1、 第2课时 习题课指数函数及其性质的应用 能力形成合作探究类型一 指数函数的图像及图像变换(数学抽象、直观想象)【典例】1.(2021枣庄高一检测)已知函数 f(x)ax114(a0，且 a1)的图象过定点(m，n)，则1681mn()A32 B23 C 827 D278【思路探求】利用指数函数yax过点0，1构造关系式求值；【解析】选D.函数f(x)ax1 14(a0，且a1)中令x10，得x1，所以yf(1)114 34，所以f(x)的图象过定点1，34，所以m1，n34.所以1681mn168134 811634 278.2要使g(x)3x1t的图象不经过第二象限，则t的取值范围为()A
2、t1 Bt1 Ct3 Dt3【思路探求】根据指数函数y3x过定点(0，1)及其平移性质判断求解【解析】选C.指数函数y3x过定点(0，1)，函数g(x)3x1t过定点(0，3t)且为增函数，要使g(x)3x1t的图象不经过第二象限，只须函数g(x)3x1t与y轴的交点的纵坐标不大于0即可，如图所示，即图象不过第二象限，则3t0，所以t3，则t的取值范围为：t3.1处理函数图像问题的策略(1)抓住特殊点：指数函数的图像过定点(0，1).(2)巧用图像变换：函数图像的平移变换(左右平移、上下平移).(3)利用函数的性质：奇偶性与单调性2与指数函数yax(a0，a1)有关的两种常见图像变换(1)平移
3、变换(0)，如图所示：(2)对称变换，如图所示：提醒：图像平移变换强调自变量本身的变化如：f(x)21x的图像向右平移1个单位得到f(x1)21(x1)22x的图像【补偿训练】已知函数f(x)ax在(0，2)内的值域是(a2，1)，则函数yf(x)的图像是()【解析】选A.因为f(x)ax在(0，2)内的值域是(a2，1)，所以f(x)在(0，2)内是减少的所以0a1.类型二 解简单的指数不等式(数学抽象、数学运算)【典例】已知(a2a2)x(a2a2)1x，求x的取值范围四步内容理解题意指数型不等式的大小比较,需研究底数a2+a+2与1的大小关系.思路探求确定a2+a+2的范围,利用指数函数
4、的性质,得到x1-x,即可求出x的取值范围.书写表达因为 a2+a+2=217a+24（）1,所以 y=(a2+a+2)x 在 R 上是增函数.所以 x1-x.解得 x 12.所以 x 的取值范围是 1+2（,）.题后反思本题中能否直接得到 a2+a+21,是正确求解的关键.解同底型指数不等式(1)所给不等式为同底型：af(x)ag(x)(a0且a1)形式，解此种不等式的依据是指数函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若不确定，就需进行讨论(2)解af(x)ag(x)(a0，且a1)此类不等式的一般步骤为1解不等式123x2122x3.【解析】因为函数y12x为减函数，所以由123x21
5、22x3，可得3x22x3，解得x0，且a1).【解析】当0a1时，由a2x1ax5，得2x1x5，解得x6.综上所述，当0a1时，不等式的解集为x|x6类型三 指数函数的综合应用(数学运算)【典例】求下列函数的单调区间：(1)f(x)4x2x11.(2)f(x)132x3x+2.【思路导引】(1)令t2x，将原函数拆分成两个函数：yt22t1与t2x，利用复合函数单调性法则即可得出结论(2)令tx23x2，将原函数拆分成两个函数：y 13t和tx23x2，然后利用复合函数单调性法则即可得出结论【解析】(1)f(x)的定义域为R，令t2x(t0)，则t2x在xR上是递增的；而yt22t1(t1
6、)2在t(0，)上是递增的，故函数f(x)4x2x11在R上是递增的(2)函数f(x)的定义域为R，令tx23x2x32214.因为y13t在R上为减函数，所以f(x)132x3x+2在，32上是递增的，在32，上是递减的1指数型复合函数的单调性求解步骤(1)求定义域：依据题意明确研究范围(2)拆分：把原函数拆分成几个基本函数(3)定性质：分层逐一求单调性(4)下结论：根据复合函数的单调性法则，即“同增异减”，得出原函数的单调性2形如yaf(x)的函数的单调性(1)当a1时，函数yaf(x)的单调性与f(x)的单调性相同(2)当0a1时，函数yaf(x)的单调性与f(x)的单调性相反 求函数
7、y22xx13 的单调递增区间【解析】令 t2x2x1，则 y3t，因为t2x14298，可得 t 的增区间为，14，因为函数 y3t 在 R 上是增函数，所以函数 y22xx13 的单调递增区间为，14.【补偿训练】已知定义在R上的函数f(x)2xa2x，a为常数，若f(x)为偶函数，(1)求a的值(2)判断函数f(x)在(0，)内的单调性，并用单调性定义给予证明【解析】(1)由f(x)为偶函数，得对任意实数x都有2xa2x 12x a2x成立，即2x(1a)12x(1a)，所以1a0，所以a1.(2)由(1)知f(x)2x12x，且f(x)在(0，)上是递增的证明如下：任取x1，x2(0，
8、)且x1x2，则f(x1)f(x2)2x1 12x1 2x2 12x2(2x12x2)12x1 12x2(2x12x2)2x22x12x12x2(2x12x2)112x1x2(2x12x2)2x1x212x1x2，(*)当x1x2，且x1，x2(0，)时，2x11，所以(*)式小于0，从而f(x1)f(x2)0，即f(x1)b)的图像如图所示，则g(x)axb的图像可能是()【解析】选C.根据函数f(x)(xa)(xb)(ab)的图像知：a1，1b1的x的取值范围是()A(，0)B(，1)C(0，)D(1，)【解析】选A.因为函数f(x)与g(x)2x的图像关于y轴对称，所以f(x)2x，由f
9、(x)1得2x1，即x0，所以x1的x的取值范围是(，0).4函数f(x)4x12x在1，1上最大值是_，最小值是_【解析】由f(x)4x12x（2x）212x2x12x，得f(x)是R上的增函数，所以f(x)的最大值是f(1)32，最小值是f(1)32.答案：32 325我国北方某地区长期受到沙尘暴的困扰.2019年，为响应党中央提出的“防治土地荒漠化助力脱贫攻坚战”的号召，当地政府积极行动，计划实现本地区的荒漠化土地面积每年平均比上年减少10%.已知2019年该地区原有荒漠化土地面积为7万平方公里，则2025年该地区的荒漠化土地面积为多少万平方公里？【解析】设从2019年后的第n年的荒漠化土地面积为y，则y7(110%)n，2025年时n6，故2025年的荒漠化土地面积为70.96万平方公里
