1、第十五章 分式15.3分式方程 第1课时（刘翔）一、教学目标（一）学习目标1了解分式方程的概念2会用去分母的方法解可化为一元一次方程的简单的分式方程，体会化归思想和程序化思想3了解解分式方程根需要进行检验的原因（二）学习重点 解分式方程的基本思路和解法（三）学习难点 解分式方程过程中产生增根的原因及如何验根.二、教学设计（一）课前设计1预习任务（1）分母中含_未知数_的方程叫做分式方程（2）解分式方程的基本思路：利用“_去分母_”法将分式方程化为整式方程2预习自测（1）在下列方程中，关于x的分式方程有()3， 1， (m，n为非零常数)， 1(m，n为非零常数) A1个 B2个 C3个 D4个
2、【知识点】分式方程的定义【解题过程】解：分母中没有未知数，不是分式方程；不是等式，所以不是分式方程；是方式方程故选B【思路点拨】分母中含未知数的方程叫做分式方程【答案】B（2）若x3是分式方程0的根，则a的值是()A5 B5 C3 D3【知识点】分式方程的有关概念【解题过程】解：把x3代入分式方程求得a=5故选A【思路点拨】利用分式方程的解求a【答案】A（3）把分式方程 转化为一元一次方程时，方程两边需同乘()Ax B2x Cx4 Dx(x4)【知识点】分式方程的解法【数学思想】化归思想【解题过程】解：方程两边同乘以x(x4)，可以转化为一元一次方程故选D【思路点拨】方程两边同乘以最简公分母【
3、答案】D（4） 方程0的解是()Ax1或1 Bx1 Cx0 Dx1 【知识点】分式方程的解法【解题过程】解：左边约分可得x-1=0，则x1，经检验x1是原分式方程的解.【思路点拨】先去分母，化为整式求解.【答案】D（二）课堂设计1知识回顾（1）一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的整式方程叫做一元一次方程（2）解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1如何解一元一次方程：.解： 去分母，得18x2(2x1)183(x1)去括号，得18x4x2183x3移项，得18x4x3x1832.合并同类项，得25x17.系数化为1，得x.2问题探究探究一 分式方
4、程的概念.活动 整合旧知，探究分式方程的概念.问题1：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用的时间与以最大航速逆流航行60千米所用的时间相等，江水的流速为多少？分析：设水流的速度为v千米/时.(1)轮船顺流航行速度为_千米/时，逆流航行速度为_千米/时；(2)顺流航行100千米的时间为_小时；逆流航行60千米的时间为_小时；(3)根据题意可列方程为_.师生活动: (1) 20+v 20-v ；(2) ；(3) =追问1：所列方程与方程相比有什么不同？ 归纳：像这样分母中含未知数的方程叫做分式方程.追问2：分式方程与整式方程的区别在哪里？通过观察发现这两
5、种方程的区别在于未知数是否在分母上.未知数在_的方程是分式方程.未知数不在分母的方程是_方程.师生活动：分母、整式.追问3：你能再写出几个分式方程吗？【设计意图】让学生在观察和思考的过程中，发现并概括出分式方程的本质特征，了解分式方程的概念，认识其本质属性分母中含有未知数.探究二 探索分式方程的解法. 活动 大胆操作，探究新知识问题2：你能尝试解分式方程： 吗？ 师生活动：学生独立思考，并尝试解这个方程，全班交流分式方程的解法【设计意图】让学生在已有的知识经验基础上，尝试解分式方程活动 集思广益，得出分式方程的解法 问题3：这些解法有什么共同特点？师生活动：学生讨论之后，教师总结，上述解法依据
6、虽不同，但解分式方程的基本思想是一致的，即将分式方程转化为整式方程教师再次提问：思考：（1）如何把分式方程转化为整式方程呢？（2）怎样去分母？（3）在方程两边乘以什么样的式子才能把每一个分母都约去呢？（4）这样做的依据是什么？学生思考后总结：（1）分母中含有未知数的方程，通过去分母就化为整式方程了；（2）利用等式的性质2可以在方程两边都乘同一个式子各分母的最简公分母【设计意图】通过探究活动，学生探索出解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，并知道解决问题的关键是去分母.活动 追问 你得到的解v=5 是分式方程的解吗？【设计意图】让学生知道检验分式方程的解的方法-将未知数的值代入原分式方程
7、的两边，看左右两边的值是否相等.探究三 分析增根产生的原因 活动 增根产生的原因 例1 解分式方程：【知识点】 分式方程的解法【数学思想】化归思想【思路点拨】两边都乘以最简公分母（x+5）(x-5)，转化为整式方程【解题过程】解：两边都乘以最简公分母（x+5）(x-5)得x5 10解得x5，问题：x=5是原分式方程的解吗？该如何验证呢？小结：x5 是原分式方程变形后的整式方程的解，但不是原分式方程的解，是增根产生的原因：在去分母的过程中，对原分式方程进行了变形，而这种变形是否引起分式方程解的变化，主要取决于所乘的最简公分母是否为0检验的方法主要有两种：（1）将整式方程的解代入原分式方程，看左右
8、两边是否相等；（2）将整式方程的解代入最简公分母，看是否为0检验：当x5时，(x5)(x5)0，因此x5不是原分式方程的解，原分式方程无解师生总结：基本思路：将分式方程化为整式方程一般步骤：（1）去分母；（2）解整式方程；（3）检验注意：由于去分母后解得的整式方程的解不一定是原分式方程的解，所以需要检验练习：解分式方程：【知识点】 分式方程的解法【数学思想】化归思想【思路点拨】两边都乘以最简公分母x(x3)转化为整式方程，解整式方程得解，再检验【解题过程】解：两边都乘x(x3)，得2x3x9解得x9检验：当x9时，x(x3)0.所以，原分式方程的解为x9【答案】x9【设计意图】让学生了解分式方
9、程增根的原因，明白解分式方程必须检验.活动2 例2 解分式方程：【知识点】 分式方程的解法【数学思想】化归思想【思路点拨】两边都乘以最简公分母(x1)(x2)转化为整式方程，解整式方程得解，再检验【解题过程】解：方程两边乘(x1)(x2)，得x(x2)(x1)(x2)3. 解得x1，检验：当x1时，(x1)(x2)0，因此x1不是原分式方程的解所以，原分式方程无解.【答案】无解练习：解方程： 【知识点】 分式方程的解法【数学思想】化归思想【思路点拨】去分母，把分式方程化为整式方程，再解这个整式方程，结果要检验【解题过程】解： 方程的两边同乘x24，得(x2)24x24，解得x3.检验：当x3时
10、，x240，所以x3是原方程的解【答案】x3.【设计意图】让学生按照规范的步骤和格式解分式方程，在积累解题经验的同时，体会化归思想和程序化思想.活动3 例3 当m为何值时，关于x的方程的解小于零【知识点】 分式方程的解法，不等式的解法【数学思想】化归思想【思路点拨】去分母，把分式方程化为整式方程，再解这个整式方程，又因为方程的解小于零 ，所以转化为不等式，解不等式得结果. 【解题过程】解：方程两边都乘以(x2)(x2)，得2(x2)mx3(x2)，整理，得(1m)x10，解得x.方程的解小于零，1且m6.【答案】m1且m6.练习： 已知关于x的分式方程的解为负数，则k的取值范围是_【知识点】
11、分式方程的解法，不等式的解法【数学思想】化归思想【思路点拨】去分母，把分式方程化为整式方程，再解这个整式方程，又因为方程的解为负数 ，所以转化为不等式，解不等式得结果. 【解题过程】解：去分母，得(x1)(xk)k(x1)x21.整理，得x12k.依题意，得 , 解得k且k1.【答案】k且k1. 【设计意图】 解题时让学生注意原方程分母不为零的这一隐含条件 .3. 课堂总结知识梳理（1）分母中含未知数的方程叫做分式方程.（2）解分式方程的基本思想：把分式方程“转化”为整式方程，再利用整式方程的解法求解.（3）解分式方程的方法及一般步骤：去分母，方程的两边都乘最简公分母，约去分母，化成整式方程；
12、化整解这个整式方程；解整把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去验根重难点归纳（1）解分式方程的基本思想；（2）解分式方程的方法及一般步骤；（3）解分式方程过程中产生增根的原因： 在去分母的过程中，对原分式方程进行了变形，而这种变形是否引起分式方程解的变化，主要取决于所乘的最简公分母是否为0（三）课后作业基础型 自主突破1下列方程是分式方程的是()A. 1 B. 2x3 C. 2 D. 【知识点】 分式方程的定义【思路点拨】分母中含未知数的方程叫做分式方程.【解题过程】解：A、B分母中没含有未知数，不是分式方程；D不是等式，所以不是分式方程；C
13、是分式方程故选C【答案】C2解分式方程，正确的结果是（）Ax=0 Bx=1 Cx=2 D无解【知识点】 分式方程的解法【数学思想】化归思想【思路点拨】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解 【解题过程】解：去分母得：1+x1=0，解得：x=0，经检验x=0是分式方程的解，故选A【答案】A. 3将分式方程去分母，得到正确的整式方程是()A.12x3 Bx12x3 C.12x3 Dx12x3【知识点】 分式方程的解法【数学思想】化归思想【思路点拨】两边都乘以(x1) 【解题过程】解：去分母得：x12x3，故选B【答案】B. 4当a_时，关于x的方程的解
14、为x0.【知识点】 分式方程的解【思路点拨】把x0代入分式方程可求解 【解题过程】解：把x0代入分式方程得，则a+5= -2(2a-3), 得a【答案】. 5 若式子和的值相等，则x_【知识点】 分式方程的解法【数学思想】化归思想【思路点拨】列分式方程，去分母，解整式方程可得 【解题过程】解：=，去分母得：2x+1=3（x-2），解得x=7，经检验x=7是原方程的解.【答案】7 6解分式方程【知识点】 分式方程的解法【数学思想】化归思想【思路点拨】把分式方程转化成整式方程,求出整式方程的解，再代入x(x3)进行检验即可 【解题过程】解：方程两边都乘以最简公分母x(x3)得：4x(x3)=0，解
15、得：x=1，经检验：x=1是原分式方程的解故答案为：x=1 【答案】x=1能力型 师生共研7若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是（）Am Bm且m Cm D m 且m【知识点】 分式方程的解、分式方程解法.【数学思想】化归思想.【思路点拨】直接解分式方程，再利用解为正数列不等式，解不等式得出x的取值范围，进而得出答案 【解题过程】解：去分母得：x+m3m=3x9， 整理得：2x=2m+9，解得：x= ， 关于x的方程的解为正数，2m+90，解得：m，当x=3时，x=3，解得：m=，故m的取值范围是：m且m故选B【答案】B 8若关于x的方程无解，则m的值是_.【知识点】 分式方程的解、分式
16、方程解法【数学思想】化归思想【思路点拨】去分母把分式方程转化成整式方程，再利用分式方程无解，把增根代入整式方程，进而得出答案 【解题过程】解：去分母，得2xm2x4，即3x6m.方程无解，x2.把x2代入3x6m，得m0.【答案】0探究型 多维突破9小明解方程的过程如下： 解：方程两边同乘x得1(x2)1，去括号得1x21，合并同类项得x11，移项得x2，解得x2，原方程的解为x2.请指出他解答过程中的错误，并写出正确的解答过程【知识点】分式方程解法【数学思想】化归思想【思路点拨】按照解分式方程的步骤检查得出答案 【解题过程】解：小明的解法有三处错误：步骤去分母有误；步骤去括号有误；步骤前少“
17、检验”步骤正确解法是：方程两边同乘x，得1(x2)x，去括号，得1x2x，移项，得xx21，合并同类项，得2x3，两边同除以2，得x.经检验，x是原方程的解所以原方程的解是x.10请你仔细观察下述材料：方程的解为x1；方程的解为x2；方程的解为x3；.(1)请你观察上述方程与解的特征，写出能反映上述方程一般规律的方程，并写出这个方程的解；(2)根据(1)中所得的结论，写出一个解为x5的分式方程【知识点】分式方程解法【数学思想】化归思想【思路点拨】观察总结规律，要从整体和部分两个方面入手，防止片面地总结，得出错误结论【解题过程】解：(1) 方法一：分式方程中的四个分母都可看作是未知数与一个整数的
18、差，这四个整数左边两个连续，右边两个连续，左右两边不连续，但只间隔一个整数，每个分式的分子都是1，方程的解正好是中间被省略的那个整数，即，方程的解是xn(n为整数) 方法二：第(1)问的规律方程也可以写成：，此时，方程的解应为xn2(n为整数)(2)将x5代入上式，可得所求分式方程为.自助餐1下列关于x的方程中,是分式方程的是( )A. B. C. D. 【知识点】 分式方程的定义【思路点拨】根据分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程判断【解题过程】解：A.方程分母中不含未知数，故不是分式方程；B.方程分母含字母a，但它不是表示未知数，也不是分式方程；C.方程的分母中不含表示未知数
19、的字母，不是分式方程；D.方程分母中含未知数x，是分式方程.故选D.【答案】D2分式方程的解为() A3 B3 C无解 D3或3【知识点】 分式方程的解法【数学思想】化归思想【思路点拨】依据解分式方程的步骤可得【解题过程】去分母得122(x3)x3，解得x3.经检验，当x3时，x290，即x3不是原分式方程的解，故原方程无解故选C.【答案】C.3当a_时，关于x的方程的解与方程的解相同【知识点】方程的解、分式方程解法.【数学思想】化归思想【思路点拨】先解分式方程，再把它的解代入另一个分式方程可得结果【解题过程】解：由方程得x43x，解得x2.当x2时，x0，所以x2是方程的解又因为方程的解与方
20、程的解相同，因此x2也是方程的解这时，解得a.当a时，a10，故a 满足条件 【答案】.4若关于x的分式方程无解，则m的值为_.【知识点】方程的解、分式方程解法【数学思想】化归思想【思路点拨】先去分母得整式方程，再把增根代入整式方程可得结果【解题过程】解：方程两边都乘x3，得x2(x3)m2.原方程无解，x3.把x3代入x2(x3)m2，得m.【答案】.5. 解分式方程：【知识点】分式方程解法【数学思想】化归思想【思路点拨】方程两边同时乘以（2x+1）（2x-1），即可化成整式方程，解方程求得x的值，然后进行检验，确定方程的解【解题过程】解：原方程即，两边同时乘以(2x+1)(2x1)得：x+
21、1=3(2x1)2(2x+1)，x+1=6x34x2，解得：x=6.经检验：x=6是原分式方程的解。原方程的解是x=6.【答案】x=6.6. 当m为何值时,关于x的方程会产生增根?【知识点】分式方程的解【数学思想】化归思想【思路点拨】先去分母得2(x+2）+mx=3(x-2），整理得(m-1)x+10=0，由于关于x的方程会产生增根，则(x+2)(x-2)=0，解得x=-2或x=2，然后把x=-2和x=2分别代入(m-1)x+10=0即可得到m的值【解题过程】解：原方程化为，方程两边同时乘以(x+2)(x2),得2(x+2)+mx=3(x2)，整理得(m1)x+10=0，关于x的方程会产生增根，(x+2)(x2)=0，x=2或x=2，当x=2时,(m1)(2)+10=0，解得m=6，当x=2时,(m1)2+10=0，解得m=4，m=4或m=6时，原方程会产生增根.【答案】当m=4或m=6时，原方程会产生增根.
