1、 第1页（共4页）郑州外国语学校 2022-2023 学年上期高三第四次调研考试试卷数 学（理科）（120 分钟 150 分）一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1设全集 UR，集合 Ax|x2x20，Bx|lgx0，则 AB（）Ax|1x2Bx|1x2Cx|1x2Dx|x12已知复数 z 满足 zi3i+4，其中 i 为虚数单位，则在复平面内对应点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3下列各命题的否定为真命题的是（）A ,2 +14 0BxR，2xx2C +,(13)log2 D 0,2,sin4某
2、几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A16+32B8+32C8+323D16+3235已知抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F，点 P 是 C 上一点，且|PF|5，以 PF为直径的圆截 x 轴所得的弦长为 1，则 p（）A2B2 或 4C4D4 或 66设正项等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 2S33a2+8a1，S82S7+2，则 a2（）A4B3C2D17将曲线（x+y）（x2y+1）+10 的图像画在坐标轴上，再把坐标轴擦去（x 轴水平向右，y 轴竖直向上），得到的图像最有可能为（）第2页（共4页）ABCD8若函数 f（x）x2+mx+n 在区间（1，1）上有两个
3、零点，则 n2m2+2n+1 的取值范围是（）A（0，1）B（1，2）C（0，4）D（1，4）9已知函数 f（x）aex+4x，对任意的实数1,2 (,+)，且 x1x2，不等式(1)(2)12 1+2恒成立，则实数 a 的取值范围是（）A2，+)B23+)C(2，+)D(23+)10张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾在数学著作算罔论中得出结论：圆周率的平方除以十六约等于八分之五已知在菱形 ABCD 中，ABBD23，将ABD 沿 BD 进行翻折，使得 AC26按张衡的结论，三棱锥 ABCD 外接球的表面积约为（）A72B2410C2810D321011已知函数 f（x）ax2ax
4、xlnx，且对任意 x（0，+），f（x）0 恒成立，则实数 a 的取值集合为（）Aa|0a1Ba|1a2Ca|1a1 D112已知函数 f（x）sin（cosx）+cos（sinx），则下列结论正确的是（）Af（x）是奇函数Bf（x）的最大值为 2CxR，f（x）f（x）Dx0，f（x+）0二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上.）13 22(|+4 2)=14已知甲袋内有大小相同的 2 个红球和 2 个白球，乙袋内有大小相同的 1 个红球和 2 个白球现从甲、乙两个袋内各任取 2 个球，则恰好有 2 个红球的概率 第3页（共4页）为 15已知函数 f（x）（sinx）
5、2+12 sin2 12(0，)，若 f（x）在区间（，2）内没有零点，则 的取值范围是 16过双曲线：22 22=1(0，0)的左焦点1的动直线 l 与 的左支交于 A，B 两点，设 的右焦点为2.若存在直线 l，使得 AF2BF2，则 的离心率的取值范围是 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 csinBcosB+bsinBcosC=32 b（1）求 A；（2）若角 A 为钝角，ABC 的面积为 S，求2的最大值18已知数列an和bn的前 n 项和分别为 Sn，Tn，且 a
6、11，an+1=23 +1，=2 log13 +3（1）求数列an和bn的通项公式；（2）若 cnan+1，设数列cn的前 n 项和为 Rn，证明：Rn319如图，PD平面 ABCD，ADCD，ABCD，PQCD，ADCDDP2PQ2AB2，点 E，F，M 分别为 AP，CD，BQ 的中点（1）求证：EF平面 CPM；（2）若 N 为线段 CQ 上的点，且直线 DN 与平面 QPM 所成的角为6，求线段 QN的长 第4页（共4页）20目前，教师职业越来越受青睐，考取教师资格证成为不少人的就业规划之一当前，中小学教师资格考试分笔试和面试两部分已知某市 2022 年共有 10000 名考生参加了中
7、小学教师资格考试的笔试，现从中随机抽取 100 人的笔试成绩（满分100 分）作为样本，整理得到如下频数分布表：笔试成绩 X40，50）50，60）60，70）70，80）80，90）90，100人数51025302010由频数分布表可认为该市全体考生的笔试成绩 X 近似服从正态分布 N（，2），其中，近似为 100 名样本考生笔试成绩的平均值（同一组的数据用该组区间的中点值代替）（1）若 12，据此估计该市全体考生中笔试成绩高于 85 的人数（结果四舍五入精确到个位）；（2）按照分层随机抽样方法，从笔试成绩为80，90）和90，100的考生中随机抽取了 6 人，再从这 6 人中随机抽取 2
8、人，记成绩不低于 90 分的人数为随机变量，求 的分布列和均值参考数据：若 XN（，2），则 P（X+）0.6827，P（2X+2）0.9545，P（3X+3）0.997321已知离心率为22 的椭圆 C 的中心在原点 O，对称轴为坐标轴，F1，F2 为左右焦点，M 为椭圆上的点，且|1|+|2|=22直线 l 过椭圆外一点 P（m，0）（m0），与椭圆交于 A（x1，y1），B（x2，y2）两点，满足 y2y10（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）对于任意点 P，是否总存在唯一的直线 l，使得1/2成立，若存在，求出点 P（m，0）对应的直线 l 的斜率；否则说明理由22已知函数()=2 +
9、ln 在点(1,(1)处的切线方程为2 2 3=0（1）求实数 a，b 的值；（2）设函数()=()(32)的两个极值点为 x1，x2 且1 0，sin(cos)0，若 0,2)，则sin +cos 2 2，即0 sin 2 cos cos(2 cos)=sin(cos)，即(+)0.故选：D二填空题（共 4 小题）13 22(|+4 2)=22 2+2【解答】解：22 4 2dx2 20 4 2dx2，22 e|x|dx2 20 exdx2ex|02=2e22，故 22(|+4 2)=22 2+2，故答案为：22 2+2.14已知甲袋内有大小相同的 2 个红球和 2 个白球，乙袋内有大小相同
10、的 1 个红球 第8页（共15页）和 2 个白球现从甲、乙两个袋内各任取 2 个球，则恰好有 2 个红球的概率为 12【解答】解：设 X 为红球的个数.P（X2）=2242 2232+212142 112132=12，答案为：1215已知函数 f（x）（sinx）2+12 2 12(0，)，若 f（x）在区间（，2）内没有零点，则 的取值范围是（0，11618，516【解答】解：函数 f（x）（sinx）2+12sin2x12=12（1cos2x）+12sin2x12=12sin2x12cos2x=22 sin（2x4），由 f（x）0，可得 sin（2x4）0，解得 x=+42（，2），因为
11、 f（x）在区间（，2）内没有零点，所以2，即2，解得 12；又因为 0，令+42 2，kZ；解得4+116 2+18，kZ；当 k0 时，（116，18），当 k1 时，（516，58）；所以有解时 的取值范围是（116，18）（516，12，由 f（x）在区间（，2）内没有零点，所以 的取值范围是（0，11618，516故答案为：（0，11618，51616过双曲线：22 22=1(0，0)的左焦点1的动直线 l 与 的左支交于 A，B 两点，设 的右焦点为 F2.若存在直线 l，使得 AF2BF2，则 的离心率的取值范围是 (5，1+2【解答】法 1：设|1|=，|1|=，则|2|=+2
12、，|2|=+2，第9页（共15页）且1+1=22.若2 2，则|2=|2|2+|2|2，代入化简即得(422 1)+42=0，又22=1+1 2，所以 42，所以422 1 0，且(422 1)42+42 0.解上述不等式得22 (4,22+2，所以=1+22 (5,1+2.法 2：依题意可知直线 l 的斜率不为 0，设直线 l 的方程为 xmyc，将直线 l 的方程为 xmyc 代入椭圆方程可得（b2m2a2）y22b2cmy+b40，设 A（xI，yl），B（x2，y2），则1+2=22222，12=4222，由 AF2BF2，可得2 2=0，故（xlc）（x2c）+yly20，整理可得（
13、myl2c）（my22c）+yly20，整 理 得(2+1)12 2(1+2)+42=0，将 1+2=22222，12=4222代入上式可得（m2+1）b44m2c2b2+4c2（b2m2a2）0，（m2+1）b44a2c2，m2+1=42241，化简整理得 4a2c2（c2a2）2，进而可得 c4+a46a2c20，不等式两边除以 a4 得 e46e2+10，解不等式得 322 e23+22，又 e1，1e23+22，解得 1e1+2，又 A，B 在左支且 l 过 F1，y1y20，4222 0，222，2+1=4224 22+1，4a2c2a2b2+b4b2（a2+b2）b2c2，解得 4
14、a2b2c2a2，5a2c2，e25，5，综上：5e1+2，即 e（5，1+2三解答题（共 6 小题，第 17 题 10 分，其余各题 12 分）17在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 csinBcosB+bsinBcosC=32 b（1）求 A；（2）若角 A 为钝角，ABC 的面积为 S，求2的最大值【解答】解：（1）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 第10页（共15页）csinBcosB+bsinBcosC=32 b，则+=32，因为 sinB0，所以+=32，所以(+)=32，4 分因为 0A，所以=3或=23；5 分（2）由
15、A 为钝角及（1）结论，则=23，由余弦定理得 a2b2+c2+bc，又=12 =34，所以2=34 2+2+34 2+=312，当且仅当 bc 时取等号，故2的最大值为312 10 分18已知数列an和bn的前 n 项和分别为 Sn，Tn，且 a11，an+1=23 +1，=2 log13 +3（1）求数列an和bn的通项公式；（2）若 cnan+1，设数列cn的前 n 项和为 Rn，证明：Rn3【解答】解：（1）因为 an+1=23 +1，由 a11，所以 a2=23a1+1=13，当 n2 时，an=23Sn1+1，两式相减得，an+1an=23an，即 an+1=13an，3 分易知，
16、a2=13a1，符合上式，4 分所以数列an是以 1 为首项，13为公比的等比数列，所以 an（13）n1；5 分=2 log13 +3=2 log13(13)1+3=2+1；6 分（2）证明：由（1）bn2n+1，所以 Tn=(3+2+1)2=n（n+2），若 cnan+1=（13）n1+1(+2)=（13）n1+12（1 1+2），8 分 第11页（共15页）所以 Rn=1(13)113+12（113）+（12 14）+（13 15）+（14 16）+（11 1+1）+（1 1+2）=32 32（13）n+12（32 1+1 1+2）=32 32（13）n+34 12(+1)12(+2)=
17、94 32（13）n12(+1)12(+2)94 3，得证12 分19如图，PD平面 ABCD，ADCD，ABCD，PQCD，ADCDDP2PQ2AB2，点 E，F，M 分别为 AP，CD，BQ 的中点（1）求证：EF平面 CPM；（2）若 N 为线段 CQ 上的点，且直线 DN 与平面 QPM 所成的角为6，求线段 QN的长【解答】解：（1）证明：连接 EM，因为 ABCD，PQCD，CD2PQ2AB2，所以四边形 ABQP 为平行四边形，又点 E，F，M 分别为 AP，CD，BQ 的中点，则 ，=，=12，即 EMCF 且 EMCF，所以四边形 EMCF 为平行四边形，则 EFCM，又 E
18、F平面 CPM，CM平面 CPM，所以 EF平面 CPM；4 分（2）建立如图所示的空间直角坐标系，则(0，0，0)，(2，0，0)，(2，1，0)，(0，2，0)，(0，0，2)，(0，1，2)，(1，1，1)=(1，1，1)，=(0，1，0)，=(1，1，1)，=(0，2，2)，设平面 QPM 的一个法向量为=(，)，则 =+=0 =0，则可取=(1，0，1)；6 分设=(0 1)，则=(0，2)，第12页（共15页）所以(0，+1，2 2)，=(0，+1，2 2)，由题意直线 DN 与平面 QPM 所成的角为6，则6=|，|=|=|22|(+1)2+(22)22=12，解得=13或 3（
19、舍），10 分所以|=13|=53，即线段 QN 的长为53 12 分20目前，教师职业越来越受青睐，考取教师资格证成为不少人的就业规划之一当前，中小学教师资格考试分笔试和面试两部分已知某市 2022 年共有 10000 名考生参加了中小学教师资格考试的笔试，现从中随机抽取 100 人的笔试成绩（满分100 分）作为样本，整理得到如下频数分布表：笔试成绩 X40，50）50，60）60，70）70，80）80，90）90，100人数51025302010由频数分布表可认为该市全体考生的笔试成绩 X 近似服从正态分布 N（，2），其中，近似为 100 名样本考生笔试成绩的平均值（同一组的数据用该
20、组区间的中点值代替）（1）若 12，据此估计该市全体考生中笔试成绩高于 85 的人数（结果四舍五入精确到个位）；（2）按照分层随机抽样方法，从笔试成绩为80，90）和90，100的考生中随机抽取 6 人，再从这 6 人中随机抽取 2 人，记成绩不低于 90 分的人数为随机变量，求 的分布列和均值参考数据：若 XN（，2），则 P（X+）0.6827，P（2X+2）0.9545，P（3X+3）0.9973【解答】解：（1）由题意知，=1100（455+5510+6525+7530+8520+9510）第13页（共15页）73，2 分所以 P（7312X73+12）P（61X85）0.6827，所
21、以 P（X85）=12（10.6827）0.15865，4 分所以估计该市全体考生中笔试成绩高于 85 的人数为 100000.158651586.51587名 6 分（2）按照比例分配的分层随机抽样方法，抽取的 6 人中，笔试成绩为80，90）的考生有 4 名，笔试成绩为90，100的考生有 2 名，随机变量 的可能取值为 0，1，2，P（0）=422062=25，P（1）=412162=815，P（2）=402262=115，所以 的分布列为 0 1 2 P 25 815 11510 分均值 E（）025+1815+2115=2312 分21已知离心率为22 的椭圆 C 的中心在原点 O，
22、对称轴为坐标轴，F1，F2 为左右焦点，M 为椭圆上的点，且|1|+|2|=22直线 l 过椭圆外一点 P（m，0）（m0），与椭圆交于 A（x1，y1），B（x2，y2）两点，满足 y2y10（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）对于任意点 P，是否总存在唯一的直线 l，使得1/2成立，若存在，求出点 P（m，0）对应的直线 l 的斜率；否则说明理由【解答】解：（1）由题可设椭圆方程为22+22=1，则=22，由椭圆定理可得|1|+|2|=2=22，则=2，=1，=1，所以椭圆的方程为：22+2=1 4 分（2）设直线 l 方程为 yk（xm）（斜率必存在），则1=(1+1，1)，2=(2 1
23、，2)，1 2，（x1+1）y2（x21）y1，第14页（共15页）（x1+1）k（x2m）（x21）k（x1m），化简得 x2+x1+m（x2x1）2m0，6 分联立 yk（xm）与椭圆方程可得，（1+2k2）x24mk2x+2k2m220，8k2（2m2）+80，1+2=421+22，12=22221+22，8 分代入得，421+22+(2 1)2=0，2 1=21+22，(2 1)2=(1+2)2 412=162822+8(1+22)2，代入得：4k22k2m2+10，故2=1224，10 分而点 A、B 在 x 轴上方，所以对于任意一个 2，存在唯一的=1224使得1 2成立，故满足题
24、意的直线 l 有且只有一条 12 分22已知函数 f（x）ax2bx+lnx 在点（1，f（1）处的切线方程为 2x2y30（1）求实数 a，b 的值；（2）设函数()=()(32)的两个极值点为 x1，x2 且 x1x2，若 g（x1）g（x2）恒成立，求满足条件的 的最大值【解答】解：（1）由 f（x）ax2bx+lnx，得()=2 +1，因为（1，f（1）在切线方程 2x2y30 上，所以 22y30，解得=12，所以(1)=12，所以 +1=122 +1=1，解得=12，=1 4 分（2）由（1）知，()=12 2 +，则()=12 2 +(32)则()=1+(+1)=2(+1)+1（
25、x0），由 g（x）0，得 x2（m+1）x+10，因为 x1，x2（x1x2）是函数 g（x）的两个极值点，所以方程 x2（m+1）x+10 有两个不相等的正实根 x1，x2，第15页（共15页）所以 x1+x2m+1，x1x21，所以2=11 6 分因为 32，所以1+11=+1 52，解得01 12或 x12，因为012=11，所以01 12，所以(1)(2)=1+12 12 (+1)1 2 12 22+(+1)2=12+12(12 22)(+1)(1 2)=21 12(12 112)，8 分令()=2 12(2 12)(0 12)，则()=2 13=(21)230，所以 F（x）在(0，12上单调递减，所以当=12时，F（x）取得最小值，即()min=212 12(14 4)=158 22，所以 158 22，即实数 的最大值为158 2212 分
