1、单元质量测试(二)时间：120分钟满分：150分第卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1(2019四川省一诊)已知函数f(x)则f(2)f(1)()A0 B1 C2 D3答案A解析函数f(x)f(2)2，f(1)112，f(2)f(1)220.2若f(x)是幂函数，且满足3，则f()A3 B3 C D答案C解析设f(x)xn，则2n3，fn，故选C.3(2020柳州摸底)若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，则函数解析式为yx21，值域为1,3的同族函数有()A1个 B2个 C3个 D4个答案C解析由x211得x0，
2、由x213得x，所以函数的定义域可以是0，0，0，故值域为1,3的同族函数共有3个4已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x4)f(x2)，若当x0,3时，f(x)6x，则f(2021)()A36 B C6 D答案D解析f(x4)f(x2)，f(x6)f(x)函数f(x)的周期为6.又f(x)是偶函数，且当x0,3时，f(x)6x，f(2021)f(53366)f(5)f(1)f(1)61.故选D.5(2019湖南湘中名校联考)设f(x)则f(x)dx的值为()A. B3C. D3答案A解析f(x)dxdx(x21)dx12|.6函数f(x)的图象大致为()答案A解析f(x)f(x)，f
3、(x)是偶函数，图象关于y轴对称，排除D；f(0)10，排除C；当x时，e|x|的递增速度大于x21的递增速度，即f(x)，排除B.故选A.7(2020四川广元摸底)我们定义函数yx(x表示不大于x的最大整数)为“下整函数”；定义yx(x表示不小于x的最小整数)为“上整函数”；例如4.34，55；4.35，55.某停车场收费标准为每小时2元，即不超过1小时(包括1小时)收费2元，超过1小时，不超过2小时(包括2小时)收费4元，以此类推若李刚停车时间为x小时，则李刚应付费为(单位：元)()A2x1 B2(x1)C2x D2x答案C解析当x1时，应付费2元，此时2x14,2(x1)4，排除A，B；
4、当x0.5时，付费为2元，此时2x1，排除D，故选C.8(2019长沙一模)下列函数，在定义域内单调递增且图象关于原点对称的是()Af(x)sinxxBf(x)ln(x1)ln(x1)Cf(x)Df(x)答案D解析由函数的图象关于原点对称知函数为奇函数，由函数在定义域内单调递增，知在定义域内其导函数大于等于0.A中，f(x)cosx10无解，故不满足题意；B中，函数f(x)的定义域为(1，)，其图象不关于原点对称，故不满足题意；C中，f(x)f(x)，所以函数f(x)为偶函数，故不满足题意；D中，f(x)1，所以f(x)在定义域内单调递增，又f(x)f(x)，所以f(x)的图象关于原点对称，满
5、足题意故选D.9(2019南昌调研)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，设函数f(x)的导函数为f(x)，若对任意的x0都有2f(x)xf(x)0恒成立，则()A4f(2)9f(3)C2f(3)3f(2) D3f(3)0都有2f(x)xf(x)0恒成立，则当x0时，有g(x)x2f(x)xf(x)0恒成立，即函数g(x)在(0，)上为增函数，又由函数f(x)是定义在R上的偶函数，则f(x)f(x)，则有g(x)(x)2f(x)x2f(x)g(x)，即函数g(x)也为偶函数，则有g(2)g(2)，且g(2)g(3)，则有g(2)g(3)，即有4f(2)0恒成立，所以函数f(x)是增函数因为1，
6、所以33.又log24log27log28，即2log273，所以2log273，所以f(2)f(log27)f(3)，即bca，故选D.12(2019陕西九校质量考评)已知函数f(x)又函数g(x)f2(x)tf(x)1(tR)有4个不同的零点，则实数t的取值范围是()A. BC. D答案A解析由已知有f(x)(x0)，f(x)，易得0x1时，f(x)0，x1时，f(x)0，即f(x)在0,1)上为增函数，在(1，)上为减函数，设mf(x)，则h(m)m2tm1，设h(m)m2tm1的零点为m1，m2，则g(x)f2(x)tf(x)1(tR)有4个不同的零点，等价于mf(x)的图象与直线mm
7、1，mm2的交点有4个，函数mf(x)的图象与直线mm1，mm2的位置关系如图所示，由图知，0m2m1，则h0，解得t，故选A.第卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13若函数yf(x)的定义域为0,2，则函数g(x)f(x1)f(x1)的定义域为_答案1解析由条件可得解得x1，所以g(x)的定义域为114若函数f(x)在(，)上单调递增，则m的取值范围是_答案00，且m0m12，故0m3.15(2019东北三省四市联考)设函数f(x)ex(x33x3)aexx(x1)，若不等式f(x)0有解，则实数a的最小值为_答案1解析f(x)ex(x33x3)aex
8、x0有解，ax33x3有解令g(x)x33x3，则g(x)3x23(x1)，故当x1,1)时，g(x)0，故g(x)在1,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，故g(x)ming(1)1331，a1，实数a的最小值为1.16(2019东北三校高三一模)已知f(x)b，g(x)f2(x)1，其中a0，c0，则下列判断正确的是_(写出所有正确结论的序号)f(x)关于点(0，b)成中心对称；f(x)在(0，)上单调递增；存在M0，使|f(x)|M；若g(x)有零点，则b0；g(x)0的解集可能为1，1,2，2答案解析h(x)为奇函数，f(x)b为h(x)上下平移得到，故正确f(x)bb，c0，因为x
9、在(0，)上单调递减，在(，)上单调递增，故错误x2，)(，2，所以.故存在M0，使|f(x)|M，故正确当b1时，g(0)f2(0)1f(0)1f(0)1(b1)(b1)0，g(x)有零点，故错误；取a3，b0，c2，则g(x)0的解集为1，1,2，2，正确三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知函数f(x)x2(2a1)x3.(1)当a2，x2,3时，求函数f(x)的值域；(2)若函数f(x)在1,3上的最大值为1，求实数a的值解(1)当a2时，f(x)x23x32，又x2,3，所以f(x)minf，f(x)maxf(3)15
10、，所以函数f(x)的值域为.(2)对称轴为直线x.当1，即a时，f(x)maxf(3)6a3，所以6a31，即a，满足题意；当3，即a时，f(x)maxf(1)2a3，所以2a31，即a2，不满足题意；当13，即a时，此时，f(x)max在端点处取得，令f(1)12a131，得a2(舍去)，令f(3)93(2a1)31，得a(舍去)综上，可知a.18(2019贵阳模拟)(本小题满分12分)已知函数f(x)log2(2x)log2(x2)(1)求函数f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性并加以证明；(3)若f(x)log2(ax)在x上恒成立，求实数a的范围解(1)由得2x2.所以函数f(
11、x)的定义域为(2,2)(2)f(x)为奇函数证明如下：由(1)的结论可知f(x)的定义域关于原点对称，又因为f(x)log2(2x)log2(x2)f(x)，所以f(x)为奇函数(3)由f(x)log2(2x)log2(x2)log2(ax)，得log2log2(ax)，因为ylog2x在(0，)上单调递增，所以0，令h(x)ax2(2a1)x2，则h(x)0在x上恒成立，又因为a0，对称轴为直线x0，得a.19(本小题满分12分)已知函数f(x)是(，)上的奇函数，且f(x)的图象关于直线x1对称，当x0,1时，f(x)2x1.(1)当x1,2时，求f(x)的解析式；(2)计算f(0)f(
12、1)f(2)f(2022)的值解(1)当x1,2时，2x0,1，又f(x)的图象关于直线x1对称，则f(x)f(2x)22x1，x1,2(2)已知函数f(x)为奇函数，则f(x)f(x)，又函数f(x)的图象关于直线x1对称，则f(2x)f(x)f(x)，所以f(4x)f(2x)2f(2x)f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数因为f(0)0，f(1)1，f(2)0，f(3)f(1)f(1)1，且f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(0)f(1)f(2)f(2022)505(0101)f(0)f(1)f(2)1.20(2019湖南长沙模拟)(本小题满分12分)某快递公司在某市的货物转运
13、中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x台机器人的总成本p(x)万元(1)若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？(2)现按(1)中的数量购买机器人，需要安排m人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣，经实验知，每台机器人的日平均分拣量q(m)(单位：件)，已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？解(1)由总成本p(x)万元，可得每台机器人的平均成本yx1212.当且仅当x，即x300时，上式等号成立所以若使每台机器人的平均成本最低，应买3
14、00台(2)引进机器人后，每台机器人的日平均分拣量q(m)当1m30时，300台机器人的日平均分拣量为160m(60m)160m29600m，所以当m30时，日平均分拣量有最大值144000件当m30时，日平均分拣量为480300144000(件)所以300台机器人的日平均分拣量的最大值为144000件若传统人工分拣144000件，则需要人数为120(人)所以日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少100%75%.21(2019成都一诊)(本小题满分12分)已知函数f(x)aln xax，aR.(1)当a0时，讨论函数f(x)的单调性；(2)当a1时，若关于x的不等式
15、f(x)exbx1恒成立，求实数b的取值范围解(1)由题意，知f(x)a.当a0时，有axex0，当0x0；当x1时，f(x)0，hln 22.解(1)f(x)exx2ax，f(x)exxa.设g(x)exxa，则g(x)ex1.令g(x)ex10，解得x0.当x(，0)时，g(x)0，函数g(x)单调递增g(x)ming(0)1a.当a1时，f(x)g(x)0，函数f(x)单调递增，无极值点；当a1时，g(0)1a1时，f(x)g(x)exxa有两个零点x1，x2.不妨设x1x2，则x10x2.函数f(x)有两个极值点时，实数a的取值范围是(1，)(2)证明：由(1)知，x1，x2为g(x)0的两个实数根，x10x2，且g(x)在(，0)上单调递减下面先证x1x20，只需证g(x2)0)，则h(x)ex20，h(x)在(0，)上单调递减，h(x)h(0)0，g(x2)0，即x1x2f(x2)，下面先证f(x2)f(x2)2，即证ex2ex2x20.设函数k(x)exexx22(x0)，则k(x)exex2x.设(x)k(x)exex2x，(x)exex20，(x)在(0，)上单调递增，(x)(0)0，即k(x)0，k(x)在(0，)上单调递增，k(x)k(0)0，当x(0，)时，exexx220，则ex2ex2x20，f(x2)f(x2)2，f(x1)f(x2)2.
