1、2空间向量的运算第1课时空间向量的线性运算课时过关能力提升1.已知a,b,c是任意三个空间向量,是实数,下列关系式中不成立的是()A.a+b=b+aB.(a+b)=a+bC.(a+b)+c=a+(b+c)D.a=b解析:本题主要考查空间向量加法运算和数乘运算以及空间向量共线条件的应用.因为a,b,c是任意三个空间向量,且只有a,b共线时才有a=b,所以a=b不一定成立.故选D.答案:D2.空间任意四个点A,B,C,D,则DA+CD-CB等于()A.DB B.AC C.AB D.BA解析:DA+CD-CB=BC+CD+DA=BA.答案:D3.如图所示,已知空间四边形ABCD,连接AC,BD,设G
2、是CD的中点,则AB+12(BD+BC)等于()A.AGB.CGC.BCD.12BC解析:因为BD+BC=2BG,所以AB+12(BD+BC)=AB+BG=AG.答案:A4.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为AC与BD的交点.若A1B1=a,A1D1=b,A1A=c,则下列向量中与B1M相等的向量是()A.-12a+12b+cB.12a+12b+cC.12a-12b+cD.-12a-12b+c解析:B1M=B1B+BM=A1A+12(BA+BC)=c+12(-a+b)=-12a+12b+c.答案:A5.如图所示,已知四面体ABCD,E,F,G,H分别为AB,BC,CD,AC的中点,
3、则12(AB+BC+CE+ED)化简的结果为()A.BFB.EHC.HGD.FG解析:12(AB+BC+CE+ED)=12(AC+CE+ED)=12(AE+ED)=122HG=HG.故选C.答案:C6.如图所示,已知A,B,C三点不共线,P为一定点,O为平面ABC外任一点,则下列能正确表示向量OP的为_.(填序号)OA+2AB+2AC;OA-3AB-2AC;OA+3AB-2AC;OA+2AB-3AC.解析:AP=3AB-2AC,AO+OP=3AB-2AC,OP=OA+3AB-2AC.答案:7.已知空间向量s,r不共线,若向量a=ts+r,b=s-t2r,且a与b共线,则实数t的值为.解析:ab
4、存在实数,使得a=b,即ts+r=(s-t2r),于是得t=,1=-t2,解得t=-1,=-1.答案:-18.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,若E为矩形ABCD对角线的交点,则A1E=A1A+xA1B1+yA1D1中的x,y值应为x=_,y=_.解析:A1C=A1A+A1C1=A1A+A1B1+A1D1,A1E=A1A+12AC=A1A+12(A1C-A1A)=12(A1A+A1C)=12(2A1A+A1B1+A1D1)=A1A+12A1B1+12A1D1,x=12,y=12.答案:12129.设四面体ABCD的三条棱AB=b,AC=c,AD=d.用b,c,d表示四面体的其他各棱,以及向
5、量DM和AQ,其中M是BC的中点,Q是BCD的重心.分析:要用已知向量表示其他未知向量,只要结合图形,充分运用空间向量的加法和数乘向量的运算律即可.解:如图所示,BD=BA+AD=d-b;BC=BA+AC=c-b;CD=CA+AD=d-c;DM=12(DB+DC)=12(b-d+c-d)=12(b+c-2d);AQ=AD+DQ=d+23DM=d+13(b+c-2d)=13(b+c+d).10.如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M是AD1的中点,N是BD的中点,判断MN与D1C是否共线.解:连接AC,则N为AC的中点.M,N分别是AD1,AC的中点,四边形ABCD为平行四边形,MN=AN-AM=12AC-12AD1=12(AC-AD1)=12D1C.MN与D1C共线.6
