1、2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义一般地，实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度和方向规定如下：(1)|a|=|a|(2)当0时,a 的方向与a方向相同；当0时,a 的方向与a方向相反；特别地，当=0或a=0时,a=0设a,b为任意向量，,为任意实数，则有：(a)=()a (+)a=a+a(a+b)=a+b已知两个非零向量a和b，作OA=a，OB=b，则AOB=（0 180）叫做向量a与b的夹角。OBA当0时，a与b同向；OAB当180时，a与b反向；OABB当90时，称a与b垂直，记为ab.OAab我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）FS力F所做的功W
2、可用下式计算W=|F|S|cos其中是F与S的夹角从力所做的功出发，我们引入向量“数量积”的概念。已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，我们把数量|a|b|cos叫做a与b的数量积（或内积），记作abab=|a|b|cos规定:零向量与任一向量的数量积为0。|a|cos（|b|cos）叫做向量a在b方向上（向量b在a方向上）的投影。注意：向量的数量积是一个数量。向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？ab=|a|b|cos当0 90时ab为正；当90 180时ab为负。当=90时ab为零。设是非零向量，方向相同的单位向量，的夹角，则特别地OABabB1解：ab=|a|b|co
3、s=54cos120 =54（-1/2）=10例1 已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角=120，求ab。例2 已知a=(1,1),b=(2,0),求ab。解：|a|=2,|b|=2,=45 ab=|a|b|cos=22cos45=2OAB|b|cos abB1等于的长度与的乘积。练习：1若a=0，则对任一向量b，有a b=02若a 0，则对任一非零向量b,有a b03若a 0，a b=0，则b=04若a b=0，则a b中至少有一个为05若a0，a b=b c，则a=c6若a b=a c,则bc,当且仅当a=0 时成立7对任意向量 a 有二、平面向量的数量积的运算律：数量积的运算律：其中
4、，是任意三个向量，注：则(a+b)c=ON|c|=(OM+MN)|c|=OM|c|+MN|c|=ac+bc.ONMa+bbac向量a、b、a+b在c上的射影的数量分别是OM、MN、ON,证明运算律(3)例 3：求证：（1）(ab)2a22abb2；（2）(ab)(ab)a2b2.证明：（1）(ab)2(ab)(ab)(ab)a(ab)baabaabbba22abb2.例 3：求证：（1）(ab)2a22abb2；（2）(ab)(ab)a2b2.证明：（2）(ab)(ab)(ab)a(ab)baabaabbba2b2.例4、的夹角为解:作业：3、用向量方法证明：直径所对的圆周角为直角。ABCO如图所示，已知如图所示，已知OO，ABAB为直径，为直径，CC为为OO上任意一点。求证上任意一点。求证ACB=90ACB=90分析：要证ACB=90，只须证向量，即。解：设则，由此可得：即，ACB=90
