1、函数的概念及表示法（习题课）【评析】函数的图象是函数的直观描述，结合学过的基本初等函数，可作出一般的函数图象.【分析】函数图象表示的是表示函数关系的两个变量之间的关系，故可由函数定义判定.1.函数f(x)=x+的图象是（）【解析】f(x)=x+=，结合图象知选C.C返回考点一图象法返回作出下列函数的图象.(1)y=1-x(xZ);(2)y=2x2-4x-3(0 x3).(1)这个函数的图象由一些点组成,这些点都在直线y=1-x上(xZ,从而yZ),这些点称为整点(如图甲).(2)0 x3,这个函数的图象是抛物线y=2x2-4x-3介于0 x3之间的一段曲线(如图乙).考点二求函数解析式（1）如
2、果，则f(x)=;（2）如果,则f(x+1)=;（3）如果ff(x)=2x-1，则一次函数f(x)=;（4）如果函数f(x)满足方程af(x)+=ax,xR,且x0,a为常数，且a1,则f(x)=.【分析】求f(x)的关键就在于弄清相对于“x”而言，“f”是一种怎样的对应关系.返回【解析】（1）.（2）f(x)=x2+4,f(x+1)=(x+1)2+4.（3）f(x)为一次函数，设f(x)=kx+b(k0),ff(x)=f(kx+b)=k(kx+b)+b=k2x+kb+b=2x-1.比较系数得或.返回（4）,用替换上式中的x得由可得【评析】求f(x)解析式的方法比较多，如上述例子中就分别用了换
3、元法、配方法、待定系数法、解方程组的方法，其他方法请试用.换元法求f(x)是常用的方法，但要特别注意正确确定中间变量的取值范围，否则就不能正确确定f(x)的定义域.（4）题的解法基于这样一种认识：函数是定义域到值域上的映射，定义域中的每一个元素都应满足函数表达式.在已知条件下，x满足已知的式子，那么在定义域内也满足这个式子，这样就得到两个关于f(x)与的方程，因而能解出f(x).返回（1）已知f()=x+2 ,求f(x)；（2）已知求f(x);（3）已知函数f(x)满足，求f(x)的表达式.（1）解法一：解法二：令t=+1,则x=(t-1)2(t1)，代入原式有f(t)=(t-1)2+2(t-
4、1)=t2-2t+1+2t-2=t2-1,f(x)=x2-1(x1).返回解法二：设x+=t，则t1且x=,f(t)=1+(t-1)2+(t-1)=t2-t+1(t1).f(x)=x2-x+1(x1).（3）,代替x得-f(x)=,联立两式消去得（2）解法一：返回考点三由函数图象求函数解析式已知函数f(x)在-1,2上的图象如图所示，求f(x)的解析式.【分析】由图象特点先确定函数类型，再求解析式.【评析】熟练掌握学过的函数图象，有利于这类问题的解决.【解析】当-1x0时，设y=ax+b,过点(-1,0)和(0,1),同样，当0b时,f(x)-1（舍去），当-1a2时，2a=3,a=(-1,2
5、),当a2时，a2=3,a=2,综上知,当f(a)=3时，a=或a=.（3）f(x)的定义域为(-,-1(-1,2)2,+)=R.当x-1时,f(x)(-,1;当-1x2时,f(x)(-2,4);当x2时，f(x)2,+).(-,1(-2,4)2,+)=R,f(x)的值域为R.返回考点六分段函数的解析式求解如图所示，等腰梯形ABCD的两底分别为AD=2,BC=1,BAD=45,直线MNAD交AD于M,交折线ABCD于N,记AM=x，试将梯形ABCD位于直线MN左侧的面积y表示为x的函数,并写出函数的定义域和值域.【分析】求函数解析式是解决其他问题的关键,根据题意,此题应对N分别在AB，BC，C
6、D三段上分三种情况写出函数的解析式.返回【解析】过B，C分别作AD的垂线，垂足分别为H和G，则AH=，AG=，当M位于H左侧时，AM=x，MN=x.y=SAMN=x2 0 x.当M位于H，G之间时,y=AHHB+HMMN =（x-）=x-x.当M位于G，D之间时,y=S梯形ABCD-SMDN=(2+1)-(2-x)(2-x)=-x2+2x-x2.返回【评析】分段函数的定义域是各部分x的取值范围的并集,值域也是y在各部分值的取值范围的并集,因此,函数的解析式、定义域、值域通常是逐段求解,最后综合求出.所求函数的关系式为函数的定义域为0,2,值域为0,返回考点七求具体函数的定义域【分析】要求使函数
7、表达式有意义的自变量的取值范围，可考虑列不等式或不等式组.求函数的定义域：【解析】x0,x0，0,0 x17.函数的定义域为 x|0 x17.x17,返回【评析】求函数的定义域主要是解不等式（组）或方程来获得.如果不加说明，所谓函数的定义域就是自变量使函数式有意义的集合.（1）若f(x)为整式，则定义域为R.（2）若f(x)为分式，则定义域是使分母不为零的x的集合.（3）若f(x)为偶次根式，则定义域为使被开方式非负的x的集合.返回求下列函数的定义域:(1)要使函数有意义,必须,1x4.故函数的定义域为x|1x4.(2)要使函数有意义,必须.解得-5x5且x3.故函数的定义域为x|-5x5且x
8、3.返回考点八求抽象函数的定义域【分析】正确理解函数定义域的概念，理解函数f(x)定义域是x的取值范围.（1）已知函数f(x)的定义域是0,4，求函数f(x2)的定义域；（2）已知函数f(2x+1)的定义域是-1,3，求函数f(x)的定义域;（3）已知函数f(x2-2)的定义域是1,+)，求函数的定义域.返回【评析】（1）已知f(x)的定义域，求fg(x)的定义域，一般设u=g(x)，则u的取值范围就是f(x)的定义域，通过解不等式可求；（2）已知fg(x)的定义域为D，求f(x)的定义域，就是求g(x)在D上的值域.【解析】（1）f(x)的定义域为0,4,0 x24,x-2,00,2.f(x
9、2)的定义域为-2,2.（2）f(2x+1)的定义域为-1,3,-1x3，-12x+17.f(x)的定义域为-1,7.（3）f(x2-2)的定义域为1,+),x1,x2-2-1.x2-1,即x-2.的定义域为-2,+).返回(1)f(x)的定义域为1,4，使f(x+2)有意义的条件是1x+24，即-1x2.故f(x+2)的定义域为-1，2.(2)的定义域为0,3,1x+14,1 2.f(x)的定义域为1,2.(1)若函数f(x)的定义域为1,4，求f(x+2)的定义域;(2)若f 的定义域为0,3，求f(x)的定义域.返回考点九求函数的值域【分析】根据各个式子不同的结构特点,选择不同的方法.求
10、下列函数的值域:(1)y=x2-4x+6,x1,5);(2)y=;(3)y=;(4)y=;(5)y=.【解析】(1)配方得y=(x-2)2+2.x1,5),由图可知函数的值域为y|2y11.返回(2)借助反比例函数的特征求解.函数的值域为(3)又当x=1时,原式.函数的值域为返回(5)函数关系式中有根式,去掉根号的常用方法就是换元法.令x-1=t,则t0,x=t2+1.y=2(t2+1)-t=2t2-t+2=.t0,y 函数y=2x-x-1的值域是 ,+).(4)该函数的分子、分母分别是关于x的二次式,因而可考虑转化为关于x的二次方程,然后利用判别式法求值域.已知函数式可变形为yx2+2yx+
11、3y=2x2+4x-7.即(y-2)x2+2(y-2)x+3y+7=0,当y2时,将上式视为关于x的一元二次方程.xR,0,即2(y-2)2-4(y-2)(3y+7)0，解得 y2.当y=2时,32+70,y2,函数的值域为.返回【评析】求函数的值域是一个比较复杂的问题,要通过不断练习及时总结,根据不同的题目类型选择不同的方法.(1)与二次函数有关的函数,可用配方法(注意定义域);(2)形如y=ax+b 的形式,可用换元法.即设t=,转化成二次函数，再求值域(注意t0);(3)形如y=型的函数可借助反比例函数,求其值域,这种函数的值域为;(4)形如y=(a,m中至少有一个不为零)的函数求值域,
12、可用判别式法求值域,但要注意以下三个问题:一是检验当二次项系数为零时,方程是否有解,若无解或使函数无意义,都应从值域中去掉该值;二是闭区间的边界值也要考查达到该值的x是否存在;三是分子分母必须无公因式.返回求下列函数的值域:(1)y=x2-2x,x0,3;(2)y=x+;(3)y=|x+1|+|x-2|.(1)y=x2-2x=(x-1)2-1,如图所示,函数的值域为-1,3.返回(3)解法一:运用绝对值的几何意义.|x+1|+|x-2|的几何意义表示数轴上的动点x与-1以及2的距离的和,结合数轴,易得|x+1|+|x-2|3,函数的值域为3,+).(2)换元法.令=t,t0,则x=,函数化为t
13、0,y ,函数y=x+的值域为 ,+).返回解法二:转化为函数图象,运用数形结合法.在函数y=|x+1|+|x-2|中，由|x+1|=0，|x-2|=0得x=-1，2.把定义域分成三个区间：(-,-1,(-1,2,(2,+).该函数图象如图所示.由图象知函数的值域为3,+).返回考点十函数定义域、值域的综合应用【分析】利用函数定义域为R,mx2-6mx+m+80在R上恒成立建立不等式或不等式组求m.【评析】二次函数定义域为R，二次不等式在R上恒成立，也可转化为二次函数与二次方程关系求解.函数y=的定义域是R,求实数m的取值范围.【解析】(1)当m=0时，y=,定义域为R.(2)当m0时,由已知得00 =(a-1)2-4(a2-1)0时,有a21 a2-10a+90,1a9.综上所述,当xR时,a的取值范围为1,9.返回
