1、1.6三角函数模型的简单应用1.三角函数模型的作用三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型,可以用来研究很多问题,在刻画周期规律、预测其未来方面发挥重要作用.2.三角函数模型的建立程序做一做(1)电流I(A)随时间t(s)变化的关系是I=3sin 100t,t0,+),则电流I变化的周期是.(2)如图是相对于平均海平面的某海湾的水面高度h(米)在某天从024时的变化情况,则水面高度h关于时间t的函数关系式为.探究一探究二探究三思维辨析探究一三角函数模型在物理中的应用【例1】已知表示电流强度I与时间t的函数关系式I=Asin(t+)(A0,0).(1)若电流强度I与时间t的函数关系图象如
2、图所示,试根据图象写出I=Asin(t+)的解析式;探究一探究二探究三思维辨析分析:对于(1),由于解析式的类型已经确定,只需根据图象确定参数A,的值即可.其中A可由最大值与最小值确定,可由周期确定,可通过特殊点的坐标,解方程求得.对于(2),可利用正弦型函数的图象在一个周期中必有一个最大值点和一个最小值点来解.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析探究二三角函数模型在生活中的应用【例2】如图为一个缆车示意图,该缆车半径为4.8 m,圆上最低点与地面的距离为0.8 m,60 s转动一圈,图中OA与地面垂直,以OA为始边,逆时针转
3、动角到OB,设点B与地面距离是h.(1)求h与间的函数关系式;(2)设从OA开始转动,经过t s后到达OB,求h与t之间的函数解析式,并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析探究三数据拟合三角函数问题【例3】已知某海滨浴场海浪的高度y(米)是时间t(0t24,单位:时)的函数,记作y=f(t).下表是某日各时的浪高数据.(1)根据以上数据,求函数y=f(t)的函数解析式;(2)依据规定,当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一天内上午8:0
4、0时至晚上20:00时之间,有多少时间可供冲浪爱好者进行运动?探究一探究二探究三思维辨析分析:作出散点图判断形状构建模型求参数解:(1)由表中数据描出各点,并把这些点用平滑的曲线连接起来(如图),由图知,可设f(t)=Acos t+b,并且周期T=12,探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析用三角函数模型解决物理问题中的错误典例弹簧振子以O点为平衡位置,在B,C间做简谐运动,B,C相距20 cm,某时刻振子处在B点,经0.5 s振子首次达到C点.求:(1)振动的振幅、周期和频率;(2)振子在5 s内通过的路程及这时位移的大小.错解:(1)因为B,C相距2
5、0 cm,所以振幅A=20 cm.因为从B点经0.5 s振子首次达到C点,所以周期T=0.5 s,频率f=2.(2)5 s内的路程=位移=5A=520=100 cm.探究一探究二探究三思维辨析正解:(1)设振幅为A,则2A=20 cm,A=10 cm.设周期为T,则=0.5 s,T=1 s,f=1 Hz.(2)振子在1T内通过的距离为4A,故在t=5 s=5T内通过的路程s=54A=20A=2010 cm=200 cm=2 m.5 s末物体处在B点,所以它相对平衡位置的位移大小为10 cm.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析变式训练如图所示是一弹簧振子做简谐振动的图象,横轴表
6、示振动的时间,纵轴表示振子的位移,则这个振子振动的函数解析式是.探究一探究二探究三思维辨析1 2 3 4 A.2 sB.sC.0.5 sD.1 s1.如图,单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置O的距离s(cm)和时间t(s)的函数关系式为s=6sin ,那么单摆来回摆动一次所需的时间为()1 2 3 4 解析:单摆来回摆动一次所需的时间即为函数s=6sin 的一个周期T=1(s).答案:D1 2 3 4 2.(2015陕西高考)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin +k.据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为()A.5B.6C.8D.10 1 2 3 4 解析:因为sin -1,1,所以函数y=3sin +k的最小值为k-3,最大值为k+3.由题图可知函数最小值为k-3=2,解得k=5.所以y的最大值为k+3=5+3=8,故选C.答案:C1 2 3 4 1 2 3 4 4.如图,点P是半径为r的砂轮边缘上的一个质点,它从初始位置P0开始,按逆时针方向以角速度(rad/s)做圆周运动,则点P的纵坐标y关于时间t的函数关系式为.解析:当质点P从P0转到点P位置时,点P转过的角度为t,则POx=t+,由任意角的三角函数定义知点P的纵坐标y=rsin(t+).答案:y=rsin(t+)
