1、平面向量的线性运算例1 一辆汽车从点出发向西行驶了100公里到达点，然后又改变方向向西偏北走了200公里到达点，最后又改变方向，向东行驶了100公里到达点。（1）作出向量，；（2）求。分析：解答本题应首先确立指向标，然后再根据行驶方向确定出有关向量，进而求解。解析：（1）如图所示。 （2）由题意易知，与方向相反，故与共线。 又，在四边形中，且， 四边形为平行四边形。 故（公里）。 评注：准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点。例2 化简：。分析：该例为一基础题目，可有多种解法。 解法1：原式 = 评注：该解法是将向量减法转化为加法进行化简的。
2、解法2：原式 =+ = = 评注：本解法是利用，进行化简的。 解法3：设为平面内任意一点，则有 原式 = 评注：本解法是利用关系进行化简的。 例3 对于下列各种情况，各向量的终点的集合分别是什么图形？（1）把所有单位向量的起点平行移动到同一点；（2）把平行于直线的所有单位向量的起点平行移动到直线的点；（3）把平行于直线的所有向量的起点平行移动到直线的点。分析：数学中的向量是自由向量，可以重新选择起点进行平移，只要平移前后两个向量相等即可。解析：（1）是以点为圆心，以1个单位长为半径的圆；（2）是直线上与的距离为1个单位长的两个点；（3）是直线。评注：本题是有关向量的平移变换、单位向量，以及集合等知识的综合题。 例4 已知非零向量和不共线，欲使和共线，试确定实数的值。分析：若与共线，则一定存在，使=（）。 解析：与共线，存在实数，使=（），则。由于和不共线，解得。评注： 本题从正反两方面运用了向量数乘的几何意义，利用共线得到关于的方程，用待定系数法解决问题。
