1、22.2 反证法学习目标1.了解反证法是间接证明的一种基本方法2理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题课前自主学案综 合 法 是“_”，而 分 析 法 则 是“_”它们是截然相反的两种证明方法，分析法便于我们去寻找思路，而综合法便于过程的叙述，两种方法各有所长，在解决具体的问题时，综合运用效果会更好温故夯基由因导果执果索因1反证法假设原命题_(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明_，从而证明了_，这种证明方法叫做反证法2反证法常见矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与_、_、_、_等矛盾知新益能不成立假设错误原命题成立已知条件公
2、理定义定理用反证法证明命题“若p，则q”时，为什么q假q就真？提示：在证明数学命题时，要证明的结论要么正确，要么错误，二者必居其一，所以命题结论q的反面q错误时，q就一定正确问题探究课堂互动讲练考点一用反证法证明否定性命题考点突破结论中含有“不”、“不是”、“不可能”、“不存在”等词语的命题，此类命题的反面比较具体，适于应用反证法【思路点拨】直接说明，不易入手，故应用反证法.例1【思维总结】本题涉及方程的根，所以应从根的范围上或者从值域的表达式上寻找矛盾变式训练1 已知abc0，求证：abbcca不大于零证明：假设abbcca0，因为a2b2c20.则(a2b2c2)2(abbcca)0.所以
3、(abc)20，即abc0，这与abc0矛盾，所以假设不成立，故abbcca0.当命题中出现“至少”、“至多”、“不都”、“都不”、“没有”、“唯一”等指示性词语时，宜用反证法注意“至少有一个”、“至多有一个”、“都是”的否定形式分别为“一个也没有”、“至少有两个”、“不都是”考点二用反证法证明存在性问题已知a1，求证三个方程：x24ax4a30，x2(a1)xa20，x22ax2a0中至少有一个方程有实数解例2【思维总结】反证法的主要依据是逻辑中的排中律，排中律的一般表现形式是：或者是A，或者非A，即在同一讨论过程中，A和非A有一个且仅有一个是对的，不能有第三种情形出现结论以“有且只有一个”
4、、“只有一个”、“唯一存在”等形式出现的命题，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证其唯一性简单明了已知：一点A和平面.求证：经过点A只能有一条直线和平面垂直考点三用反证法证明唯一性问题例3【思路点拨】【证明】根据点A和平面的位置关系，分两种情况证明图1(1)如图1，点A在平面内，假设经过点A至少有平面的两条垂线AB、AC，那么AB、AC是两条相交直线，它们确定一个平面，平面和平面相交于经过点A的一条直线a.因为AB平面，AC平面，a，所以ABa，ACa，在平面内经过点A有两条直线都和直线a垂直，这与平面几何中经过直线上一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾(2)如图2，点A在平面外，假设经过点
5、A至少有平面的两条垂线AB和AC(B、C为垂足)，那么AB、AC是两条相交直线，它们确定一个平面，平面和平面相交于直线BC，因为AB平面，AC平面，BC，所以ABBC，ACBC.图2在平面内经过点A有两条直线都和BC垂直，这与平面几何中经过直线外一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾综上，经过一点A只能有平面的一条垂线【思维总结】证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性变式训练3 求证方程2x3有且仅有一个实根证明：2x3，xlog23，这说明方程有一个根下面用反证法证明根的唯一性假设方程2x3有两个根b1，b2(b1b2)，则2b13,2b23，两式相除得2b1b21，如果
6、b1b20，则2b1b21，这与2b1b21相矛盾如果b1b20，则2b1b21，这与2b1b21相矛盾因此b1b20，则b1b2，这与b1b2相矛盾如果方程的根多于两个，同样可推出矛盾故方程2x3有且只有一个根方法技巧1反证法不是直接去证明结论，而是先否定结论，在否定结论的基础上，运用演绎推理，导出矛盾，从而肯定结论的真实性方法感悟2结论为肯定形式或者否定形式的命题的证明常用反证法，通过反设将肯定命题转化为否定命题或将否定命题转化为肯定命题，然后用转化后的命题作为条件进行推理，很容易推出矛盾，从而达到证题的目的3常用正面词语的否定形式正面词语否定正面词语否定等于不等于都是不都是(至少有一个不是)小于不小于(大于或等于)至多有一个至少有两个大于不大于(小于或等于)至少有一个一个也没有是不是失误防范1使用反证法必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不完全的2反证法的“归谬”要合理
