1、31 等比数列一、等比数列的概念1一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于_，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的_，公比通常用字母q表示(q0)友情提示：关于等比数列概念的理解应注意以下几点事项：(1)由于等比数列每一项都可能作分母，故每一项_，因此q也不能是0；(2)“从第2项起”是因为首项没有_；(3)_均为同一常数，即比值相等，由此体现了公比的意义，同时还要注意公比是每一项与其前一项之比，防止前后次序颠倒；(4)如果一个数列不是从第2项起而是从第3项或第4项起 每 一 项 与 它 前 一 项 的 比 都 是 同 一 个 常 数，此 数 列_，这时可以说此数
2、列从第2项起或第3项起是一个等比数列；(5)如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比尽管是一个与n无关的常数，但却是不同的常数，这时此数列_；(6)常数列都是等差数列，但却不一定是_.若常数列是各项都为0的数列，它就不是等比数列；当常数列各项不为0时，是等比数列；(7)证明一个数列为等比数列，其依据是_，利用这种形式来判定，就便于操作了(8)在现实生活及国民经济建设中，常出现增长率(降低率)、复利率等问题，多与等比数列有联系，应用广泛2与等差中项的概念类似，如果在a与b中插入一个数 G，使 得 a，G，b成 等 比 数 列，我 们 称 G为 a，b的_且G(ab0)，即_.在等比数列中，首
3、末两项除外，每一项都是它的前一项与后一项的等比中项友情提示：关于等比数列中项的理解应注意体会以下几点：(1)在 a、b同 号 时，a、b的 等 比 中 项 有 两 个；_时，没有等比中项；(2)在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的_；(3)“a、G、b成等比数列”等价于_，可以用它来判断或证明三数成等比数列同时还要注意到“a、G、b成等比数列”与“G”是不等价的二、等比数列的通项公式1通项公式：首项是a1，公比是q的等比数列的通项公式是_.2通项公式及其变式的应用(1)由通项公式ana1qn1可知，已知_就可求出等比数列中的任意一项；(2)等比数列
4、通项公式ana1qn1中有a1，n，q，an共四个元素，知三可求一；(3)若 an，am是 等 比 数 列 an的 任 意 两 项，则 an_.等比数列的单调性如下表：a1a10a10q的范围0q10q1an的单调性_非增非减增增_减三、等比数列的简单性质设an是公比为q的等比数列，那么(1)anamqnm；(2)如果m，n，p，qN*，且mnpq，则amanapaq(反之不一定成立，例如常数列)特别地，当mn2p时，有aman_；在有穷等比数列中，与首末两项等距离的二项的积等于首末两项的积；(3)等比数列中每隔一定项取出一项按原来顺序排列构成的数列仍为等比数列例如am，a2m，a3m也成等比
5、数列；1.对等比数列概念与通项公式分别应如何理解？(1)一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示我们要强调一点：“公比q0”等比数列的首项不为0，等比数列的每一项都不为0，即an0；另外，我们还强调“从第2项起”，这是为了保证每一项的前一项存在公比，它的基本特征是“同一常数”，如果漏掉了“同一”两字，就会破坏等比数列中各项的共同性质(2)对于通项公式应从以下几个方面入手：在公式ana1qn1(nN)中有四个基本量an、a1、q、n，若知道其中任意的三个量，就可以求出另一个量此公式成立的条件
6、是，nN，q0，且对n取1,2,3，的一切正整数都成立由于ana1qn1qn，当q0且q1时，qn对应于指数函数qx，所以有时可以把等比数列的通项公式看作是函数ykqx(xN)(或自然数从1起始的某个子集)这样的一个函数在等比数列an中的任意两项可以互相表示为anamqnm.这也是通项公式的另一种形式证明：ana1qn1，amqnma1qm1qnma1qn1，anamqnm.2等比数列的判定方法有哪些？应如何区分等比数列的单调性？(1)等比数列的判定方法有：an an 1q(n2，nN*，q为 不 等 于 零 的 常 数)an是公比为q的等比数列 an1an1(n2，nN*，an、an1、an
7、1均不为0)an是等比数列ancqn(c、q均为不等于0的常数)an是等比数列由上可知判断一个数列是否成等比数列的方法：定义法、中项法、通项公式法(2)等比数列的单调性在等比数列an中，若设首项为a1，公比为q，根据等比数列的定义，有若a10，q1或a10,0q0,0q1或a11，则数列递减；若q1，则数列为常数列；若q0，a2a42a3a5a4a625，那么a3a5的值等于_(2)等比数列an中，若a92，则此数列前17项之积为_(3)在 等 比 数 列 中，若 a1 1，a5 10，则 a9_.(4)在等比数列an中，a3a4a53，a6a7a824，则a9a10a11的值是_答案：(1)
8、5(2)217(3)100(4)192变式训练5在等比数列an中，已知a4a7512，a3a8124，且公比为整数，则a10_.分析：利用等比数列的性质，若mnkl，则amanakal来解决答案：512评析：本题若把条件表示为a1、q的形式亦可解决，但运算步骤较麻烦，因此解题时要合理选择方法有些数列问题并非标准形式的等差、等比数列问题但可以通过合理巧妙地变形构造成一个等差或等比的新数列，由此原问题便可以通过所学等差或等比数列的知识得到解决，这种解决问题的方法还是数学中转化与化归思想的具体体现，望同学们慢慢体会并合理的应用依据等差、等比数列定义或者等差中项、等比中项公式，判定一个数列为等差或等比
9、数列，这是数列基本问题之一，不仅考查等差数列、等比数列的概念，而且考查分析、推理论证的能力，是高考考查中的重点例7有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数当a4，d4时，所求四个数为0,4,8,16；当a9，d6时，所求四个数为15,9,3,1.变式训练7设an是公差d0的等差数列，且ak1，ak2，akn恰好构成等比数列，其中k11，k25，k317，求kn.在等差数列中，akna1(kn1)d(kn1)d；在等比数列中，akna1qn1a13n12d3n1，(kn1)d2d3n1，kn23n11.例8数列a
10、n中，a12，an1ancn(c是常数，n1,2,3，)，且a1，a2，a3成公比不为1的等比数列(1)求c的值；(2)求an的通项公式解析：(1)a12，a22c，a323c，a1，a2，a3成等比数列，(2c)22(23c)，解得c0或c2.当c0时，a1a2a3，不符合题意，舍去，故c2.变式训练8数列an的前n项和记为Sn，已知a11，an1Sn(n1,2,3，)证明：(1)数列是等比数列；(2)Sn14an.数列实际应用题常与现实生活和生产实际中的具体事件相联系建立数学模型是解决这类问题的核心，常用的方法有：(1)构造等差、等比数列的模型，然后再应用数列的通项公式和求和公式求解；(2
11、)通过归纳得到结论，在用数列知识求解建立数学模型时，应明确是等差数列还是等比数列，是求an，n还是求Sn.例9从盛满a L(a1)纯酒精的容器里倒出1 L，然后灌满水，再倒出1 L混合液后又用水灌满，如此继续下去，问第n次操作后溶液的质量分数是多少？若a2时至少应倒几次后才能使酒精的质量分数低于10%?变式训练9如图是一个计算装置示意图，J1、J2是数据入口，C是计算结果的出口，计算过程是由J1，J2分别输入自然数m和n，经过计算后得自然数K由C输出，此种计算装置完成的计算满足以下三个性质：若J1，J2分别输入1，则输出结果为1；若J1输入任何固定自然数不变，J2输入自然数增大1，则输出的结果
12、比原来增大2；若J2输入1，J1输入自然数增大1，则输出结果为原来的2倍试问：(1)若J1输入1，J2输入自然数n，输出结果为多少？(2)若J2输入1，J1输入自然数m，输出结果为多少？(3)若J1输入自然数m，J2输入自然数n，输出结果为多少？解析：(1)由条件有f(1,1)1，由条件知f(m，n1)f(m，n)2，即当m固定时，f(m，n)成等差数列f(m，n)f(m,1)(n1)2，故f(1，n)f(1,1)2n22n1.(2)由条件知f(m1,1)2f(m,1)，即f(m,1)是一等比数列f(m,1)f(1,1)2m12m1.(3)综合(1)、(2)知f(m，n)f(m,1)2(n1)2m12n2.评析：本题信息量大，粗看不知如何入手，但若把条件写成二元函数式，并把它看做某一变量的函数，抽象出等差或等比数列模型，问题便迎刃而解.
