1、？8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积？课标定位素养阐释1.知道棱柱、棱锥、棱台的表面积的含义及求法.2.知道棱柱、棱锥、棱台的体积公式,并能用公式解决简单的实际问题.3.用运动变化的观点研究棱柱、棱锥和棱台的体积公式之间的关系,发展数学运算和直观想象素养.自主预习新知导学合作探究释疑解惑思 想 方 法随 堂 练 习？自主预习新知导学？一、棱柱、棱锥、棱台的表面积【问题思考】1.棱长为a的正方体的表面积公式如何表示?长、宽、高分别为a,b,c的长方体的表面积公式又如何表示?根据这些表面积公式,推测棱柱的表面积如何计算?提示:S正方体=6a2,S长方体=2(ab+bc+ac),棱柱的表面积就
2、是各个面的面积的和.？2.(1)多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和.(2)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和.3.做一做:若正三棱锥的所有棱长均为a,则该三棱锥的表面积为()答案:C？二、棱柱、棱锥、棱台的体积【问题思考】1.长方体、正方体的体积公式如何表示?根据这些体积公式,推测棱柱的体积计算公式.提示:设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,正方体的棱长为a,则V长方体=abc,V正方体=a3,根据这些体积公式可知:设棱柱的底面面积为S,高为h,则棱柱的体积公式为V棱柱=Sh.？2.棱柱、棱锥、棱台的体积说明:棱柱、棱锥、棱台的体积公式之间的关系如图.？3.做一
3、做:若棱台的上、下底面面积分别是2,4,高为3,则棱台的体积等于.？【思考辨析】判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”.(1)棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图的面积就是它们的表面积.()(2)棱锥的体积等于底面面积与高之积.()(3)棱台的体积可转化为两个锥体的体积之差.()？合作探究释疑解惑探究一探究二探究三？探究一 棱柱、棱锥、棱台的表面积【例1】已知一个三棱台上、下底面分别是边长为20和30的正三角形,侧面是全等的等腰梯形,侧棱长为13,求此三棱台的表面积.分析:侧面等腰梯形的面积上、下底面面积三棱台的表面积？解:因为等腰梯形的上底长为20,下底长为30,腰长为13,
4、所以等腰梯形的高为12.？本例条件“侧棱长为13”改为“三棱台的高为 ”,其他条件不变,求此三棱台的表面积.解:如图所示,在三棱台ABC-ABC中,O,O分别为上、下底面的中心,D,D分别是BC,BC的中点,则DD是等腰梯形BCCB的高,OO是三棱台的高,四边形ODDO是直角梯形.？求解正棱台的表面积时注意棱台的四个基本量:底面边长、高、斜高、侧棱,并注意两个直角梯形的应用:(1)高、侧棱、上下底面多边形的中心与顶点连线所成的直角梯形;(2)高、斜高、上下底面边心距所成的直角梯形.？【变式训练1】已知正六棱柱的高为2,底面边长为1,则该正六棱柱的表面积为.解析:因为正六棱柱的高为2,底面边长为
5、1,所以正六棱柱的底由6个全等的等边三角形构成.则正六棱柱的侧面积为S侧=612=12,正六棱柱的底面积为？探究二 棱柱、棱锥、棱台的体积【例2】如图,已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体,E为AA1的中点,F为CC1上一点,求三棱锥A1-D1EF的体积.？求几何体体积的常用方法？【变式训练2】已知高为3的三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为1的正三角形,如图所示,则三棱锥B1-ABC的体积为()答案:D？探究三 简单组合体的表面积与体积【例3】现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成,上部的形状是正四棱锥P-A1B1C1D1,下部的形状是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如图
6、所示),并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍,若AB=6 m,PO1=2 m,则仓库的容积是多少?分析:仓库由正四棱锥和正四棱柱组成,其容积就是正四棱锥和正四棱柱的体积之和.？解:因为A1B1=AB=6 m,PO1=2 m,O1O=4PO1=8 m,所以正四棱锥P-A1B1C1D1的体积正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积V柱=AB2O1O=628=288(m3),所以仓库的容积V=V锥+V柱=24+288=312(m3),故仓库的容积是312 m3.？求组合体的表面积或体积,首先应弄清它的组成,其表面有哪些底面和侧面,各个面应该怎样求,然后再根据公式求出各面的面积,最后再相
7、加或相减.求体积时也要先弄清组成,求出各简单几何体的体积,然后再相加或相减.？【变式训练3】如图所示,正方体的棱长为4,以其所有面的中心为顶点的多面体的表面积为.？思 想 方 法？转化与化归思想在多面体的体积问题中的应用【典例】如图,在多面体ABCDEF中,已知四边形ABCD是边长为4的正方形,EFAB,EF=2,EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3,求该多面体的体积.审题视角:(1)将不规则的多面体通过分割转化为规则的棱锥求解;(2)求三棱锥的体积时常通过转换顶点和底面,转化为底面积和高都易求的形式求解.？1.转换顶点和底面是求三棱锥体积的一种常用的方法.2.对于给出的一个不规则的几何体
8、不能直接套用公式,常常需要运用分割法转化为规则几何体求解.3.通过识别几何体的结构特征,提升直观想象的数学核心素养.？【变式训练】如图,ABC-ABC是体积为1的棱柱,则四棱锥C-AABB的体积是()答案:C？随 堂 练 习？1.已知长方体同一顶点上的三条棱长分别是2,3,4,则该长方体的表面积是()A.36B.24C.52D.26解析:S=2(23+24+34)=52.答案:C？2.已知三棱锥的底面为直角边长分别是2和3的直角三角形,高为4,则该三棱锥的体积为()A.4B.6C.12D.24答案:A？3.已知一个正三棱台的两个底面的边长分别为4和16,侧棱长为10,则该棱台的侧面积为()A.80B.240C.320D.640解析:作出一个侧面等腰梯形的高,也是棱台的斜高,则由等腰梯形的性质,答案:B？4.已知底面是菱形的直棱柱,它的侧棱长是5,体对角线的长分别是9和15,则这个直棱柱的表面积是.？5.如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,截去三棱锥A1-ABD,求剩余的几何体A1B1C1D1-DBC的表面积和体积.
