1、古典概型(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.(多选题)下列试验是古典概型的为()A.从6名同学中选出4人参加数学竞赛,每人被选中的可能性大小相等B.同时掷两颗骰子,点数和为6的概率C.近三天中有一天降雨的概率D.10人站成一排,其中甲、乙相邻的概率【解析】选ABD.A,B,D是古典概型,因为符合古典概型的定义和特点.C不是古典概型,因为不符合等可能性.2.从集合a,b,c,d,e的所有子集中任取一个,则这个集合恰是集合a,b,c的子集的概率是()A.B.C.D.【解析】选C.集合a,b,c,d,e共有25=32个子
2、集,而集合a,b,c的子集有23=8个,所以所求概率为=.3.某学校食堂推出两款优惠套餐,甲、乙、丙三位同学选择同一款套餐的概率为()A.B.C.D.【解析】选C.设两款优惠套餐分别为A,B,列举样本点如图所示.由图可知,共有8个样本点,这8个样本点发生的可能性是相等的.其中甲、乙、丙三位同学选择同一款套餐包括(A,A,A),(B,B,B),共2个样本点,故所求概率为P=.4.在国庆阅兵中,某兵种A,B,C三个方阵按一定次序通过主席台,若先后次序是随机排定的,则B先于A,C通过的概率为()A.B.C.D.【解析】选B.用(A,B,C)表示A,B,C通过主席台的次序,则样本空间=(A,B, C)
3、,(A,C,B),(B,A,C),(B,C,A),(C,A,B),(C,B,A),所以n()=6,其中B先于A,C通过的样本点有:(B,C,A)和(B,A,C),共2个,故所求概率P=.5.一袋中装有大小相同,且编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8的八个球,从中有放回地每次取一个球,共取2次,则取得两个球的编号之和不小于15的概率为()A.B.C.D.【解析】选D.用(i,j)表示第一次取得球编号i,第二次取得球编号j的一个样本点(i,j=1,2,3,8).则所有样本点的总数n=64,其中取得两个球的编号和不小于15的样本点有(7,8),(8,7),(8,8)共3个,故所求的概率P=.6.
4、从1,2,3,4这四个数字中,任取两个不同的数字构成一个两位数,则这个两位数大于30的概率为()A.B.C.D.【解析】选A.从1、2、3、4中任取两个不同数字构成一个两位数的样本空间=(12),(13),(14),(21),(23),(24),(31),(32),(34),(41),(42),(43),所以n()=12,其中大于30的为31、32、34、41、42、43共6个,故P=.二、填空题(每小题5分,共10分)7.(2020江苏高考)将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,则点数和为5的概率是_.【解析】总事件数为66=36,满足条件的事件有(1,4),(2,3),(
5、3,2),(4,1)共4种,则点数和为5的概率为=.答案:8.一个三位自然数,百位、十位、个位上的数字依次为a,b,c,当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”(如213,134等),若a,b,c1,2,3,4,且a,b,c互不相同,则这个三位数为“有缘数”的概率是_.【解析】由1,2,3组成的三位自然数为123,132,213,231,312,321,共6个;同理,由1,2,4组成的三位自然数为6个,由1,3,4组成的三位自然数为6个,由2,3,4组成的三位自然数为6个,共有24个,这24个数出现的可能性是相等的.由1,2,3或1,3,4组成的三位自然数为“有缘数”,共12个,所
6、以这个三位数为“有缘数”的概率为=.答案:三、解答题9.(10分)将一枚骰子先后抛掷两次,则:(1)一共有几个样本点?(2)“出现的点数之和大于8”包含几个样本点?【解析】(树状图法):一枚骰子先后抛掷两次的所有可能结果用树状图表示.如图所示:(1)由图知,共36个样本点.(2)“点数之和大于8”包含10个样本点(已用“”标出).【补偿训练】抛掷两枚骰子求:(1)点数之和是4的倍数的概率.(2)点数之和大于5小于10的概率.【解析】如图样本点与所描点一一对应,共36个.(1)记“点数之和是4的倍数”的事件为A,从图中可以看出,事件A包含的样本点共有9个,即(1,3),(2,2),(2,6),(
7、3,1),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),(6,6).所以P(A)=.(2)记“点数之和大于5小于10”的事件为B,从图中可以看出,事件B包含的样本点有20个,即(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(1,6),(2,5),(3,4),(4,3), (5,2),(6,1),(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),(3,6),(4,5),(5,4),(6,3).所以P(B)=.(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.甲、乙二人玩猜数字游戏,先由甲任想一数字,记为a,再由乙猜甲刚才想的数字,把乙猜出的数字记为b,且a,b1,
8、2,3,4,若|a-b|1,则称甲乙“心有灵犀”.现任意找两个人玩这个游戏,则他们“心有灵犀”的概率为()A.B.C.D.【解析】选B.两人分别从1,2,3,4四个数中任取一个,共有16个样本点,这16个样本点发生的可能性是相等的.其中满足|a-b|1的样本点有(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(3,4),(4,3),(4,4),共10个,故他们“心有灵犀”的概率为=.2.某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯,在全校大一学生中进行了抽样调查.已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生,其中2名喜欢甜品,现在从这5名学生中随机抽取3人,则至多有1人
9、喜欢甜品的概率为()A.0.3B.0.4C.0.6D.0.7【解析】选D.记2名喜欢甜品的学生分别为a1,a2,3名不喜欢甜品的学生分别为b1,b2,b3.从这5名数学系学生中任取3人的所有可能结果共10个,分别为(a1,a2,b1), (a1,a2,b2),(a1,a2,b3),(a1,b1,b2),(a1,b1,b3),(a1,b2,b3),(a2,b1,b2),(a2,b1,b3),(a2,b2,b3),(b1,b2,b3),这10种结果发生的可能性是相等的.记事件A表示“至多有1人喜欢甜品”,则事件A所包含的样本点有(a1,b1,b2),(a1,b1,b3),(a1,b2,b3), (
10、a2,b1,b2),(a2,b1,b3),(a2,b2,b3),(b1,b2,b3),共7个.根据古典概型的概率计算公式,得至多有1人喜欢甜品的概率P(A)=0.7.【补偿训练】先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1,2,3, 4,5,6),骰子朝上的面的点数分别为x,y,则log(2x)y=1的概率为()A.B.C.D.【解析】选C.所有样本点的个数为66=36.由log(2x)y=1得2x=y,其中x,y1,2,3,4,5,6,所以或或满足log(2x)y=1,故事件“log(2x)y=1”包含3个样本点,所以所求的概率为P=.3.一个袋子中装有编号分别为1,2,3,4的
11、4个小球,现有放回地摸球,规定每次只能摸一个球,若第一次摸到的球的编号为x,第二次摸到的球的编号为y,构成数对(x,y),则所有数对(x,y)中满足xy=4的概率为()A.B.C.D.【解析】选A.由题意可知样本空间=(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1), (2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),所以n()=16.满足xy=4为事件A,则样本点为(1,4),(2,2),(4,1),所以n(A)=3.故所求事件的概率为.4.古代“五行”学说认为:“物质分金、木、水、火、土五种属性,金
12、克木、木克土、土克水、水克火、火克金.”从五种不同属性的物质中随机抽取两种,则抽取的两种物质不相克的概率为()A.B.C.D.【解析】选C.试验的样本空间=(金,木)、(金,水)、(金,火)、(金,土)、(木,水)、(木,火)、(木,土)、(水,火)、(水,土)、(火,土),所以n()=10,两种物质不相克为事件A,金克木,木克土,土克水,水克火,火克金,即相克的有5种,所以n(A)=5,所以抽取的两种物质不相克的概率为.二、填空题(每小题5分,共20分)5.甲、乙、丙三名奥运志愿者被随机分到A,B两个不同的岗位,且每个岗位至少1人,则甲、乙两人被分到同一岗位的概率为_.【解析】所有可能的分配
13、方式如表:A甲、乙甲、丙乙、丙甲乙丙B丙乙甲乙、丙甲、丙甲、乙则样本空间共有6个样本点,令事件M为“甲、乙两人被分到同一岗位”,则事件M包含2个样本点,所以P(M)=.答案:6.一次掷两枚骰子,得到的点数为m和n,则关于x的方程x2+(m+n)x+4=0无实数根的概率是_.【解析】样本点共有36个.因为方程无实根,所以=(m+n)2-160.即m+n4,其中有:(1,1),(1,2),(2,1),共3个样本点.所以所求概率为=.答案:7.有20张卡片,每张卡片上分别标有两个连续的自然数k,k+1,其中k=0,1, 2,19.从这20张卡片中任取一张,记事件“该卡片上两个数的各位数字之和(例如:
14、若取到标有9,10的卡片,则卡片上两个数的各位数字之和为9+1+0=10)不小于14”为A,则P(A)=_.【解析】20张卡片任取一张,有20种取法,即样本点有20个,所以n()=20,其中两个数的各位数字之和不小于14的有(7,8),(8,9),(16,17),(17,18),(18,19),所以n(A)=5.则P(A)=.答案:8.从集合A=2,3中随机取一个元素m,从集合B=1,2,3中随机取一个元素n,得到点P(m,n),则点P在圆x2+y2=9内部的概率为_.【解析】点P(m,n)的所有结果有(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)共6种情况,所以n()
15、=6,每种结果等可能出现,属于古典概型,记“点P在圆x2+y2=9内部”为事件A,即m2+n29,则A包含的样本点有(2,1),(2,2),所以n(A)=2,所以P(A)=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,记录指针所指区域中的数(不考虑指针落在分界线上的情况).设两次记录的数分别为x,y.奖励规则如下:若xy3,则奖励玩具一个;若xy8,则奖励水杯一个;其余情况奖励饮料一瓶.假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.(1)求小亮获得玩具的概率;(2)
16、请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由.【解析】用数对(x,y)表示儿童参加活动先后记录的数,则样本空间与点集S=(x,y)|xN,yN,1x4,1y4一一对应.因为S中元素的个数是44=16,所以样本点总数n=16,且这16个样本点发生的可能性是相等的.(1)记“xy3”为事件A,则事件A包含的样本点共5个,即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1).所以P(A)=,即小亮获得玩具的概率为.(2)记“xy8”为事件B,“3xy,所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.10.小李在做一份调查问卷,共有5道题,其中有两种题型,一种是选择题,共3道,另一种是填空题
17、,共2道.(1)小李从中任选2道题解答,每一次选1题(不放回),求所选的题不是同一种题型的概率;(2)小李从中任选2道题解答,每一次选1题(有放回),求所选的题不是同一种题型的概率.【解析】(1)将3道选择题依次编号为1,2,3;2道填空题依次编号为4,5.从5道题中任选2道题解答,每一次选1题(不放回),样本空间=(1,2), (1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),共20个样本点,这20个样本点发生的可能
18、性是相等的.设事件A为“所选的题不是同一种题型”,则事件A包含的样本点有(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),共12个,所以P(A)=0.6.(2)从5道题中任选2道题解答,每一次选1题(有放回),样本空间=(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),共25个样本点,这25个样本点发生的可能性是相等的.设事件B为“所选的题不是同一种题型”,则事件B包含的样本点有(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),共12个,所以P(B)=0.48.
