1、111.6祖暅原理与几何体的体积最新课程标准：1.了解柱、锥、台和球的体积计算公式(重点)2.能够运用柱、锥、台、球的体积公式求简单几何体的体积(重点)3.台体的体积及简单几何体的体积计算(难点)知识点一祖暅原理(1)“幂势既同，则积不容异”，即“夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积_，那么这两个几何体的体积_”(2)作用：等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积_知识点二柱体、锥体、台体和球的体积公式其中S、S分别表示上、下底面的面积，h表示高，r和r分别表示上、下底面圆的半径，R表示球的半径名称体积(V)柱体棱柱_圆柱r2h锥体棱锥_圆锥r
2、2h台体棱台_圆台h(r2rrr2)球_基础自测1若长方体的长、宽、高分别为3 cm、4 cm、5 cm，则长方体的体积为()A27 cm3 B60 cm3C64 cm3 D125 cm32圆锥的母线长为5，底面半径为3，则其体积为()A15 B30C12 D363如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4，那么圆柱的体积等于()A B2C4 D84已知圆锥SO的高为4，体积为4，则底面半径r_.题型一求柱体的体积例1如图所示的几何体，上面是圆柱，其底面直径为6 cm，高为3 cm，下面是正六棱柱，其底面边长为4 cm，高为2 cm，现从中间挖去一个直径为2 cm的圆柱，求此几何体的体积方法归纳计算
3、柱体体积的关键及常用技巧(1)计算柱体体积的关键：确定柱体的底面积和高(2)常用技巧：充分利用多面体的截面及旋转体的轴截面，构造直角三角形，从而计算出底面积和高由于柱体的体积仅与它的底面积和高有关，而与柱体是几棱柱，是直棱柱还是斜棱柱没有关系，所以我们往往把求斜棱柱的体积通过作垂直于侧棱的截面转化成求直棱柱的体积跟踪训练1一个正方体的底面积和一个圆柱的底面积相等，且侧面积也相等，求正方体和圆柱的体积之比题型二求锥体的体积例2如图三棱台ABCA1B1C1中，ABA1B112，求三棱锥A1ABC，三棱锥BA1B1C，三棱锥CA1B1C1的体积之比ABA 1B 112SABCSA1B1C1计算VA1
4、ABC计算VC A1 B1C1计算VBA1 B1C1方法归纳三棱柱、三棱台可以分割成三个三棱锥，分割后可求锥体的体积和柱体或台体的体积关系，割补法在立体几何中是一种重要的方法跟踪训练2如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则三棱锥D1ADC的体积是()A. B.C. D1题型三求台体的体积例3已知正四棱台两底面边长分别为20 cm和10 cm，侧面积是780 cm2.求正四棱台的体积可以尝试借助四棱台内的直角梯形求出棱台底面积和高，从而求出体积【解】如图所示，正四棱台ABCDA1B1C1D1中，A1B110 cm，AB20 cm.取A1B1的中点E1，AB的中点E，则E1E是侧面
5、ABB1A1的高设O1、O分别是上、下底面的中心，则四边形EOO1E1是直角梯形由S侧4(1020)E1E780，得EE113，在直角梯形EOO1E1中，O1E1A1B15，OEAB10，O1O12，V正四棱台12(1022021020)2 800(cm3)故正四棱台的体积为2 800 cm3.方法归纳求台体的体积关键是求出上、下底面的面积和台体的高要注意充分运用棱台内的直角梯形或圆台的轴截面寻求相关量之间的关系跟踪训练3本例若改为“正四棱台的上、下两底的底面边长分别为2 cm和4 cm，侧棱长为2 cm，求该棱台的体积”题型四求球的体积例4过球面上三点A，B，C的截面到球心O的距离等于球的半
6、径的一半，且ABBCCA3 cm，求球的体积和表面积解决本题要充分利用已知条件，尤其是球半径，截面圆半径和球心距构成的直角三角形方法归纳球的基本性质是解决与球有关的问题的依据，球半径、截面圆半径和球心到截面的距离所构成的直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要方法跟踪训练4如果三个球的半径之比是123，那么最大球的体积是其余两个球的体积之和的()A1倍 B2倍C3倍 D4倍教材反思1本节课的重点是掌握柱体、锥体、台体和球的体积的求法，难点是组合体的表面积2本节课要重点掌握的规律方法(1)求空间几何体的体积的方法(2)求与组合体有关的体积的方法3本节课的易错点是求与三视图有关的几何体的体积时，
7、易把相关数据弄错.111.6祖暅原理与几何体的体积新知初探自主学习知识点一(1)总相等相等(2)相等知识点二ShShh(SS)R3基础自测1解析：长方体的体积为34560(cm3)答案：B2解析：圆锥的高h4，故V32412.答案：C3解析：设轴截面正方形的边长为a，由题意知S侧aaa2.又S侧4，a2.V圆柱22.答案：B4解析：由已知得4r24，解得r.答案：课堂探究素养提升例1【解】V六棱柱426248(cm3)，V圆柱32327(cm3)，V挖去圆柱12(32)5(cm3)，此几何体的体积：VV六棱柱V圆柱V挖去圆柱(4822)(cm3)跟踪训练1解：设正方体边长为a，圆柱高为h，底面
8、半径为r，则有由得ra，由得rh2a2，V圆柱r2ha3，V正方体V圆柱a312.例2【解】设棱台的高为h，SABCS，则SA1B1C14S.VA1ABCSABChSh，VCA1B1C1 SA1B1C1hSh.又V台h(S4S2S)Sh，VBA1B1C1V台VA1ABCVCA1B1C1ShSh，体积比为124.跟踪训练2解析：三棱锥D1ADC的体积VSADCD1DADDCD1D.答案：A跟踪训练3解：如图，正四棱台ABCDA1B1C1D1中，上、下底面边长分别为2 cm和4 cm，则O1B1 cm，OB2 cm，过点B1作B1MOB于点M，那么B1M为正四棱台的高，在RtBMB1中，BB12
9、cm，MB(2)(cm)根据勾股定理MB1(cm)S上224(cm2)，S下4216(cm2)，V正四棱台(416)28(cm3)例4【解】如图，设过A，B，C三点的截面为圆O，连接OO、AO、AO.ABBCCA3(cm)，O为正三角形ABC的中心，AOAB(cm)设OAR，则OOR，OO截面ABC，OOAO，AOR(cm)，R2(cm)，V球R3(cm3)，S球4R216(cm2)即球的体积为 cm3，表面积为16 cm2.跟踪训练4解析：半径大的球的体积也大，设三个球的半径分别为x,2x,3x，则最大球的半径为3x，其体积为(3x)3，其余两个球的体积之和为x3(2x)3，(3x)33.答案：C
