1、2016年山东省泰安市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知全集U=1，2，3，4，5，集合A=1，2，3，集合B=3，4，则（UA）B=（）A4B2，3，4C3，4，5D2，3，4，52已知为实数，则实数t的值为（）A1B1CD3如图是一个程序框图，则输出S的值是（）A84B35C26D104下列说法正确的是（）A命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x1”B已知y=f（x）是R上的可导函数，则“f（x0）=0”是“x0是函数y=f（x）的极值点”的必要不充分条件C命题“存在x
2、R，使得x2+x+10”的否定是：“对任意xR，均有x2+x+10”D命题“角的终边在第一象限角，则是锐角”的逆否命题为真命题5高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的（）ABCD6已知点及抛物线x2=4y上一动点P（x，y），则|y|+|PQ|的最小值是（）AB1C2D37已知A（2，1），O（0，0），点M（x，y）满足，则的最大值为（）A5B1C0D18已知下列三个命题：若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；在区间1，5上随机选取一个数x，则x3的概率为；直线x+y+1=0与圆相切；其中真命题
3、的个数是（）A0B1C2D39已知函数的图象向右平移个单位后与原图象重合，则的最小值是（）A3BCD10奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）为偶函数，且f（1）=2，则f（4）+f（5）的值为（）A2B1C1D2二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分，请把答案填写在答题卡相应位置.11已知，则cos（302）的值为_12随机抽取100名年龄在10，20），20，30），50，60）年龄段的市民进行问卷调查，由此得到样本的频率分布直方图如图所示，从不小于30岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取22人，则在50，60）年龄段抽取的人数为_13已知an为等比数列，下列结论a3+a
4、52a4；若a3=a5，则a1=a2；若a5a3，则a7a5其中正确结论的序号是_14在平行四边形ABCD中，为CD的中点，若则AD的长为_15若函数f（x）=2x3+2tx2+1存在唯一的零点，则实数t的取值范围为_三、解答题：本大题共6个小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16已知函数f（x）=sinxcos（x+）+1（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）在ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边f（C）=，b=4， =12，求c17有两个袋子，其中甲袋中装有编号分别为1、2、3、4的4个完全相同的球，乙袋中装有编号分别为2、4、6的3个完全相同的球（）从甲
5、、乙袋子中各取一个球，求两球编号之和小于8的概率；（）从甲袋中取2个球，从乙袋中取一个球，求所取出的3个球中含有编号为2的球的概率18已知等比数列an的公比q1，a1=1，且a1，a3，a2+14成等差数列，数列bn满足：a1b1+a2b2+anbn=（n1）3n+1，nN（I）求数列an和bn的通项公式；（）若manbn8恒成立，求实数m的最小值19如图，在三棱锥PABC中，AB平面PAC，APC=90，E是AB的中点，M是CE的中点，N点在PB上，且4PN=PB（）证明：平面PCE平面PAB；（）证明：MN平面PAC20如图：A，B，C是椭圆的顶点，点F（c，0）为椭圆的右焦点，离心率为，
6、且椭圆过点（）求椭圆的方程；（）若P是椭圆上除顶点外的任意一点，直线CP交x轴于点E，直线BC与AP相交于点D，连结DE设直线AP的斜率为k，直线DE的斜率为k1，证明：21已知函数f（x）=lnx（）求函数的最大值（）证明：；（）若不等式mf（x）a+x对所有的都成立，求实数a的取值范围2016年山东省泰安市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知全集U=1，2，3，4，5，集合A=1，2，3，集合B=3，4，则（UA）B=（）A4B2，3，4C3，4，5D2，3，4，5【考点】
7、交、并、补集的混合运算【分析】根据全集U求出A的补集，找出A补集与B的并集即可【解答】解：全集U=1，2，3，4，5，集合A=1，2，3，UA=4，5，B=3，4，则（UA）B=3，4，5故选：C2已知为实数，则实数t的值为（）A1B1CD【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由虚部为0求得t值【解答】解：z1=2t+i，z2=12i，=，又为实数，4t+1=0，即t=故选：D3如图是一个程序框图，则输出S的值是（）A84B35C26D10【考点】程序框图【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环
8、中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：当k=1时，不满足退出循环的条件，执行循环后，S=1，k=3；当k=3时，不满足退出循环的条件，执行循环后，S=10，k=5；当k=5时，不满足退出循环的条件，执行循环后，S=35，k=7；当k=7时，满足退出循环的条件，故输出的S值为35，故选：B4下列说法正确的是（）A命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x1”B已知y=f（x）是R上的可导函数，则“f（x0）=0”是“x0是函数y=f（x）的极值点”的必要不充分条件C命题“存在xR，使得x2+x+10”的否定是：“对任意xR，均有x2+x+10”D命题“角的终边在第一象限角，则
9、是锐角”的逆否命题为真命题【考点】命题的真假判断与应用【分析】利用命题的定义判断A的正误；函数的极值的充要条件判断B的正误；命题的否定判断C的正误；四种命题的逆否关系判断D的正误；【解答】解：对于A，命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x1”，不满足否命题的定义，所以A不正确；对于B，已知y=f（x）是R上的可导函数，则“f（x0）=0”函数不一定有极值，“x0是函数y=f（x）的极值点”一定有导函数为0，所以已知y=f（x）是R上的可导函数，则“f（x0）=0”是“x0是函数y=f（x）的极值点”的必要不充分条件，正确；对于C，命题“存在xR，使得x2+x+10”的否定是
10、：“对任意xR，均有x2+x+10”，不满足命题的否定形式，所以不正确；对于D，命题“角的终边在第一象限角，则是锐角”是错误命题，则逆否命题为假命题，所以D不正确；故选：B5高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的（）ABCD【考点】由三视图求面积、体积【分析】剩余几何体为四棱锥，分别计算出三棱柱和剩余几何体的体积【解答】解：由俯视图可知三棱柱的底面积为=2，原直三棱柱的体积为24=8由剩余几何体的直观图可知剩余几何体为四棱锥，四棱锥的底面为侧视图梯形的面积=6，由俯视图可知四棱锥的高为2，四棱锥的体积为=
11、4该几何体体积与原三棱柱的体积比为故选C6已知点及抛物线x2=4y上一动点P（x，y），则|y|+|PQ|的最小值是（）AB1C2D3【考点】抛物线的简单性质；抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系【分析】抛物线的准线是y=1，焦点F（0，1）设P到准线的距离为d，利用抛物线的定义得出：y+|PQ|=d1+|PQ|=|PF|+|PQ|1|FQ|1，利用当且仅当F、Q、P共线时取最小值，从而得出故y+|PQ|的最小值【解答】解：抛物线x2=4y的准线是y=1，焦点F（0，1）设P到准线的距离为d，则y+|PQ|=d1+|PQ|=|PF|+|PQ|1|FQ|1=31=2（当且仅当F、Q、P共线时取
12、等号）故y+|PQ|的最小值是2故选：C7已知A（2，1），O（0，0），点M（x，y）满足，则的最大值为（）A5B1C0D1【考点】简单线性规划【分析】先画出平面区域D，进行数量积的运算即得z=2x+y5，所以y=2x+5+z，所以根据线性规划的方法求出z的最大值即可【解答】解：表示的平面区域D，如图中阴影部分所示，A（2，1），O（0，0），点M（x，y）的=（2，1）（x2，y1）=2x+y5；y=2x+5+z；5+z表示直线y=2x+5+z在y轴上的截距，所以截距最大时z最大；如图所示，当该直线经过点A1（2，2）时，截距最大，此时z最大；所以点A1（2，2）代入直线y=2x+5+z即
13、得z=1故选：D8已知下列三个命题：若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；在区间1，5上随机选取一个数x，则x3的概率为；直线x+y+1=0与圆相切；其中真命题的个数是（）A0B1C2D3【考点】命题的真假判断与应用【分析】根据标准差的含义，可判断；根据几何概型概率计算公式，可判断；根据直线与圆的位置关系，可判断【解答】解：若两组数据的平均数相等，不表示离散程度相等，则它们的标准差可能不相等，故为假命题；在区间1，5上随机选取一个数x，则x3的概率为=，故为假命题；（0，0）点到直线x+y+1=0的距离d=，故直线x+y+1=0与圆相切，故为真命题；故选：B9已知函数的图象向右平移个单
14、位后与原图象重合，则的最小值是（）A3BCD【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】函数的图象向右平移个单位后与原图象重合可判断出是周期的整数倍，由此求出的表达式，判断出它的最小值【解答】解：函数的图象向右平移个单位后与原图象重合，=n，nz，=3n，nz，又0，故其最小值是3故选：A10奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）为偶函数，且f（1）=2，则f（4）+f（5）的值为（）A2B1C1D2【考点】抽象函数及其应用；奇偶性与单调性的综合【分析】根据函数的奇偶性的性质，得到f（x+4）=f（x），即可得到结论【解答】解：f（x+1）为偶函数，f（x）是奇函数，设g（x）=f（
15、x+1），则g（x）=g（x），即f（x+1）=f（x+1），f（x）是奇函数，f（x+1）=f（x+1）=f（x1），即f（x+2）=f（x），f（x+4）=f（x+2+2）=f（x+2）=f（x），则f（4）=f（0）=0，f（5）=f（1）=2，f（4）+f（4）=0+2=2，故选：A二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分，请把答案填写在答题卡相应位置.11已知，则cos（302）的值为【考点】二倍角的余弦；两角和与差的余弦函数【分析】利用诱导公式求得sin（15）=，再利用二倍角的余弦公式可得cos（302）=12sin2（15），运算求得结果【解答】解：已知，sin（15
16、）=，则cos（302）=12sin2（15）=，故答案为12随机抽取100名年龄在10，20），20，30），50，60）年龄段的市民进行问卷调查，由此得到样本的频率分布直方图如图所示，从不小于30岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取22人，则在50，60）年龄段抽取的人数为2【考点】频率分布直方图【分析】根据频率分布直方图，求出样本中不小于30岁人的频率与频数，再求用分层抽样方法抽取的人数【解答】解：根据频率分布直方图，得；样本中不小于30岁的人的频率是10.02010+0.02510=0.55，不小于30岁的人的频数是1000.55=55；从不小于30岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机
17、抽取22人，在50，60）年龄段抽取的人数为22=22=2故答案为：213已知an为等比数列，下列结论a3+a52a4；若a3=a5，则a1=a2；若a5a3，则a7a5其中正确结论的序号是【考点】命题的真假判断与应用【分析】根据等比数列的性质结合不等式的关系进行判断即可【解答】解：an=（1）n，则a3+a52a4不成立，故错误，a32+a522|a3a5|=2a42；故；故正确，若an=（1）n，则a3=a5=1，但a1=1，a2=1，a1=a2；不成立，故错误，若a5a3，则q2a3a3，q20，q2a5q2a3，即a7a5成立，故正确，故正确的是，故答案为：14在平行四边形ABCD中，
18、为CD的中点，若则AD的长为1【考点】平面向量数量积的运算【分析】用表示出，代入数量积公式解出AD【解答】解：， =+=（）（）=+=1=， =AD2，AD2+=1，解得AD=1故答案为：115若函数f（x）=2x3+2tx2+1存在唯一的零点，则实数t的取值范围为t【考点】函数零点的判定定理【分析】求解导数f（x）=6x2+4tx，分类讨论得出极值点，根据单调性判断极值的大小，即可得出零点的个数【解答】解：函数f（x）=2x3+2tx2+1，f（x）=6x2+4tx=0，x=0，x=（1）当t=0时，f（x=2x3+1单调递减，f（0）=10，f（2）=150存在唯一的零点，是正数（2）当t
19、0时，f（x）=6x2+4tx0，即0f（x）=6x2+4tx00，即x0，xf（x）在（，0），（，+）单调递减在（0，）单调递增极大值f（）f（1），极小值f（0）=10，存在唯一的零点，（3）当t0时，f（x）=6x2+4tx0，即x0f（x）=6x2+4tx00，即x，x0f（x）在（，），（0，+）单调递减在（，0）单调递增极小值f（）f（1），极大值f（0）=10，只需极小值f（）0即可，+10，且t0t0，综上：t0，或t0故答案为：t三、解答题：本大题共6个小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16已知函数f（x）=sinxcos（x+）+1（1）求函数f（
20、x）的单调递减区间；（2）在ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边f（C）=，b=4， =12，求c【考点】解三角形；两角和与差的余弦函数【分析】（1）使用和角公式展开再利用二倍角公式与和角的正弦公式化简f（x），利用正弦函数的单调性列出不等式解出；（2）根据f（C）=求出C，根据， =12解出a，使用余弦定理解出c【解答】解：（1）f（x）=sinx（cosxsinx）+1=sin2x+1=sin（2x+）+令2x+，解得x函数f（x）的单调递减区间是，kZ（2）f（C）=sin（2C+）+=，sin（2C+）=1，C=abcosA=2a=12，a=2由余弦定理得c2=a2+b22ab
21、cosC=12+1624=4c=217有两个袋子，其中甲袋中装有编号分别为1、2、3、4的4个完全相同的球，乙袋中装有编号分别为2、4、6的3个完全相同的球（）从甲、乙袋子中各取一个球，求两球编号之和小于8的概率；（）从甲袋中取2个球，从乙袋中取一个球，求所取出的3个球中含有编号为2的球的概率【考点】古典概型及其概率计算公式【分析】（）利用列举法能求出两球编号之和小于8的概率（）从甲袋中任取2球，从乙袋中任取一球，先求出所有基本事件个数，再求出含有编号2的基本事件个数，由此能求出所取出的3个球中含有编号为2的球的概率【解答】解：（）将甲袋中编号分别为1，2，3，4的4个分别记为A1，A2，A3
22、，A4，将乙袋中编号分别为2，4，6的三个球分别记为B2，B4，B6，从甲、乙两袋中各取一个小球的基本事件为：（A1，B2），（A1，B4），（A1，B6），（A2，B2），（A2，B4），（A2，B6），（A3，B2），（A3，B4），（A3，B6），（A4，B2），（A4，B4），（A4，B6），共12种，其中两球面镜编号之和小于8的共有8种，所以两球编号之和小于8的概率为：=（）从甲袋中任取2球，从乙袋中任取一球，所有基本事件个数n=18，其中不含有编号2的基本事件有，含有编号2的基本事件个数m=186=12，所取出的3个球中含有编号为2的球的概率p=18已知等比数列an的公比q1，a1
23、=1，且a1，a3，a2+14成等差数列，数列bn满足：a1b1+a2b2+anbn=（n1）3n+1，nN（I）求数列an和bn的通项公式；（）若manbn8恒成立，求实数m的最小值【考点】数列的求和；等比数列的通项公式【分析】（I）数列an是首项为1，公比为q的等比数列，运用等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，解方程可得an=3n1，再将n换为n1，两式相减可得bn=2n1；（2）若manbn8恒成立，即为m的最大值，由cn=，作差，判断单调性，即可得到最大值，进而得到m的最小值【解答】解：（I）数列an是首项为1，公比为q的等比数列，an=qn1，由a1，a3，a2+14成等差数列，
24、可得2a3=a1+a2+14，即为2q2=1+q+14，解得q=3（负的舍去），即有an=3n1，a1b1+a2b2+a3b3+anbn=b1+3b2+32b3+3n1bn=（n1）3n+1，b1+3b2+32b3+3n2bn1=（n11）3n1+1（n2），两式相减得：3n1bn=（n1）3n（n2）3n1=（2n1）3n1，bn=2n1，当n=1时，a1b1=1，即b1=1满足上式，数列bn的通项公式是bn=2n1；（2）若manbn8恒成立，即为m的最大值，由cn=，n2时，cn1=，cncn1=，可得n=2，3，6时，cncn1；n=7，时，cncn1即有n=5或6时，cn取得最大值，
25、且为，即为m，可得m的最小值为19如图，在三棱锥PABC中，AB平面PAC，APC=90，E是AB的中点，M是CE的中点，N点在PB上，且4PN=PB（）证明：平面PCE平面PAB；（）证明：MN平面PAC【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质【分析】（I）由AB平面PAC可得ABPC，再结合APPC得出PC平面PAB，故而平面PCE平面PAB；（II）取AE中点Q，连结NQ，MQ，则可证明平面MNQ平面PAC，故而MN平面PAC【解答】证明：（I）AB平面PAC，PC平面PAC，ABPC，APC=90，APPC，又AP平面PAB，AB平面PAB，APAB=A
26、，PC平面PAB，PC平面PCE，平面PCE平面PAB（II）取AE中点Q，连结NQ，MQ，M是CE中点，MQAC，PB=4PN，AB=4AQ，QNAP，又APPC=P，AP平面APC，PC平面APC，QNQM=Q，QN平面MNQ，QM平面MNQ，平面MNQ平面PAC，MN平面MNQ，MN平面PAC20如图：A，B，C是椭圆的顶点，点F（c，0）为椭圆的右焦点，离心率为，且椭圆过点（）求椭圆的方程；（）若P是椭圆上除顶点外的任意一点，直线CP交x轴于点E，直线BC与AP相交于点D，连结DE设直线AP的斜率为k，直线DE的斜率为k1，证明：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；椭圆的
27、简单性质【分析】（I）由题意得=， +=1，a2=b2+c2联立解得即可得出椭圆方程（）由截距式可得直线BC的方程为：y=x+2直线AP的方程为：y=k（x4），与椭圆方程联立可得：（4k2+1）x232k2x+64k216=0，又点P在椭圆上，利用根与系数的关系可得P利用斜率计算公式可得kCP，可得直线CP的方程，可得E把直线BC与AP的方程联立可得D可得直线DE的斜率，化简整理即可证明【解答】解：（I）由题意得=， +=1，a2=b2+c2联立解得a2=16，b2=4，椭圆C： +=1证明：（）A（4，0），B（4，0），C（0，2），直线BC的方程为： =1，化为：y=x+2直线AP的方
28、程为：y=k（x4），与椭圆方程联立可得：（4k2+1）x232k2x+64k216=0，又点P在椭圆上，4xP=，解得xP=，yP=k（xP4）=，故PkCP=，故直线CP的方程为：y=x+2，令y=0，解得x=，可得E把直线BC与AP的方程联立可得：，解得，D直线DE的斜率为k1=，21已知函数f（x）=lnx（）求函数的最大值（）证明：；（）若不等式mf（x）a+x对所有的都成立，求实数a的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】（）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值即可；（）令h（x）=xf（x），求出h
29、（x）的导数，得到函数的单调区间，求出h（x）的最小值，结合F（x）的最大值，从而证出结论即可；（）利用参数分离法，转化为以m为变量的函数关系进行求解即可【解答】解：（）F（x）=+=+，F（x）=，令F（x）0，解得：xe，令F（x）0，解得：xe，F（x）在（0，e）递增，在（e，+）递减，故F（x）max=+；证明：（）令h（x）=xf（x），则h（x）=，从而h（x）在（0，1）递减，在（1，+）递增，h（x）的最小值是h（1）=1，又F（x）的最大值是+1，F（x）h（x），即+xf（x）；解：（）不等式mf（x）a+x对所有的m0，x1，e2都成立，则amlnxx对所有的m0，x1，e2都成立，令H（x）=mlnxx，m0，x1，e2是关于m的一次函数，x1，e2，lnx0，2，当m=0时，H（m）取得最小值x，即ax，当x1，e2时，恒成立，故ae22016年9月19日
