1、高 中 数 学必修一学习内容：八、函数的方程函数模型及其应用复习 引 入一、几类常见的函数模型（1）一次函数模型：f(x)kxb（k、b为常数，k0）；（2）反比例函数模型：f(x)b（k、b为常数，k0）；（3）二次函数模型：f(x)ax2bxc（a、b、c为常数，a0）；（4）指数函数模型：f(x)abxc（a、b、c为常数，a0，b0，b1）；（5）对数函数模型：f(x)mlogaxn（m、n、a为常数，a0，a1）；（6）幂函数模型：f(x)axnb（a、b、n为常数，a0，n1）；（7）分段函数模型：这个模型实际是以上两种或多种模型的综合，因此应用也十分广泛二、通过收集数据直接去解决
2、问题的一般过程如下：（1）收集数据；（2）根据收集到的数据在平面直角坐标系内描点；（3）根据点的分布特征，选择一个能刻画其特征的函数模型；（4）选择其中的几组数据求出函数模型；（5）将已知数据代入所求出的函数模型进行检验，看其是否符合实际，若不符合实际，则重复步骤(3)、(4)、(5)；若符合实际，则进入下一步；（6）用求得的函数模型去解决实际问题题型一、函数图象变化规律例:汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图像可能是（）stOAstOstOstOBCD体会将生活实际问题转化为函数模型，用函数图象来描述变化规律默默因为早上起床
3、太晚，为避免迟到，不得不跑步到教室，但由于平时不注意锻炼身体，结果跑了一段就累了，不得不走完余下的路程。思考一下如果用纵轴表示离教室的距离，横轴表示出发后的时间，则下列四个图象比较符合此人走法的是（）0(A)0(B)0(D)0（C)如图，有四个平面图形分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆垂直于x轴的直线l：xt(0ta)经过原点O向右平行移动，l在移动过程中扫过平面图形的面积为y(图中阴影部分)，若函数yf(t)的大致图象如图，那么平面图形的形状不可能是（）本题关键抓住t每增加单位长度，面积的增量的变化大小题型二、分段函数模型的应用例：某上市股票在30天内每股的交易价格P（元）与时间t（天）
4、组成有序数对（t,P），点（t,P）落在图中的两条线段上该股票在30天内（包括30天）的日交易量Q（万股）与时间t（天）的部分数据如下表所示：（1）根据提供的图象，写出该种股票每股的交易价格P（元）与时间t（天）所满足的函数关系式；解：设表示前20天每股的交易价格P（元）与时间t（天）的一次函数关系式为Pk1tm，由图象得解：设表示第20天至第30天每股的交易价格P（元）与时间t（天）的一次函数关系式为Pk2tn，由图象得（2）根据表中数据确定日交易量Q（万股）与时间t（天）的一次函数关系式；解：由表知，日交易量Q与时间t满足一次函数关系式，设Qatb（a、b为常数），将（4,36）与（10,
5、30）的坐标代入，得所以日交易量Q（万股）与时间t（天）的一次函数关系式为Q40t（0t30且tN）（1）该种股票每股的交易价格P（元）与时间t（天）所满足的函数关系式；（2）根据表中数据确定日交易量Q（万股）与时间t（天）的一次函数关系式；Q40t（0t30且tN）PQ=该股票日交易额（3）用y（万元）表示该股票日交易额，写出y关于t的函数关系式，并求出这30天中第几天日交易额最大，最大值为多少？（3）用y（万元）表示该股票日交易额，写出y关于t的函数关系式，并求出这30天中第几天日交易额最大，最大值为多少？解：由（1）（2）可得当0t120，第15天日交易额最大，最大值为125万元万元分段
6、函数及其应用问题是当前最热的函数类型，这是由分段函数特点决定的由于分段函数兼具多种初等函数的性质，因此可以将多种函数的性质考查到，这在要求能力的高考命题中无疑是重要的命题素材题型三、指数、对数型函数及直线函数模型的应用例：三个变量y1、y2、y3随变量x的变化情况如下表：其中x呈对数函数型变化的变量是，呈指数函数型变化的变量是，呈直线函数型变化的变量是y2y3y1f(x)abxcf(x)kxbf(x)mlogaxn例：某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？（已知：lg20.3010，lg
7、30.4771）解:每次过滤杂质含量降为原来的,过滤n次后杂质含量为结合按市场要求杂质含量不能超过0.1%，即可建立数学模型依题意，得例：某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？（已知：lg20.3010，lg30.4771）则n(lg2lg3)(1lg2)考虑到nN，即至少要过滤8次才能达到市场要求一般地，形如yax（a0且a1）的函数叫做指数函数，而在生产、生活实际中，以函数ybaxk作为模型的应用问题很常见，称这类函数为指数函数模型以指数函数、对数函数为模型的实际应用问题通常与增长率
8、、衰减率有关，在现实生活和科学技术领域，诸如人口普查中的人口增长、细胞分裂次数的推算、考古中根据碳14的衰减推算年代以及药物在人体内残留时间的推算等问题都属于这一模型【方法与技巧总结】解决函数应用问题应着重注意以下几点：1、阅读理解、整理数据：通过分析、画图、列表、归类等方法，快速弄清数据之间的关系，数据的单位等等；2、建立函数模型：关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数，建立函数模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，不要忘记考察函数的定义域；3、求解函数模型：主要是计算函数的特殊值，研究函数的单调性，求函数的值域、最大（小）值等，注意发挥函数图象的作用；4、还原评
9、价：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科又要符合实际背景，因于解出的结果要代入原问题进行检验、评判最后作出结论，作出回答实际问题数学模型抽象概括数学模型的解推理演算实际问题的解还原说明解实际应用题的一般思路：1、某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图中（1）的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图中（2）的抛物线表示（1）写出图中（1）表示的市场售价与时间的函数关系式Pf（t）；写出图中（2）表示的种植成本与时间的函数关系式Qg（t）；（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大?作业2、某人骑自行车沿直线匀速行驶，先前进了a千米，休息了一段时间，又沿原路返回b千米（ba），再前进c千米，则此人离起点的距离s与时间t的关系示意图是（）3、用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的3/4，要使存留的污垢不超过1%，则至少要洗的次数是（）A、3B、4C、5D、6THANKS
