1、2.2.1 直线与平面平行的判定22.2平面与平面平行的判定 要点一 直线与平面平行的判定 1.判断直线与平面平行的方法有：(1)定义法：直线与平面没有公共点，往往借助于反证法(2)使 用 判 定 定 理：a，b，aba，三个条件缺一不可 2利用判定定理判断或证明直线与平面平行的关键是在已知平面内找一条直线b和已知直线a平行即要证直线a与平面平行，先证直线a与直线b平行即由立体向平面转化 例1 P是平行四边形ABCD所在平面外一点，Q是PA的中点，求证：PC平面BDQ.【分析】要证线面平行，寻找线线平行【证明】如图所示，连结AC，交BD于点O.四边形ABCD是平行四边形，AOOC，连结OQ，则
2、OQ在平面BDQ内，且OQ是APC的中位线，PCOQ.PC在平面BDQ外，PC平面BDQ.【规律方法】利用中点构造三角形的中位线，再利用三角形中位线定理实现线线平行 变式1(2010年高考浙江卷)如图，在平行四边形ABCD中，AB2BC，ABC120，E为线段AB的中点，将ADE沿直线DE翻折成ADE，F为线段AC的中点 求证：BF平面ADE.证明：如图所示，取AD的中点G，连接GF，GE，要点二 平面与平面平行的判定 应用判定定理证明面面平行的关键是在内找到与平行的两条直交直线a，b，要理解判定定理 1判定定理中一定是两条相交直线都平行于另一个平面 2判定两平面平行需同时满足5个条件：a，b
3、，abP，a，b.例2 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、E、F、N分别是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中点 求证：(1)E、F、B、D四点共面；(2)平面MAN平面EFDB.【分析】解答本题第(1)问，只需证BDEF即可第(2)问，只需证MN平面EFDB，AM平面EFDB即可【证明】(1)连接B1D1，E、F分别是边B1C1、C1D1的中点，EFB1D1.而BDB1D1，BDEF，E、F、B、D四点共面(2)易知MNB1D1，B1D1BD，MNBD，又MN平面EFDB，BD平面EFDB.MN平面EFDB.连结MF可知，MF綊A1D1，A1D1綊AD MF綊AD，四边形A
4、MFD是平行四边形 AMDF，AM平面EFDB.DF平面EFDB AM平面EFDB.又MNAMM，平面MAN平面EFDB.【规律方法】判定平面与平面平行的常用方法有：(1)根据定义：证明两个平面没有公共点，通常要采用反证法(2)根据判定定理：要证明两平面平行，只需在其中一个平面内找到两条相交直线平行于另一个平面 判定两个平面平行与判定线面平行一样，应遵循先找后作的原则，即先在一个面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线，本例即是如此 变式2 如图所示，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，求证：平面A1BD平面CB1D1.证明：A1BCD1为矩形，A1BD1C.又D1
5、C平面CB1D1，A1B平面CB1D1，A1B平面CB1D1，同理A1D平面CB1D1.又 A1BA1D A1，平 面 A1BD平 面CB1D1.例3 如图所示，B为ACD所在平面外一点，点M、N、G分别为ABC、ABD、BCD的重心(1)求证：平面MNG平面ACD；(2)求SMNGSACD.【分析】解答本题(1)可综合利用三角形重心和平行线分线段成比例定理证明(2)可证明MNGDCA，从而将两三角形的面积之比转化为求三角形对应边比的平方 又PF平面ACD，MN平面ACD，MN平面ACD.同理MG平面ACD，又MGMNM，平面MNG平面ACD.【规律方法】要证明面面平行，由面面平行的判定定理知
6、需在某一平面内寻找两条相交且与另一平面平行的直线要证明线面平行，又需根据线面平行的判定定理，在平面内找与已知直线平行的直线，这种面面平行、线面平行、线线平行的相互转化，是处理平行问题的基本思想方法 变式3 (2010年高考湖南卷)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中点在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F平面A1BE？证明你的结论 证明：在棱C1D1上存在点F，使B1F平面A1BE.证明如下：如下图所示，分别取C1D1和CD的中点F，G，连 接 B1F，EG，BG，CD1，FG.因 为A1D1B1C1BC，且A1D1BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，因此D1CA1B.又E，G分 别 为 D1D，CD的 中 点，所 以EGD1C，从而EGA1B.这说明A1，B，G，E四点共面，所以BG平面A1BE.因为四边形C1CDD1与B1BCC1都是正方形，F，G分别为C1D1和CD的中点，所以FGC1CB1B，且FGC1CB1B，因此四边形B1BGF是平行四边形，所以B1FBG.而B1F平面A1BE，BG平面A1BE，故B1F平面A1BE.
