1、23.1 直线与平面垂直的判定 1掌握直线与平面垂直的定义 2掌握直线与平面垂直的判定定理，并能灵活应用判定定理证明直线和平面垂直 3知道直线与平面所成角的概念，并能解决简单的线面角问题 1我们经常说“立竿见影”在阳光下观察直立于地面的竿及它在地面的影子如果某一时刻，你发现竿与影所成的角不是直角，是否可以断定竿发生了倾斜？2工人师傅通常把角尺的一边放在工作台面上，再看角尺的另一边与钻头是否密合，然后把角尺换一个方向(不是原来的反方向)，照样再检查一次如果两次检查中，钻头与角尺的边都能密合，那么就可断定钻头与工作台面是垂直的相互讨论，这是为什么？1如果直线l与平面内的，我们就说直线l与平面互相垂
2、直，记作：，直线l叫做平面叫做它们的惟一公共点P叫做 图形表示(如右图)任意一条直线都垂直l平面的垂线直线l的垂面垂足 2直线与平面垂直的判定定理：一条直线与平面内的，则该直线与此平面垂直 3线面垂直的判定定理的推论：若ab，a，则.两条相交直线都垂直b 4平面的斜线：一条直线和一个平面，但不和这个平面，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线与平面的交点叫做，过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的相交垂直斜足射影 5直线和平面所成的角(1)平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的，叫做这条直线和这个平面所成的角(2)一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是；一条直
3、线和平面，或在内，我们说它们所成的角是0.锐角直角平行平面 探究1：一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，为什么这条直线不一定垂直于这个平面？提示：如图所示，长方体ABCDA1B1C1D1中，在棱AB上任取一点E，过点E作EFAD交CD于点F，则这样的直线能够作无数条很明显直线AB垂直于平面AC内的这无数条直线，而直线AB平面AC；直线A1B1也垂直于平面AC内的这无数条直线，而直线A1B1平面AC.其原因是，虽然这两条直线都垂直于平面AC内的无数条直线，但是这无数条直线是互相平行的，没有两条相交的直线，所以不满足直线和平面垂直的判定定理的条件“两条相交直线”因此，一条直线垂直于一个平面内的无
4、数条直线，这条直线不一定垂直于这个平面直线与平面垂直的判定定理有三个条件：平面内两条直线；这两条直线相交；一条直线同时垂直于这两条直线在应用判定定理时，这三个条件缺一不可 探究2：直线和平面垂直的判定定理如何用符号语言描述？提示：ab，ac，b，c，bcO，则a.探究3：过一点与一个平面垂直的直线有几条？过一点与一条直线垂直的平面有几个？提示：注意到一个事实：过一点与一个平面垂直的直线有且只有一条；过一点与一条直线垂直的平面有且只有一个.典例 平面内有一个三角形ABC，平面外有一点P，自P向平面作斜线PA，PB，PC，且PAPBPC，若点O是ABC的外心，求证：PO平面ABC.【错解】如图所示
5、，连接AO，BO，CO.因为O是ABC的外心，所以OAOBOC，又因为PAPBPC，PO为公共边，所以AOPBOPCOP，所以AOPBOPCOP90，所 以 POOA，POOB，所 以 PO平 面ABC.【错因分析】错解仅从三个三角形全等，就认为必有AOPBOPCOP90，这是没有根据的，三个三角形全等只能保证AOPBOPCOP，没有说这些角都是直角因此，上述证明是错误的【正解】如图所示，分别取AB，BC的中点D，E，连接PD，PE，OD，OE.因为PAPBPC，所以PDAB，PEBC，因为O是ABC的外心，所以ODAB，OEBC，又因为PDDOD，OEPEE，所以AB平面PDO，BC平面PE
6、O，于是有ABPO，BCPO，ABBCB，从而推得PO平面ABC.易错补练 如图，已知l，PA于A，PB于B，AQl于Q.求证：BQl.证明：连接AB.l，PA，PB，PAl，PBl.又 PAPB P，l面PAB.lAB.又 AQl，而 AQAB A，l面AQB.lBQ.1直线和平面垂直的定义 需注意的几点：(1)定义中的“任何一条直线”这一词语，它与“所有直线”是同义语，定义是说这条直线和平面内所有直线垂直(2)直线和平面垂直是直线和平面相交的一种特殊形式(3)虽然这样的定义给线面垂直的判定带来困难，但在直线和平面垂直时，却可以得到直线和平面内的任何一条直线都垂直，给判定两条直线垂直带来方便
7、，如若a，b，则ab.简述之，即“线面垂直，则线线垂直”，这是我们判定两条直线垂直时，经常使用的一种方法 2直线和平面垂直的判定定理 关于这个定理的理解需注意的几点：(1)判定定理的条件中，“平面内的两条相交直线”是关键性词语，不能改为“平面内的两条直线”(2)要判定一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找到两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，这是无关紧要的 3判定直线与平面垂直的方法：定义法和定理法 4斜线与平面所成的角(空间角)是用斜线和其射影所成的角(平面角)来定义的直线与平面所成的角的范围是0，90 1直线l平面，直线m，则()AlmB
8、lm Cl，m异面Dl，m相交而不垂直 解析：根据线面垂直的定义知，lm.答案：A 2如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况：三角形的两条边；梯形的两条边；圆的两条直径；正六边形的两条边 不能保证该直线与平面垂直的是()AB CD 解析：梯形和正六边形中均有互相平行的两条边 答案：C 3正方体AC1中，直线A1B1与平面AC所成的角等于()A0 B30 C45 D60 解析：A1B1AB，A1B1平面AC，所成的角为0.答案：A 4已知PA垂直平行四边形ABCD所在平面，若PCBD，平行四边形ABCD一定是_ 解析：如图，PA平面ABCD，PABD.PCBD，BD平面PAC，ACBD.答案：菱形
