1、球1三棱锥的顶点都在球的球面上，若三棱锥的体积的最大值为，则球的体积为ABCD解：因为，且，所以，过的中点作平面的垂线，则球心在直线上，设，球的半径为，则棱锥的高的最大值为，所以，解得，在中，则，由解得，所以球的体积为故选：2四面体的四个顶点都在球上，且，则球的表面积为ABCD解：如图，取，的中点，连结，因为，所以，又，故，则，所以为等腰直角三角形，所以，取上一点，连结，因为，只需使得，则点为三棱锥外接球的球心，设，则，所以，解得，所以，故球的表面积为故选：3已知四棱锥的底面是矩形，其中，平面平面，且直线与所成角的余弦值为，则四棱锥的外接球表面积为ABCD解：如图，取的中点，连接，则，平面平面
2、，且平面平面，平面，平面，设四棱锥的外接球的球心为，连接，设，连接，则底面，直线与所成角的余弦值为，即，设，则，平面平面，且平面平面，平面，平面，则，又，解得，可得，又，四棱锥的外接球的半径满足：，四棱锥的外接球表面积为故选：4已知三棱锥中，是以角为直角的直角三角形，为的外接圆的圆心，那么三棱锥外接球的体积为ABCD解：如图，设三棱锥外接球的球心为，半径为，连结，由已知可得，为圆的直径，则，因为，在中，由余弦定理可得，则，又，所以为钝角，由正弦定理可得，即，解得，所以，因为，三线共面，则，在中，在中，所以，解得，故三棱锥的外接球的体积为故选：5九章算术卷五商功中描述几何体“阳马”为“底面为矩形
3、，一棱垂直于底面的四棱锥”，现有阳马（如图），平面，点，分别在，上，当空间四边形的周长最小时，三棱锥外接球的表面积为ABCD解：如图所示，把，剪开，使得与矩形在同一个平面内延长到，使得，则四点，在同一条直线上时，取得最小值，即空间四边形的周长取得最小值可得，点为的中点如图所示，设的外心为，外接圆的半径为，则取分别为，的中点设，则，解得设三棱锥外接球的半径为，则三棱锥外接球的表面积故选：6已知三棱锥的底面是正三角形，点在侧面内的射影是的垂心，当三棱锥体积最大值时，三棱锥的外接球的表面积为ABCD解：延长交于，连接，是的垂心，平面，平面，又平面，平面，平面，又平面，连接并延长交于，连接，由平面可得
4、，又，平面，设在平面上的射影为，延长交于，连接，平面，是的中心，是的中点，当，两两垂直时，三棱锥体积取得最大值时，将，作为正方体的相邻的三条棱补成正方体，则外接球的直径即为正方体的对角线长，所以三棱锥的外接球的半径满足：，解得，所以球的表面积为，故选：7三棱锥中，的面积为，则此三棱锥外接球的体积为ABCD解：如图所示：，又，则，又由三角形的面积为，得三角形的高，求解直角三角形可得，在中，由余弦定理可得，即，解得（舍，或，则，得到，根据球的性质可得为三棱锥的外接球的直径，得，此三棱锥外接球的体积为故选：8如图，已知四棱锥的底面是等腰梯形，且平面，若，则四棱锥的外接球的体积为ABCD解：过点，作球
5、的截面如图1，设的中点为，连接，则，且，所以四边形是平行四边形，所以，同理，所以，所以到等腰梯形各个顶点的距离都相等，过点，作球的截面，如图2，设的中点为，连接，则，所以平面，所以，又，所以，所以点是四棱锥外接球的球心，在中，所以，所以四棱锥的外接球的体积：，故选：9在三棱锥中，是边长为3的等边三角形，二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为解：取的中点，连接、，因为是等边三角形，所以，又因，所以，所以即为二面角的平面角，即，因为是等边三角形，所以的外接圆圆心即为三角形的重心，过作平面，而为的外接圆圆心，过作平面，所以与的交点即为三棱锥外接球的球心，作平面截面图，则，而，则，所以，所以三棱锥外
6、接球的表面积为故答案为：10已知三棱锥外接球的球心在线段上，若与均为面积是的等边三角形，则三棱锥的体积为解：如图，三棱锥外接球的球心在线段上，又与均为面积是的等边三角形，设，则，得，即，可得，进一步求得，得到，设中点，连接，求得且，又，平面，在中，则故答案为：11已知球是三棱锥的外接球，点是的中点，且，则球的表面积为解：由，得由点是 的中点及，求得，又，得，又且，平面，平面球心到底面 的距离，由正弦定理得 的外接圆半径，球的半径为，球的表面积为故答案为：12在正三棱锥中，点是的中点，若，则该三棱锥外接球的表面积为解：如图，取中点，连接，在正三棱锥中，、平面，平面平面，又，、平面，平面又平面，平面，平面、平面，正三棱锥的三个侧面全等，、两两垂直，且可将正三棱锥补成正方体正三棱锥外接球的直径即为正方体的体对角线正三棱锥的外接球的表面积为13在棱长为2的正方体中，是的中点，是上的动点，则三棱锥外接球表面积的最小值为解：连结，取中点，设点到的距离，连结，过作垂直平面，设，为三棱锥的外接球的球心，以为原点，分别以，所在直线为，轴建立空间直角坐标系，则，0，1，2，则球半径，得，则，当且仅当时取等号三棱锥的外接球的表面积最小值为：故答案为：
