1、第九章解析几何第九节直线与圆锥曲线的综合问题第一课时直线与圆锥曲线的位置关系A级基础过关|固根基|1.(2019届厦门模拟)设F1，F2分别是椭圆1(ab0)的左、右焦点，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，若F1PQ60，|PF1|PQ|，则椭圆的离心率为()ABCD解析：选D|PF1|PQ|，且F1PQ60，F1PQ为等边三角形，又周长为4a，F1PQ的边长为，在PF1F2中，|PF1|，|PF2|，|F1F1|2c，利用余弦定理得2cos 60(2c)2，即a23c2，e2，e.2已知椭圆C：1，若直线l经过M(0，1)，与椭圆交于A，B两点，且，则直线l的方程为()Ayx1Byx1Cyx1
2、Dyx1解析：选B依题意，知斜率存在，可设直线l：ykx1，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由消去y，整理得(9k25)x218kx360，(18k)2436(9k25)0，则解得k，即直线l的方程为yx1，故选B3如图，F1，F2分别为双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点，过F1的直线l交双曲线C于A，B两点，若双曲线C的离心率为，|AB|AF2|，则直线l的斜率为()ABCD解析：选D由题意及双曲线的定义可得则|BF1|2a.又|BF2|BF1|2a，故|BF2|BF1|2a4a.在BF1F2中，由余弦定理可得16a24a24c222a2ccosBF1F2，即3a2c22acco
3、sBF1F2，又e，所以cosBF1F2，所以sinBF1F2，则直线l的斜率ktanBF1F2，故选D4(2019届湖北武汉4月调研)过点P(4，2)作直线AB与双曲线C：y21交于A，B两点，若P为AB的中点，则|AB|()A2B2C3D4解析：选D由已知可得点P的位置如图所示，且直线AB的斜率存在，设AB的斜率为k，则AB的方程为y2k(x4)，即yk(x4)2，由消去y得(12k2)x2(16k28k)x32k232k100，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系得x1x2，x1x2.因为P(4，2)为AB的中点，所以8，解得k1，满足0，所以x1x28，x1x210，
4、所以|AB|4.故选D5(2019届湖南长沙二模)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，点A(a0)在抛物线C上，|AF|3.若直线AF与抛物线C交于另一点B，则|AB|()A12B10C9D4.5解析：选C由抛物线的定义知|AF|3，解得p4，所以抛物线C的方程为y28x，又A(1，a)(a0)在抛物线C上，则a28，解得a2或a2(舍去)，所以A(1，2)又焦点为F(2，0)，所以直线AF的斜率为2，直线AF的方程为y2(x2)，代入抛物线C的方程y28x，得x25x40，所以xAxB5，所以|AB|xAxBp549，故选C6(2019届湖南百所名校4月大联考)已知椭圆C：1(0b2
5、)，作倾斜角为的直线交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点，与的夹角为，且|tan |3，则b()A1BCD解析：选B设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则两式作差得0.由题意知1，x1x22x0，y1y22y0，0，即.设直线OM的倾斜角为，则或，tan ，又tan ，3，结合0bb0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B，若BF1F2的周长为6，且点F1到直线BF2的距离为b.(1)求椭圆C的方程； (2)设A1，A2是椭圆C长轴的两个顶点，P是椭圆C上不同于A1，A2的任意一点，直线A1P交直线xm于点M，若以MP为直径的圆过点A2，求实数m的值解
6、：(1)由题意得F1(c，0)，F2(c，0)，B(0，b)，则由题意得2a2c6，直线BF2的方程为bxcybc0，所以b，即b23c2.又a2b2c2，所以由可得a2，b，所以椭圆C的方程为1.(2)由(1)知A1(2，0)，A2(2，0)，设P(x0，y0)，则直线A1P的方程为y(x2)，所以M.又点P在椭圆C上，所以y3，若以MP为直径的圆过点A2，则A2MA2P，即0，所以(x02，y0)(m2)(x02)(m2)(m2)(x02)(m2)(x02)0.又点P不同于点A1，A2，所以x02，所以m0，所以m14.8(2019届成都一诊)已知椭圆1的右焦点为F，设直线l：x5与x轴的
7、交点为E，过点F且斜率为k的直线l1与椭圆交于A，B两点，M为线段EF的中点(1)若直线l1的倾斜角为，求|AB|的值；(2)设直线AM交直线l于点N，证明：直线BNl.解：由题意知，F(1，0)，E(5，0)，M(3，0)(1)直线l1的倾斜角为，斜率k1.直线l1的方程为yx1.代入椭圆方程，可得9x210x150.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.|AB|.(2)证明：设直线l1的方程为yk(x1)代入椭圆方程，得(45k2)x210k2x5k2200.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.设N(5，y0)，A，M，N三点共线，y0.y0y
8、2y2k(x21)0.直线BNx轴，即BNl.B级素养提升|练能力|9.(2019届湖北武汉4月调研)已知直线ykx1与双曲线x2y24的右支有两个交点，则k的取值范围为()ABCD解析：选D由题意知k0，联立整理得(1k2)x22kx50，因为直线ykx1与双曲线x2y24的右支有两个交点，所以方程有两个不同的正实数根，设为x1，x2，则解得1kb0)的右焦点F，与椭圆交于A，B两点，且2，则该椭圆的离心率为()ABCD解析：选B由题可知，直线的方程为yxc与椭圆方程联立得(b2a2)y22b2cyb40，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则又2，(cx1，y1)2(x2c，y2)，y1
9、2y2，可得，又b2a2c2，e，故选B11(2019届河北石家庄4月模拟)已知双曲线C：x24y21，过点P(2，0)的直线l与双曲线C有唯一公共点，则直线l的方程为_解析：由题意知，点P(2，0)在双曲线内，故满足条件的直线l只能是与双曲线的两条渐近线yx平行的直线又该直线过点P(2，0)，因此该直线l的方程为y(x2)答案：y(x2)12(2020届贵阳摸底)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，椭圆C的左焦点F1到双曲线y21的渐近线的距离为.(1)求椭圆C的方程；(2)直线l：ykxm(k0)与椭圆C交于A，B两点，以线段AB为直径的圆经过点F2，且
10、原点O到直线l的距离为，求直线l的方程解：(1)椭圆C：1(ab0)的离心率为，.又双曲线y21的其中一条渐近线方程为xy0，椭圆C的左焦点F1(c，0)，由题意知，解得c1，a，b1，椭圆C的标准方程为y21.(2)由(1)知F2(1，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由原点O到直线l：ykxm(k0)的距离为，得，即m2(1k2)将ykxm代入y21中，得(12k2)x24kmx2m220，16k2m24(12k2)(2m22)8(2k2m21)0，x1x2，x1x2.又以线段AB为直径的圆经过点F2，0，即(x11)(x21)y1y20，(x11)(x21)(kx1m)(kx2m)0，即(1k2)x1x2(km1)(x1x2)m210，(1k2)(km1)m210，化简得3m24km10.由，得11m410m210，m21.又k0，满足8(2k2m21)0，直线l的方程为yx1.
