1、专题7不等式选讲1.含绝对值不等式的解法(1)用零点分段法求零点;划区间、去绝对值符号;分别解去掉绝对值的不等式;取每个结果的并集,注意在分段时不要遗漏区间的端点值.(2)数形结合法:用于求解含有绝对值的不等式,使得代数问题几何化,既通俗易懂,又简洁直观.2.绝对值不等式的成立问题的求解策略(1)分离参数:根据不等式将参数分离,化为af(x)或af(x)的形式.(2)转化最值:f(x)a恒成立f(x)mina;f(x)a恒成立f(x)maxa有解f(x)maxa;f(x)a有解f(x)mina无解f(x)maxa;f(x)a无解f(x)mina.(3)求最值:利用基本不等式或绝对值不等式求最值
2、.(4)得结论.求解绝对值不等式的步骤第一步找零点:利用题意将所给的绝对值函数写成分段函数的形式然后求解不等式即可;第二步写解集:求各段解集的并集;第三步找关系:利用分类讨论或不等式的性质将问题转化,利用恒成立找关系;第四步求范围:根据关系求范围.1.步骤分:(1)第(1)问中综上所述不要缺少;(2)明确a的取值范围.2.关键分:第(2)问中的当且仅当2a-1xa2时取等号是解题的关键.3.计算分:计算准确是根本保证.4.对于含有绝对值符号的不等式,在求解时可讨论绝对值符号内的式子大于或小于0时分别求解.【典例】(10分)(2020全国卷)已知函数f(x)=|x-a2|+|x-2a+1|.(1
3、)当a=2时,求不等式f(x)4的解集;(2)若f(x)4,求a的取值范围.求f(x)4的解集,想到a=2时f(x)=|x-4|+|x-3|.(1)分别讨论x3,3x4以及x4时求f(x)4的解集.(2)f(x)4时,求a的取值范围,联想到f(x)的最小值用a表示出来,进而求解.【标准答案】(1)当a=2时,f(x)=|x-4|+|x-3|. 1分当x3时,f(x)=4-x+3-x=7-2x4,解得:x; 2分当3x1的解集;(2)若x(0,1)时不等式f(x)x成立,求a的取值范围.1.(面积问题)已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a0.(1)当a=1时,求不等式f(x)1的解集;
4、(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.2.(集合问题)已知函数f(x)=|x-a|+|x-1|.(1)若a=0,求不等式f(x)的解集;(2)若f(x)a2的解集包含0,1,求a的取值范围.3.(分类讨论问题)已知f(x)=|x+a|.(1)若f(x)|2x-1|的解集为0,2,求a的值;(2)若对任意xR,不等式f(x)+|x-a|3a-2恒成立,求实数a的取值范围.4.(恒成立问题)已知函数f(x)=|x-2|.(1)解不等式f(x)+f6;(2)对a+b=1及xR,不等式f-f+恒成立,求实数m的取值范围.5.(与方程结合)设函数f(x)=2x-1-|x-1
5、|.(1)求不等式f(x)1恒成立,所以x1;当-1x1,所以x1;当x-1时,f(x)=-21的解集为.(2)当x(0,1)时|x+1|-|ax-1|x成立等价于当x(0,1)时|ax-1|0,|ax-1|1的解集为,所以1,故01化为|x+1|-2|x-1|-10,当x-1时,不等式化为x-40,无解;当-1x0,解得x0,解得1x1的解集为.(2)由题设可得,f(x)=所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A,B,C,ABC的面积为.由题设得6,故a2.所以a的取值范围为.2.【解析】(1)当a=0时,函数f(x)=|x|+|x-1|,当x等价于|x|+|x-1|-2,
6、该不等式恒成立,当0等价于12,该不等式不成立,当x1时,f(x)等价于,解得x.所以不等式f(x)的解集为(-,0).(2)由f(x)a2的解集包含0,1,得x0,1时f(x)a2恒成立,即|x-a|+1-xa2恒成立,即|x-a|a2-1+x恒成立,即-a2+1-xx-a或a,所以a的取值范围是.3.【解析】(1)不等式f(x)|2x-1|,即|x+a|2x-1|,两边平方整理得3x2-x+1-a20,由题意知0和2是方程3x2-x+1-a2=0的两个实数根,即,解得a=1.(2)因为f(x)+|x-a|=|x+a|+|x-a|-|=2|a|,所以要使不等式f(x)+|x-a|3a-2恒成
7、立,只需2|a|3a-2,当a0时,2a3a-2,解得a2,即0a2;当a0时,-2a3a-2,解得a,即a0;综上所述,a的取值范围是.4.【解析】(1)f(x)+f=|x-2|+|2x-1|=当x2时,由3x-36,解得x3.所以不等式f(x)+f(2x+1)6的解集为.(2)因为a+b=1,所以+=5+5+2=9(当且仅当a=,b=时等号成立).由题意知对xR,|x-2-m|-|-x-2|9,即(|x-2-m|-|-x-2|)max9,因为|x-2-m|-|-x-2|-|=|-4-m|,所以-9m+49,解得-13m5.5.【解析】(1)f(x)=2x-1-|x-1|=,因为f(x)3,
8、所以或,所以x1或1x3,即x3,所以不等式的解集为(-,3).(2)方程f(x)=x2+ax,即2x-1-|x-1|=x2+ax,显然x=0不是方程的根,故a=,令g(x)=,当x0时,-x,所以,解得a=1;当a0时,x-,所以,无解,所以实数a的值为1.(2)由已知得g(x)=f(x)+f=|x-2|+|x+1|=,不等式g(x)-tx2,即g(x)tx+2,由题意知y=tx+2恒过(0,2)点,如图,由图可知,当t0时,tkFM,又因为kEM=-1;kFM=,所以t-1或t.7.【解析】(1)f(x)=|2x+2|+|x-1|=故当x=-1时,函数f(x)有最小值2,所以t=2.(2)
9、由(1)可知2a2+2b2=2,故a2+1+b2+2=4,所以+=1,当且仅当a2+1=b2+2=2,即a2=1,b2=0时等号成立,故+的最小值为1.8.【证明】(1)要证(a+b)(ab+c2)4abc,可证a2b+ac2+ab2+bc2-4abc0,需证b(a2+c2-2ac)+a(c2+b2-2bc)0,即证b(a-c)2+a(c-b)20,当且仅当a=b=c时,取等号,由已知,上式显然成立,故不等式(a+b)(ab+c2)4abc成立.(2)因为a,b,c均为正实数,由不等式的性质知=,当且仅当a+1=2时,取等号;=,当且仅当b+1=2时,取等号;=,当且仅当c+1=2时,取等号;以上三式相加,得=6,所以+3,当且仅当a=b=c=1时,取等号.关闭Word文档返回原板块
