1、第二章平面向量2.5 平面向量应用举例2.5.1 平面几何中的向量方法1.由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景,平面几何图形的许多性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来,因此,可用向量方法解决平面几何中的一些问题.2.用向量方法解决平面几何问题的三步曲:第一步,建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;第二步,通过向量运算,研究几何元素之间的关系;第三步,把运算结果“翻译”成几何关系.A.梯形B.菱形C.矩形D.正方形(2)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-
2、1),以线段AB,AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长分别是、.3.向量法解决几何问题的两个方向:(1)几何法:选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角),将题中涉及的向量用基底表示,利用向量的运算法则、运算律或性质计算.(2)坐标法:建立平面直角坐标系,实现向量的坐标化,将几何问题中的长度、垂直、平行、夹角等问题转化为代数运算.判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”.(1)若ABCD,则直线AB与CD平行.()(2)若ABC是直角三角形,则有ABBC=0.()(3)向量AB,CD的夹角与直线AB,CD的夹角未必相等.()答案:(1)(2)(3)探究一探究二探究三
3、探究四思维辨析探究一点共线或平行问题【例1】已知在平行四边形ABCD中,E,F是对角线AC上的两点,且AE=FC=AC,试用向量方法证明四边形DEBF也是平行四边形.探究一探究二探究三探究四思维辨析探究一探究二探究三探究四思维辨析探究一探究二探究三探究四思维辨析A.垂直B.平行C.相交D.重合答案:B 探究一探究二探究三探究四思维辨析探究二垂直问题【例2】已知正方形ABCD中,E,F分别为AB,BC的中点,求证AFDE.探究一探究二探究三探究四思维辨析探究一探究二探究三探究四思维辨析答案:y2=8x(x0)探究一探究二探究三探究四思维辨析探究三长度问题【例3】如图,平行四边形ABCD中,已知A
4、D=1,AB=2,对角线BD=2.求对角线AC的长.分析:本题是求线段长度的问题,它可以转化为求向量的模来解决.解:设AD=a,AB=b,则BD=a-b,AC=a+b,而|BD|=|a-b|=a2-2ab+b2=1+4-2ab=5-2ab=2,|AC|2=|a+b|2=a2+2ab+b2=|a|2+2ab+|b|2=1+4+2ab.由得2ab=1,|AC|2=6,|AC|=6,即AC=6.探究一探究二探究三探究四思维辨析探究一探究二探究三探究四思维辨析变式训练3已知ABC中,BAC=60,AB=2,AC=3,则BC的长为()答案:B 探究一探究二探究三探究四思维辨析探究四夹角问题【例4】已知矩
5、形ABCD中,AB=,AD=1,E为DC上靠近D的三等分点,求EAC的大小.探究一探究二探究三探究四思维辨析探究一探究二探究三探究四思维辨析探究一探究二探究三探究四思维辨析变式训练4求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值.探究一探究二探究三探究四思维辨析探究一探究二探究三探究四思维辨析探究一探究二探究三探究四思维辨析错因分析:以上三种解法都犯了推理不严谨的错误.解法一中,只有在a,b同向共线时,才有ab=|a|b|成立;解法二错在“即(a-c)b=0,而b0,所以a-c=0,得到a=c”,这里由(a-c)b=0只能得出(a-c)b,而不能得到a=c;解法三错在“ab=bc,而b0
6、,所以a=c”,向量具有方向,不能像数量那样,在进行计算时可以约分.正解:因为ab=bc,所以(a-c)b=0,而由向量加法的三角形法则可知,a+b+c=0,所以b=-a-c,所以(a-c)(-a-c)=0,即(a-c)(a+c)=0,得到a2-c2=0,a2=c2,即|a|2=|c|2,也就是|a|=|c|.同理可得|a|=|b|,所以|a|=|b|=|c|.故ABC是等边三角形.探究一探究二探究三探究四思维辨析探究一探究二探究三探究四思维辨析答案:C 1 2 3 4 5 解析:点M,A,B三点共线,且M为线段BA靠近B的三等分点.答案:B 1 2 3 4 5解析:ab=|a|b|cos 30=答案:C 1 2 3 4 53.在RtABC中,ABC=90,AB=8,BC=6,D为AC中点,则cosBDC=()解析:如图建立平面直角坐标系,则A(0,8),C(6,0),则D(3,4),答案:B 1 2 3 4 54.已知A,B是圆心为C、半径为的圆上的两点,且|AB|=解析:1 2 3 4 5 5.已知点A(1,1),M(x,y),且A与M不重合,若向量与向量a=(1,2)垂直,则点M的轨迹方程为.答案:x+2y-3=0(x1)
