1、第二章 基本初等函数()2.1 指数函数2.1.1 根式与分数指数幂【学习目标】1.理解 n 次方根及根式的概念.2.理解根式的运算性质.3.理解分数指数幂的意义.4.掌握根式与分数指数幂的互化.1.根式的概念xna(1)a 的 n 次方根：如果_，那么 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n1，且 nN*.当 n 是奇数时，a 的 n 次方根表示为_，a_；当 n 是偶数时，a 的 n 次方根表示为_，a_.R(0，)做_.根式被开方数22练习 1：8 的 3 次方根是_，16 的 4 次方根是_.(2)根式：式子 n a 叫做_，这里 n 叫做_，a 叫n a n a根指数0aa|a|aa
2、2.根式的性质72(1)0n_(nN*，且 n1).(2)(n a)n_(nN*，且 n1).(3)nna _(n 为大于 1 的奇数).(4)nna _ a0，a0(n 为大于 1的偶数).练习 2：33(7)_；44(2)_.分数指数幂正分数指数幂负分数指数幂性质0 的正分数指数幂等于_，0的负分数指数幂_3.分数指数幂的意义规定：mna _(a0，m，nN*，且 n1)规定：mna 1mna_(a0，m，nN*，且 n1)练习 3：932_；823 _；032_.0没有意义270nma1nma14【问题探究】1.(2)24，那么2 就叫做 4 的_；3327，那么 3 就叫做 27 的_
3、；(3)481，那么3 就叫做 81 的_.依此类推，若 xna，那么 x 叫做 a 的_.答案：二次方根立方根四次方根n 次方根2.计算(3)2，334，(2)nn.从特殊到一般，思考(n a)n，nna的结果.答案：(3)23，334 4，(2)nn 2，n为奇数，2，n为偶数.(n a)na.当 n 是奇数时，nna a；当 n 是偶数时，nna|a|a a0，a a0.题型 1 根式的求值、化简 【例 1】求下列各式的值：(1)33(2)；(2)92；(3)(5 2)5;(4)x22xyy2.思维突破：运用根式的性质及运算公式计算.解：(1)33(2)2.(2)92|9|9.(3)(5
4、 2)52.(4)x22xyy2 xy2|xy|xy xy0，xyxy0.【变式与拓展】1.求下列各式的值：(1)33(16)；(2)66(3)；(3)3.142 3.142.解：(1)33(16)16.(2)66(3)|3|3.(3)3.142 3.142|3.14|3.14|2.2.化简：(1)44()mn33()mn；(2)52 6 74 3.解：(1)原式|mn|(mn)2mn mn，0 mn.(2)原式 32 62 44 33 322 6 22 224 3 32 3 22 2 32|3 2|2 3|3 22 3 22.题型 2 根式的比较大小思维突破：先化为统一的根指数，再进行比较.
5、当根指数相同时，不论根指数是奇数还是偶数，根式的大小取决于被开方数的大小.【例 2】比较 5，3 11，6 123的大小.解：5 635 6 125，3 11 6211 6 121，又 121123125，6 121 6 123 6 123 3 11.【变式与拓展】3.比较 2，3 3，6 6 的大小.解：2 632 6 8，3 3 623 6 9，又689，6 6 6 8 6 9.故 6 6 20)：思维突破：根据分数指数幂的意义计算.(1)543；(2)212；(3)a32；(4)a52.解：(1)543 345.(2)212 22.(3)a32 a3.(4)a52 1a5.【变式与拓展】
6、4.将下列分数指数幂化为根式：(1)215；(2)1213；(3)323.解：(1)215 5 2.(2)1213 213 3 2.(3)323 323.【例 4】求值：24(9).易错分析：常见错误为24(9)(9)24(9)12.根式转化为分数指数幂时，底数不能为负数，题中90，故结果没有意义.解：24(9)24 9 44 3 3.方法规律小结1.理解 n 次方根及根式的概念.(1)正数 a 的偶次方根有两个，记为 n a；实数 a 的奇次方根有一个，记为 n a.(2)对于根式 n a，若 n 为大于 1 的偶数，则 a0.(3)对于根式 nna，在化简时，要注意 n 的奇偶性及 a 的正负，即 nna a n为奇数，|a|n为偶数.2.分数指数幂.(2)根式与分数指数幂表示相同意义的量，只是形式不同.(3)有理数包括整数和分数，由整数指数幂扩充到分数指数幂后，指数概念就扩充到了有理数指数幂.(1)分数指数幂mna 不能理解为mn个 a 相乘.
