即ab.？【变式训练】已知M,N分别是ADB和ADC的重心,点A不在平面内,点B,D,C在平面内,求证:MN.？证明:如图,连接AM,AN并延长分
10、别交BD,CD于P,Q两点,连接PQ.M,N分别是ADB,ADC的重心,又PQ,MN,MN.？随 堂 练 习？1.已知两条相交直线a,b,a平面,则b与的位置关系是()A.b平面B.b或bC.b平面D.b与平面相交或b平面答案:D？2.过平面外的直线l,作一组平面与相交,如果所得的交线为a,b,c,则这些交线的位置关系为()A.都平行B.都相交且一定交于同一点C.都相交但不一定交于同一点 D.都平行或交于同一点解析:l,l或l=A.若l,则由线面平行的性质定理可知,la,lb,lc,由基本事实4可知,abc;若l=A,则Aa,Ab,Ac,即a,b,c,交于点A.答案:D？3.下列说法正确的是(
11、)A.若直线l平行于平面内的一条直线,则lB.若直线a在平面外,则aC.若直线ab,b,则aD.若直线ab,b,则直线a平行于内的无数条直线解析:选项A中,当直线l时也可以满足条件,但l不平行于;选项B中,直线在平面外包括直线与平面平行和直线与平面相交两种情况;选项C中,缺少直线a不在平面内这一条件;选项D正确.答案:D？4.在正方体ABCD-ABCD中,E,F分别为平面ABCD和平面ABCD的中心,则正方体的六个面所在的平面中与EF平行的平面有()A.1个B.2个C.3个D.4个答案:D？5.如图所示,四边形ABCD是梯形,ABCD,且AB平面,AD,BC与平面分别交于点M,N,且M是AD的中点,若AB=4,CD=6,则MN=.解析:因为AB平面,AB平面ABCD,平面ABCD平面=MN,所以ABMN,又M是AD的中点,所以MN是梯形ABCD的中位线,故MN=5.答案:5？6.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,试作出过AC且与直线D1B平行的截面,并说明理由.？解:如图,连接DB交AC于点O,取D1D的中点M,连接MA,MC,则截面MAC即为所求作的截面.理由如下:MO为D1DB的中位线,D1BMO.又D1B平面MAC,MO平面MAC,D1B平面MAC,则截面MAC为过AC且与直线D1B平行的截面.
