1、(7) 指数与指数函数知识梳理1.指数（1）n次方根的定义：若xn=a，则称x为a的n次方根，“”是方根的记号.在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，0的奇次方根是0；正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数，0的偶次方根是0，负数没有偶次方根.（2）方根的性质当n为奇数时，=a. 当n为偶数时，=|a|=（3）分数指数幂的意义a=（a0，m、n都是正整数，n1）.a=（a0，m、n都是正整数，n1）.2.指数函数（1）指数函数的定义：一般地，函数y=ax（a0且a1）叫做指数函数.（2）指数函数的图象：底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称.（3）指数函数
2、的性质：定义域：R.值域：（0，）.过点（0，1），即x=0时，y=1.当a1时，在R上是增函数；当0a1时，在R上是减函数.点击双基1.等于（ ）A. B. C. D. 2.指数函数的反函数的图象过点（2，1），则此指数函数的解析式为（ ）A. B. C. D.3.若函数y=ax+b1（a0且a1）的图象经过二、三、四象限，则一定有A.0a1且b0B.a1且b0C.0a1且b0D.a1且b04.（2008重庆文14）若，则_.5.若直线y=2a与函数y=|ax1|（a0且a1）的图象有两个公共点，则a的取值范围是_.6.函数y=的递增区间是_.7.= _ 典例剖析【例1】 下图是指数函数（1
3、）y=ax，（2）y=bx，（3）y=cx，（4）y=dx的图象，则a、b、c、d与1的大小关系是（ ）A.ab1cdB.ba1dcC.1abcdD.ab1dc【例2】 已知2（）x2，求函数y=2x2x的值域.【例3】 要使函数y=1+2x+4xa在x（，1上y0恒成立，求a的取值范围.【例4】已知，求函数的最大值和最小值。闯关训练1.已知f（x）=ax，g（x）=logbx，且lga+lgb=0，a1，b1，则y=f（x）与y=g（x）的图象（ ）A.关于直线x+y=0对称B.关于直线xy=0对称C.关于y轴对称D.关于原点对称2.下列函数中值域为正实数的是（ ）A.y=5xB.y=（）1
4、x C.y=D.y=3.（2011年四川理7）若是R上的奇函数，且当时，则的反函数的图象大致是（ ）4.（2011年四川文4）函数的图象关于直线y=x对称的图象像大致是（ ）5.函数是定义在上的奇函数，当时，则的值为（ ）A. B. C. D.6.化简（a0，b0）的结果是_.7.（2008江西理14）不等式的解集是_.8.函数在上的最小值是_.9.若定义运算，则函数的值域为_.10.若a2x+ax0（a0且a1），求y=2a2x3ax+4的值域.11.解方程4x+|12x|=11.12.若关于x的方程25|x+1|45|x+1|m=0有实根，求m的取值范围.13.设且，函数在上的最大值是14
5、，求的值。 (7) 指数与指数函数知识梳理1.指数（1）n次方根的定义：若xn=a，则称x为a的n次方根，“”是方根的记号.在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，0的奇次方根是0；正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数，0的偶次方根是0，负数没有偶次方根.（2）方根的性质当n为奇数时，=a. 当n为偶数时，=|a|=（3）分数指数幂的意义a=（a0，m、n都是正整数，n1）.a=（a0，m、n都是正整数，n1）.2.指数函数（1）指数函数的定义：一般地，函数y=ax（a0且a1）叫做指数函数.（2）指数函数的图象：底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称.（
6、3）指数函数的性质：定义域：R.值域：（0，）.过点（0，1），即x=0时，y=1.当a1时，在R上是增函数；当0a1时，在R上是减函数.点击双基1.等于（ ）A. B. C. D. 解析：=a（a）=（a）=（a）.答案：A2.指数函数的反函数的图象过点（2，1），则此指数函数的解析式为（ ）A. B. C. D.答案：A3.（2004年湖北，文5）若函数y=ax+b1（a0且a1）的图象经过二、三、四象限，则一定有A.0a1且b0B.a1且b0C.0a1且b0D.a1且b0解析：作函数y=ax+b1的图象.答案：C4.（2008重庆文14）若，则_.答案：23.5.（2004年湖南，文16
7、）若直线y=2a与函数y=|ax1|（a0且a1）的图象有两个公共点，则a的取值范围是_.解析：数形结合.由图象可知02a1，0a.答案：0a6.函数y=的递增区间是_.解析：y=（）x在（，+）上是减函数，而函数y=x22x+2=（x1）2+1的递减区间是（，1，原函数的递增区间是（，1.答案：（，17.= _ 答案：100典例剖析【例1】 下图是指数函数（1）y=ax，（2）y=bx，（3）y=cx，（4）y=dx的图象，则a、b、c、d与1的大小关系是A.ab1cdB.ba1dcC.1abcdD.ab1dc剖析：可先分两类，即（3）（4）的底数一定大于1，（1）（2）的底数小于1，然后再
8、从（3）（4）中比较c、d的大小，从（1）（2）中比较a、b的大小.解法一：当指数函数底数大于1时，图象上升，且当底数越大，图象向上越靠近于y轴；当底数大于0小于1时，图象下降，底数越小，图象向右越靠近于x轴.得ba1dc.解法二：令x=1，由图知c1d1a1b1，ba1dc.答案：B【例2】 已知2（）x2，求函数y=2x2x的值域.解：222（x2），x2+x42x，即x2+3x40，得4x1.又y=2x2x是4，1上的增函数，2424y221.故所求函数y的值域是，.【例3】 要使函数y=1+2x+4xa在x（，1上y0恒成立，求a的取值范围.解：由题意，得1+2x+4xa0在x（，1上
9、恒成立，即a在x（，1上恒成立.又=（）2x（）x=（）x+2+，当x（，1时值域为（，a.评述：将不等式恒成立问题转化为求函数值域问题是解决这类问题常用的方法.【例4】已知，求函数的最大值和最小值。解：由，得，解得，。令，则，当即时，；当即时，闯关训练夯实基础1.已知f（x）=ax，g（x）=logbx，且lga+lgb=0，a1，b1，则y=f（x）与y=g（x）的图象（ ）A.关于直线x+y=0对称B.关于直线xy=0对称C.关于y轴对称D.关于原点对称解析：lga+lgb=0ab=1.g（x）=logbx=loga1x=logax.f（x）与g（x）的图象关于y=x对称.答案：B2.下
10、列函数中值域为正实数的是（ ）A.y=5xB.y=（）1x C.y=D.y=解析：y=（）x的值域是正实数，而1xR，y=（）1x的值域是正实数.答案：B3.（2011年四川理7）若是R上的奇函数，且当时，则的反函数的图象大致是（ ）【答案】A【解析】当时，函数单调递减，值域为，此时，其反函数单调递减且图象在与之间，故选A4.（2011年四川文4）函数的图象关于直线y=x对称的图象像大致是【答案】A【解析】图象过点，且单调递减，故它关于直线y=x对称的图象过点且单调递减，选A5.函数是定义在上的奇函数，当时，则的值为（ ）A. B. C. D.答案：A6.化简（a0，b0）的结果是_.解析：原
11、式=.答案：7.（2008江西理14）不等式的解集是_.答案：8.函数在上的最小值是_.答案：29.若定义运算，则函数的值域为_.答案：10.若a2x+ax0（a0且a1），求y=2a2x3ax+4的值域.解：由a2x+ax0（a0且a1）知0ax.令ax=t，则0t，y=2t23t+4.借助二次函数图象知y3，4）.11.（2004年全国，18）解方程4x+|12x|=11.解：当x0时，12x0.原方程4x2x10=02x=2x=0（无解）或2x=+1知x0（无解）.当x0时，12x0.原方程4x+2x12=02x=2x=4（无解）或2x=3x=log23（为原方程的解）.探究创新12.若
12、关于x的方程25|x+1|45|x+1|m=0有实根，求m的取值范围.解法一：设y=5|x+1|，则0y1，问题转化为方程y24ym=0在（0，1内有实根.设f（y）=y24ym，其对称轴y=2，f（0）0且f（1）0，得3m0.解法二：m=y24y，其中y=5|x+1|（0，1，m=（y2）243，0）.13.设且，函数在上的最大值是14，求的值。解：令，则原函数可化为，令，则函数的图像的对称轴为，开口方向向上。当时，此时，在上为增函数，又，。当时，此时，在上为增函数。，解得，或。思悟小结1.利用分数指数幂的意义可以把根式的运算转化为幂的运算，从而简化计算过程.2.指数函数y=ax（a0，a
13、1）的图象和性质受a的影响，要分a1与0a1来研究.3.指数函数的定义重在“形式”，像y=23x，y=2，y=3，y=3x+1等函数都不符合形式y=ax（a0，a1），因此，它们都不是指数函数.教师下载中心教学点睛1.本小节的重点是指数函数的图象和性质的应用.对于含有字母参数的两个函数式比较大小或两个函数式由于自变量的不同取值而有不同大小关系时，必须对字母参数或自变量取值进行分类讨论.用好用活指数函数单调性，是解决这一类问题的关键.2.对可化为a2x+bax+c=0或a2x+bax+c0（0）的指数方程或不等式，常借助换元法解决，但应提醒学生注意换元后“新元”的范围.拓展题例【例1】 若60a3，60b5.求12的值.解：a=log603，blog605，1b1log605log6012，1ab1log603log605log604，log124，1212122.【例2】 方程2x=2x的解的个数为_.解析：方程的解可看作函数y=2x和y=2x的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数图象（如下图）.由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解.答案：1评述：无法直接求解的方程问题，常用作图法来解，注意数形结合的思想.
