1、2.3.2 平面与平面垂直的判定1.理解两个平面垂直的定义及判定定理,运用它解决有关的简单问题.2.了解二面角的概念,掌握二面角的表示方法.1.两个平面相交,如果它们所成的二面角是_,就说这两个平面互相垂直.2.如果一个平面过另一个平面的一条_,那么这两个平面互相垂直.3.从一条直线出发的两个半平面所组成的空间图形称为_,这条直线叫做二面角的_.以二面角的棱上任一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角,叫做二面角的_.4.二面角的大小,用它的平面角来度量,二面角的平面角是几度,就说这个二面角是_.直二面角垂线二面角棱平面角几度两平面相交成直二面角时,两平面垂直.两平面
2、相交的这一特殊位置关系,决定着平面与平面垂直的概念性质和判断,涉及的空间知识极为丰富,是高考的热点内容之一.除定义外,判断两平面垂直的最常用的判定定理是“一平面过另一个平面的垂线”.证明两个平面垂直,通常是通过证明线线垂直、线面垂直来实现的,同时,在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化.异面直线所成的角斜线与平面所成的角二面角统称为空间角,其求解方法相同,步骤是:第一步,作出它们的平面角;第二步,证明所作的角满足定义;第三步,将作出的角放在三角形中,计算出平面角的大小,又简称为“一作二证三计算”.在计算时,会受到三角函数知识的影响,因此学习直线和平面所成的角二面角时
3、,仅仅了解这两个概念即可,不要在其如何求解上过多纠缠,其求解方法将在选修中重点学习.题型一 空间线与面的位置关系例1:(1)已知ml是直线,是平面,给出下列命题:若l垂直于内两条相交直线,则l;若l平行于,则l平行于内的所有直线;若m ,l ,则lm,则;若l ,且l,则;若m ,l ,且,则lm.其中正确的命题的序号是_.解析:本题考查线与线线与面面与面的位置关系.命题是线面垂直的判定定理,所以正确;命题,l,但l不能平行于内所有直线;命题,lm,不能保证l,即分别包含l与m的平面可能平行也可能相交而不垂直;命题,为面面垂直的判定定理,所以正确;命题,但分别在内的直线l与m可能平行,也可能异
4、面.(2)如果直线lm与平面满足l=,l,m ,m,那么必有()A.和lm B.和mC.m且lmD.和解析:在“命题”形式的选择题中,应会寻找恰当的数学模型来否定其中一些错误命题,如下图.正方体ABCDA1B1C1D1中,取平面CDD1C1为,对角面ABC1D1为,对角面A1B1CD为,CB1为m,C1D1为l,于是由m=C,可排除BC两项;又由=CD,排除D项;易证A正确.答案:A规律技巧:(1)题的关键是将符号语言转化为图形语言,要求考生根据符号提供的信息去画图,去进行推理和判断,试题形式上是填空题,实际上是多选题,是高考题型的一种新变化.(2)排除法解立体几何选择题是常用的方法,本题是通
5、过构造正方体中的线和面来举反例,寻找面面平行条件的关键是牢记定义和定理.变式训练1:设有直线m,n和平面,则下列命题中,正确的是()A.若mn,m,n ,则B.若m,mn,n ,则C.若mn,n,m,则D.若mn,m,n,则解析:C中,由mn,n,得m.又m,.答案:C题型二 用定义证明两平面垂直例2:如图,在四面体ABCD中,求证:平面ABD平面BCD.分析:ABD与BCD有公共边BD,且都是等腰三角形.因此取BD的中点E,连结AECE.则AEC为二面角A-BD-C的平面角.证该角为直角即可.证明:取BD的中点E,连结AE,CE.由AB=AD=CB=CD知AEBD,CEBDAEC为二面角A-
6、BD-C的平面角.在ABD中,同理,在BCD中,AE2+CE2=a2=AC2AECE,即AEC=90.平面ABD平面BCD.规律技巧:在立体几何中,常把空间问题,转化为平面问题,用平面几何知识求解.变式训练2:如图,已知:AB,AB=B,AB.求证:.证明:如下图,设=a,则Ba.AB,a ABa,在平面内作BEa,则ABE为二面角-a-的平面角.AB,BE .ABBE.ABE=90即二面角-a-为直二面角.题型三 面面垂直的判定例3:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,EF分别为ABBB1的中点.求证:平面DEF平面A1BD1.分析:画出示意图,利用正方体的性质,证面面垂直,可先证线面垂直
7、,再用判定定理得证.证明:如下图所示.由正方体的性质知,A1D1平面A1B1BA.EF平面A1B1BA,A1D1EF.A1BAB1,EFAB1,A1BEF.又A1D1A1B=A1,EF平面A1BD1.而EF 平面DEF,平面DEF平面A1BD1.变式训练3:如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,求:(1)直线D1C与平面AC所成的角;(2)二面角D1BCD的大小.分析:D1CD是直线D1C与平面AC所成的角,也是二面角D1-BC-D的平面角.解:(1)D1D平面AC,D1C在平面AC上的射影是DC.D1CD是直线D1C与平面AC所成的角.在D1CD中,D1DCD,D1D=CD,D1CD=4
8、5.直线D1C与平面AC所成的角是45.(2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BCCD,BCCC1,BC平面D1C.BCD1C,BCCD.D1CD是二面角D1-BC-D的平面角.由(1)知D1CD=45,二面角D1-BC-D的大小是45.易错探究例4:在长方体ABCDA1B1C1D1中,底面ABCD为正方形,试问:截面ACB1与对角面BD1垂直吗?错解:如图所示,设AC与BD的交点为O,连接B1O,则B1O是截面ACB1与对角面BD1的交线.因为B1O是底面的斜线,所以截面ACB1与底面倾斜,从而截面ACB1不可能与对角面BD1垂直.错因分析:错解从B1O倾斜于底面,就断定截面ACB1不
9、可能与对角面BD1垂直,这是没有根据的,犯这种错误主要是由于对空间中的线面关系的理解不够透彻.正解:在正方形ABCD中,连结ACBD,则ACBD.又BB1平面ABCD.AC平面ABCD,ACBB1.又BDBB1=B,AC平面BD1.又AC在平面ACB1内,截面ACB1对角面BD1.基础强化1.若平面与平面不垂直,那么内能与垂直的直线()A.有0条B.有一条C.有2条D.有无数条答案:A2.过一条直线与一个平面垂直的平面的个数为()A.1B.2C.无数D.1或无数解析:当a时,过a与平面垂直的平面有无数个;当a不垂直时,过a与平面垂直的平面有一个.答案:D3.若平面平面,平面平面,则()A.B.
10、C.与相交,但不垂直D.以上都有可能解析:垂直同一平面的两个平面,相交平行都有可能.答案:D4.如下图,ABCD为正方形,PA平面ABCD,则在平面PAB平面PAD平面PCD平面PBC及平面ABCD中,互相垂直的有()A.3对B.4对C.5对D.6对解析:互相垂直的平面有:平面PAB平面PAD.平面PAB平面ABCD,平面PAD平面ABCD,平面PAB平面PBC,平面PAD平面PCD.共5对.答案:C5.若两条直线a与b异面,则过a且与b垂直的平面()A.有且只有一个B.可能有一个,也可能不存在C.有无数多个D.一定不存在解析:当ab时,存在一个.当a不垂直b时,不存在.答案:B6.自二面角内
11、任一点分别向两个面引垂线,则两垂线所成的角与二面角的关系是()A.相等B.互补C.互余D.无法确定解析:根据平面四边形内角和等于360知,它们互补.答案:B7.在四面体ABCD中,若有两组对棱互相垂直,则另一组对棱所成的角为_.90解析:借助于正方体做出判断.如图所示:在四面体ABCD中,有ABCD,ACBD.另一组对棱BCAD.因此,另一组对棱所成的角为90.8.如图,已知三棱锥DABC的三个侧面与底面全等,且BC=2,则以BC为棱,以面BCD与BCA为面的二面角为_.90解析:取BC的中点E,连结AE,DE,由题意知AEBC,DEBC,AED为所求二面角的平面角.计算得AD=2.AE2+D
12、E2=AD2,AED=90.能力提升9.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为a的正方形,侧棱(1)求证:PD平面ABCD;(2)求证:平面PAC平面PBD;(3)求证:PCD为二面角P-BC-D的平面角.证明:(1)PC2=PD2+DC2,PDDC.同理可证:PDAD,又ADDC=D,PD平面ABCD.(2)由(1)知PD平面ABCD,PDAC,而四边形ABCD为正方形,ACBD,又BDPD=D,AC平面PDB.又AC 平面PAC,平面PAC平面PBD.(3)由(1)知PDBC,BCDC,BC平面PDC,BCPC.PCD为二面角P-BC-D的平面角.10.如图,已知ABC为正三角形,EC
13、平面ABC,BD平面ABC,且ECDB在平面ABC的同侧,M为EA的中点,CE=CA=2BD.求证:(1)DE=DA;(2)平面BDM平面ECA;(3)平面DEA平面ECA.证明:(1)如下图,取AC中点N,连结MN,BN.ABC为正三角形,BNAC,EC平面ABC,BD平面ABC,ECBD,ECBN.又M为AE中点,EC=2BD,MNBD,四边形MNBD是平行四边形.BNDM.由BNAC,BNEC,得BN平面AEC,DM平面AEC,DMAE,AD=DE.(2)DM平面AEC,DM 平面BDM,平面BDM平面ECA.(3)DM平面AEC,DM 平面ADE,平面DEA平面ECA.11.直线l 平
14、面,经过外一点A与l,都成30角的直线有且只有()A.1条B.2条C.3条D.4条解析:由最小角定理可知,过点A所得直线与平面内的直线l所成的角和该直线与所成角大小相等,这样的直线有且只有2条.答案:B12.如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,E,F分别是A1B,A1C的中点,点D在B1C1上,A1DB1C.求证:(1)EF平面ABC;(2)平面A1FD平面BB1C1C.证明:(1)如图,由EF分别是A1B,A1C的中点知EFBC,因为EF 平面ABC,BC 平面ABC,所以EF平面ABC.(2)由三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱知CC1平面A1B1C1,又A1D 平面A1B1C1,故CC1A1D.又因为A1DB1C,CC1B1C=C,CC1B1C 平面BB1C1C,故A1D平面BB1C1C,又A1D 平面A1FD,所以平面A1FD平面BB1C1C.
