1、23.2双曲线的几何性质学习目标1.了解双曲线的几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等.2.能用双曲线的几何性质解决一些简单问题.3.能区别椭圆与双曲线的性质知识链接类比椭圆的几何性质，结合图象，你能得到双曲线1 (a0，b0)的哪些几何性质？答：(1)范围：xa或xa；(2)对称性：双曲线关于x轴、y轴和原点都是对称的；(3)顶点：双曲线有两个顶点A1(a,0)，A2(a,0)预习导引1双曲线的几何性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形性质范围xa或xaya或ya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点坐标A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)渐近线y
2、xyx离心率e，e(1，)2.等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，它的渐近线是yx.要点一已知双曲线的标准方程求其几何性质例1求双曲线9y216x2144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程解把方程9y216x2144化为标准方程1.由此可知，实半轴长a4，虚半轴长b3；c5，焦点坐标是(0，5)，(0,5)；离心率e；渐近线方程为yx.规律方法讨论双曲线的几何性质，先要将双曲线方程化为标准形式，然后根据双曲线两种形式的特点得到几何性质跟踪演练1求双曲线x23y2120的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程、离心率解将方程x23y2120化为标准方程1，a2
3、4，b212，a2，b2，c4.双曲线的实轴长2a4，虚轴长2b4.焦点坐标为F1(0，4)，F2(0,4)，顶点坐标为A1(0，2)，A2(0,2)，渐近线方程为yx，离心率e2.要点二根据双曲线的几何性质求标准方程例2求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)一个焦点为(0,13)，且离心率为；(2)渐近线方程为yx，且经过点A(2，3)解(1)依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，且c13，又，a5，b12，故其标准方程为1.(2)方法一双曲线的渐近线方程为yx，若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为1(a0，b0)，则.A(2，3)在双曲线上，1.由联立，无解若焦点在y轴上，设所求双曲线的
4、标准方程为1(a0，b0)，则.A(2，3)在双曲线上，1.由联立，解得a28，b232.所求双曲线的标准方程为1.方法二由双曲线的渐近线方程为yx，可设双曲线方程为y2(0)，A(2，3)在双曲线上，(3)2，即8.所求双曲线的标准方程为1.规律方法由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线方程为mx2ny21 (mn0)，从而直接求得若已知双曲线的渐近线方程为yx，还可以将方程设为 (0)，避免讨论焦点的位置跟踪演练2求中心在原点，对称轴为坐标轴，且满足下列条件的双曲线方程：(1)双曲线过
5、点(3,9)，离心率e；(2)过点P(2，1)，渐近线方程是y3x.解(1)e2，得，设a29k，则c210k，b2c2a2k(k0)于是，设所求双曲线方程为1，或1，把(3,9)代入，得k161与k0矛盾，无解；把(3,9)代入，得k9，故所求双曲线方程为1.(2)方法一首先确定所求双曲线的标准类型，可在图中判断一下点P(2，1)在渐近线y3x的上方还是下方如图所示，x2与y3x交点为Q(2，6)，P(2，1)在Q(2，6)的上方，所以焦点在x轴上设双曲线方程为1 (a0，b0)依题意，得解得所求双曲线方程为1.方法二由渐近线方程y3x，可设所求双曲线方程为x2 (0)，(*)将点P(2，1
6、)代入(*)，得，所求双曲线方程为1.要点三直线与双曲线的位置关系例3直线l在双曲线1上截得的弦长为4，其斜率为2，求l的方程解设直线l的方程为y2xm，由得10x212mx3(m22)0.(*)设直线l与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由根与系数的关系，得x1x2m，x1x2(m22)又y12x1m，y22x2m，y1y22(x1x2)，AB2(x1x2)2(y1y2)25(x1x2)25(x1x2)24x1x25m24(m22)AB4，m26(m22)16.3m270，m.由(*)式得24m2240，把m代入上式，得0，m的值为.所求l的方程为y2x.规律方法直线与双曲线
7、相交的题目，一般先联立方程组，消去一个变量，转化成关于x或y的一元二次方程要注意根与系数的关系，根的判别式的应用若与向量有关，则将向量用坐标表示，并寻找其坐标间的关系，结合根与系数的关系求解跟踪演练3设双曲线C：y21(a0)与直线l：xy1相交于两个不同的点A、B.(1)求实数a的取值范围；(2)设直线l与y轴的交点为P，若，求a的值解(1)将yx1代入双曲线方程y21(a0)得(1a2)x22a2x2a20.依题意所以0a0，解得a.1双曲线1的焦点到渐近线的距离为_答案2解析双曲线1的一个焦点为F(4,0)，其中一条渐近线方程为yx，点F到xy0的距离为2.2双曲线mx2y21的虚轴长是
8、实轴长的2倍，则m的值为_答案解析由双曲线方程mx2y21，知m0，b0)的右支上到原点O和右焦点F距离相等的点有两个，则双曲线的离心率的取值范围是_答案(2，)解析由于到原点O和右焦点F距离相等的点在线段OF的垂直平分线上，其方程为x.依题意，在双曲线1 (a0，b0)的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个，所以直线x与右支有两个交点，故应满足a，即2，得e2.4已知双曲线C：1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为_答案1解析双曲线C的渐近线方程为0及点P(2,1)在渐近线上，0，即a24b2，又a2b2c225，解得b25，a220.1.渐近线是双曲线特有的性质两方程
9、联系密切，把双曲线的标准方程1 (a0，b0)右边的常数1换为0，就是渐近线方程反之由渐近线方程axby0变为a2x2b2y2，再结合其他条件求得就可得双曲线方程2准确画出几何图形是解决解析几何问题的第一突破口对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为精确，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能画出它的近似图形一、基础达标1双曲线2x2y28的实轴长是_答案4解析2x2y28可变形为1，则a24，a2,2a4.2双曲线3x2y23的渐近线方程是_答案yx解析双曲线方程可化为标准形式：1，a1，b，双曲线的渐近线方程为yx.3已知双曲线的离心率为2
10、，焦点是(4,0)，(4,0)，则双曲线的方程为_答案1解析依题意焦点在x轴上，c4，2，a2.b2c2a212.故方程为1.4已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0)，离心率等于，则双曲线C的方程是_答案1解析依题意得c3，e，所以a2，从而a24，b2c2a25.故方程为1.5双曲线1 (a0，b0)的左、右焦点分别是F1、F2，过F1作倾斜角为30的直线，交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为_答案解析如图，在RtMF1F2中，MF1F230.又F1F22c，MF1c，MF22ctan30c.2aMF1MF2c.e.6已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，则
11、C的渐近线方程为_答案yx解析已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，故有，所以，解得.故C的渐近线方程为yx.7根据下列条件，求双曲线的标准方程(1)与双曲线1有共同的渐近线，且过点(3，2)；(2)F1、F2是双曲线的左、右焦点，P是双曲线上一点，且F1PF260，SPF1F212，其离心率为2.解(1)设所求双曲线方程为 (0)，将点(3,2)代入得，所以双曲线方程为，即1.(2)设双曲线方程为1(a0，b0)因为F1F22c，而e2.由双曲线的定义，得|PF1PF2|2ac.由余弦定理，得(2c)2PFPF2PF1PF2cosF1PF2(PF1PF2)22PF1PF2(1cos60)
12、，化简，得4c2c2PF1PF2.又SPF1F2PF1PF2sin6012.所以PF1PF248.即3c348，c216，得a24，b212.故所求双曲线的方程为1.二、能力提升8已知圆C过双曲线1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是_答案解析由双曲线的几何性质，易知圆C过双曲线同一支上的顶点和焦点，所以圆C的圆心的横坐标为4.故圆心坐标为(4，)或(4，)易求得它到双曲线中心的距离为.9双曲线1的离心率e(1,2)，则k的取值范围是_答案(12,0)解析双曲线方程可变为1，则a24，b2k，c24k，e，又e(1,2)，则12，解得12k，即2.m4.11已知
13、双曲线3x2y23，直线l过右焦点F2，且倾斜角为45，与双曲线交于A、B两点，试问A、B两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦AB的长解双曲线方程可化为1，c2a2b24，c2.F2(2,0)，又l的斜率为1.直线l的方程为yx2，代入双曲线方程，得2x24x70.设A(x1，y1)、B(x2，y2)，x1x20，b0)，解得双曲线的标准方程为1.当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线方程为1 (a0，b0)，解得双曲线的标准方程为1.由可知，双曲线的标准方程为1或1.三、探究与创新13给定双曲线x21，过点B(1,1)是否能作直线m，使它与所给的双曲线交于两点Q1及Q2，且点B是线段Q1Q2的中
14、点？这样的m如果存在，求出它的方程，如果不存在，请说明理由解方法一设存在直线m过B与双曲线交于Q1、Q2，且B是Q1Q2的中点，当直线m的斜率不存在时，显然只与双曲线有一个交点；当直线m的斜率存在时，设直线m的方程为y1k(x1)，由得(2k2)x2(2k22k)x(k22k3)0，设该方程的两根为x1、x2，由根与系数的关系，得x1x22，解得k2.当k2时，(2k22k)24(2k2)(k22k3)80，因此不存在满足题意的直线方法二假设这样的直线l存在，设Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)，则有1，1.x1x22，y1y22，且两式相减，得(2x2x)(yy)0，2(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0，2(x1x2)(y1y2)0.若直线Q1Q2Ox，则线段Q1Q2的中点不可能是点Q(1,1)，直线Q1Q2有斜率，于是k2.直线Q1Q2的方程为y12(x1)，即y2x1.由得2x2(2x1)22，即2x24x30，16240.这就是说，直线l与双曲线没有公共点，因此这样的直线不存在
