1、景胜中学2020年12月高二月考数学文试卷 一、 选择题 (本题共计 12 小题 ,每题 5 分 ,共计60分 , ) 1. 已知命题p:x0,那么p是( ) A.x0,x20B.x0,x20C.x0,则a0”,则它的否命题是( ) A.若ab0,则a0B.若ab0,则a0C.若ab0,则am0是方程x2m+y2n=1 表示的曲线为椭圆的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5. 直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的14,则该椭圆的离心率为( ) A.14B.13C.12D.346. 集合A=x|1x1,若“xB”是“x
2、A”的充分不必要条件,则B可以是( ) A.x|1x1B.x|1x1C.x|0x2D.x|2x0”的否定是“xR,3x2+2x10,b0)的右焦点为F,点B是虚轴上的一个端点,线段BF与双曲线C的右支交于点A,若BA=2AF,且|BF|=4,则双曲线C的方程为( ) A.x26y25=1B.x28y212=1C.x28y24=1D.x24y26=110. 已知抛物线C:x2=12y,直线l过点0,3与抛物线C交于A,B两点,且|AB|=14,则直线l倾斜角的正弦值为() A.24B.4242C.66D.7711. 若双曲线x2a2y2b2=1a0,b0的一条渐近线与函数fx=lnx+1的图象相
3、切,则该双曲线离心率为( ) A.2B.3C.2D.512. 已知F1,F2是椭圆C:x28+y2m=1的两个焦点,若椭圆C上存在点P满足F1PF2=90,则m的取值范围是() A.0,216,+B.0,416,+C.0,28,+D.0,48,+ 二、 填空题 (本题共计 4 小题 ,每题 5 分 ,共计20分 , ) 13. 已知p:xR,x2+mx+10,若p为假命题,则实数m的取值范围是_. 14. 已知函数fx=13x3+mx223若x=0是fx在1,+)上的极小值点,则实数m的取值范围是_. 15. 已知直线y=2x2与抛物线y2=8x交于A,B两点,抛物线的焦点为F,则FAFB的值
4、为_. 16. 已知双曲线x2y28=1上有三个点A,B,C,且AB,BC,AC的中点分别为D,E,F,用字母k表示斜率,若kOD+kOE+kOF=8(点O为坐标原点,且kOD,kOE,kOF均不为零),则1kAB+1kBC+1kAC=_. 三、 解答题 (本题共计 6 小题 ,共计70分 , ) 17.(10分) 已知p:关于x方程x2+2x+14m2=0有两个不相等的实根;q:方程y23+x2m=1表示焦点在y轴上的椭圆 (1)若p为真命题,求实数m的取值范围; (2)如果“pq”为真命题,“pq”为假命题,求实数m的取值范围18.(12分) 已知命题p:实数x满足x24ax+3a20,命
5、题q:实数x满足x2x60,x2+2x80. (1)若a=1,且命题p和命题q均为真命题,求实数x的范围; (2)若p是q的必要不充分条件,求a的范围19.(12分) 设a为实数,函数fx=2x315x2+36x+a. (1)求fx的极值; (2)若函数y=fx的图像与x轴仅有一个交点,求a的取值范围20.(12分) 已知椭圆E:x2a2+y2b2=1ab0的离心率e=63,并且经过定点P32,12. (1)求曲线E的方程; (2)直线l:y=kx+2交椭圆E于不同的A,B两点,O是坐标原点,求AOB面积的最大值21.(12分) 已知函数fx=ax2+ax+1e2x. (1)若函数gx=fx,
6、试讨论gx的单调性; (2)若x0,+,fx0,求a的取值范围22.(12分) 已知圆M:x12+y2=14,动圆N与圆M相外切,且与直线x=12相切 (1)求动圆圆心N的轨迹C的方程; (2)已知点P12,12,Q1,2,过点P的直线l与曲线C交于两个不同的点A,B(与Q点不重合),直线QA,QB的斜率之和是否为定值?若是,求出该定值;若不是,说明理由参考答案与试题解析景胜中学2020年12月高二月考数学文试卷一、 选择题 (本题共计 12 小题 ,每题 5 分 ,共计60分 ) 1.【答案】C【解答】解:特称命题的否定是全称命题.已知命题p:x0,那么p是:x0,则a0”的否命题是“若ab
7、0,则a0.”故选D4.【答案】A【解答】解:若方程x2m+y2n=1表示的曲线为椭圆,则 m0,n0,且mn,故nm0 是“方程x2m+y2n=1表示的曲线为椭圆”的充分不必要条件.故选A.5.【答案】C【解答】解:设椭圆的方程为:x2a2+y2b2=1(ab0),直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,则直线方程为:xc+yb=1,椭圆中心到l的距离为其短轴长的14,可得:11c2+1b2=b2, 4=b2(1c2+1b2), b2c2=3, a2c2c2=3, e=ca=12故选C6.【答案】B【解答】解:A,B=x|1x1与集合A相等,“xB”是“xA”的充分必要条件.故选项A错误.B,B
8、=x|1x1,B包含于A,“xB”是“xA”的充分不必要条件.故选项B正确.C,B=x|0x2,B不包含A,A也不包含B,“xB”既不是“xA”的充分条件,也不是必要条件.故选项C错误.D,B=x|2x1,B不包含A,A也不包含B,“xB”既不是“xA”的充分条件,也不是必要条件.故选项D错误.故选B.7.【答案】C【解答】解:由函数y=f(x)的导函数f(x)的图象知,当x1及3x5时,f(x)0,f(x)单调递减;当1x5时,f(x)0,f(x)单调递增,所以f(x)的单调递减区间为(,1)和(3,5),单调递增区间为(1,3)和(5,+),所以f(x)在x=1,5处取得极小值,在x=3处
9、取得极大值,因此C是错误的.故选C.8.【答案】D【解答】解:A中,命题“若|x|=5,则x=5”的否命题为“若|x|5,则x5”,故A不正确;B中,由x25x6=0,解得x=1或x=6,所以“x=1是“x25x6=0”的充分不必要条件,故B不正确;C中,“x0R,3x02+2x010的否定是“xR,3x2+2x10,故C不正确;D中,命题“若x=y,则sinx=siny”为真命题,因此其逆否命题为真命题,D正确.故选D9.【答案】D【解答】解:设A(x,y),因为右焦点为F(c,0),点B(0,b),线段BF与双曲线C的右支交于点A,BA=2AF,所以x=2c3,y=b3,A(2c3,b3)
10、,代入双曲线方程,可得49c2a219=1,所以b=62a,因为|BF|=4,所以c2+b2=16,所以a=2,b=6,所以双曲线C的方程为x24y26=1故选D.10.【答案】D【解答】解:由题意可知,直线l的斜率存在当直线的斜率为零时,由于0,3为抛物线的焦点,故应有|AB|=12,所以直线的斜率存在,且不为零,设直线l的方程为y=kx+3(k0),由 y=kx+3,x2=12y,消去x得,y2(12k2+6)y+9=0,所以y1+y2=12k2+6,所以|AB|=y1+y2+6=12k2+12=14,所以k=66,所以tan=66,所以sin=77故选D11.【答案】A【解答】解:由题易
11、知切点为原点,又fx=lnx+1的导函数fx=1x+1,故f0=10+1=1,ba=1,则ba=1,又c2a2a2=1,则e=2.故选A12.【答案】B【解答】解:先讨论当点P在椭圆上时,F1PF2最大时,点P的位置cosF1PF2=|PF1|2+|PF2|2|F1F2|22|PF1|PF2|=|PF1|+|PF2|22|PF1|PF2|4c22|PF1|PF2|=4a22|PF1|PF2|4c22|PF1|PF2|=4b22|PF1|PF2|24b22(|PF1|+|PF2|2)22=2b2a22,当且仅当|PF1|=|PF2|时取得等号,即当点P在椭圆的短轴的端点上时,cosF1PF2最小
12、,此时F1PF2最大要使得椭圆C上存在点P满足F1PF2=90,则只需F1PF2最大时的值大于等于90如图设椭圆的一个短轴的端点为B,即只需F1BO45当椭圆的焦点在x轴上时,c=8m,由题意可得8mmtan45,0m8,解得,08,解得,m16故选B二、 填空题 (本题共计 4 小题 ,每题 5 分 ,共计20分 ) 13.【答案】2m2【解答】解:由p为假命题可知,p为真命题,则=m24110,解得2m2.故答案为:2m2.14.【答案】0,+【解答】解:由题意f(x)=x2+2mx=x(x+2m),令f(x)=0,解得x1=0,x2=2m.因为x=0是fx在1,+)上的极小值点,所以x=
13、2m0.故答案为:0,+.15.【答案】11【解答】解:联立y=2x2与y2=8x得,x24x+1=0,设Ax1,y1,Bx2,y2,由已知F2,0,则x1+x2=4,x1x2=1,y1y2=2x122x22=8,则FAFB=x12x22+y1y2=11故答案为:11.16.【答案】1【解答】解:设Ax1,y1,Bx2,y2,Dx0,y0,则x1+x2=2x0,y1+y2=2y0,x12y128=1,x22y228=1,两式相减得x1x2x1+x2=y1+y2y1y28,整理可得x1x2y1y2=y08x0,即1kAB=kOD8,同理得1kBC=kOE8,1kAC=kOF8.因为kOD+kOE
14、+kOF=8,所以1kAB+1kBC+1kAC=1.故答案为:1.三、 解答题 (本题共计 6 小题 ,共计70分 ) 17.【答案】解:(1)由题可知4m20,所以实数m的取值范围为2m0表示焦点在y轴上的椭圆,所以0m3,当p为真,q为假时,2m2,m0或m3,解得2m0;当p为假,q为真时,m2或m2,0m3,解得2m0,所以实数m的取值范围为2m0表示焦点在y轴上的椭圆,所以0m3,当p为真,q为假时,2m2,m0或m3,解得2m0;当p为假,q为真时,m2或m2,0m3,解得2m3.综上,实数m的取值范围为:(2,02,3).18.【答案】解:(1)当a=1时,由x24x+30得1x
15、3,即p:1x0,解得2x3,x2或x4,即2x3,即q:2x3. 命题p和命题q均为真命题,即x满足2x3,1x3,即2x3.(2) p是q的必要不充分条件, q是p的充分不必要条件,由p知,A=x|ax0,由q知,B=x|23,即a1,a2,即1a2,即实数a的取值范围是(1,2.【解答】解:(1)当a=1时,由x24x+30得1x3,即p:1x0,解得2x3,x2或x4,即2x3,即q:2x3. 命题p和命题q均为真命题,即x满足2x3,1x3,即2x3.(2) p是q的必要不充分条件, q是p的充分不必要条件,由p知,A=x|ax0,由q知,B=x|23,即a1,a2,即1a2,即实数
16、a的取值范围是(1,2.19.【答案】解:(1)fx=6x230x+36=6x2x3,令fx=0,得x1=2,x2=3,当x变化时fx,fx的变化情况如下表:x,222,333,+fx+00+fx极大值极小值 fx的极大值是f2=28+a,极小值是f3=27+a.(2)结合(1)中fx的单调性,当x时fx;当x+时fx+,y=fx的图像与x轴仅有一个交点,则有f2=28+a0,解得a27. a的取值范围是,2827,+【解答】解:(1)fx=6x230x+36=6x2x3,令fx=0,得x1=2,x2=3,当x变化时fx,fx的变化情况如下表:x,222,333,+fx+00+fx极大值极小值
17、 fx的极大值是f2=28+a,极小值是f3=27+a.(2)结合(1)中fx的单调性,当x时fx;当x+时fx+,y=fx的图像与x轴仅有一个交点,则有f2=28+a0,解得a27. a的取值范围是,2827,+20.【答案】解:(1)由题意:e=ca=63且94a2+14b2=1,又a2=b2+c2,解得a=3,b=1,c=2 曲线E的方程为x23+y2=1.(2)设Ax1,y1,Bx2,y2,联立x23+y2=1,y=kx+2,消去y并整理,得1+3k2x2+12kx+9=0, =12k2361+3k2=36k2360,即k21, x1+x2=12k1+3k2,x1x2=91+3k2,
18、x1x22=x1+x224x1x2=144k21+3k22361+3k2=36k211+3k22.又原点到直线l:y=kx+2的距离d=21+k2, SAOB=12|AB|d=121+k2|x1x2|21+k2=|x1x2|.令t=k2,则t1, S2=x1x22=36t11+3t2=36t19t2+6t+1=36t19t12+24t1+16=369t1+16t1+24t1,当且仅当t1=43,即t=73时,Smax2=34,所以当k2=73,即k=213时,AOB的面积最大,最大为32.【解答】解:(1)由题意:e=ca=63且94a2+14b2=1,又a2=b2+c2,解得a=3,b=1,
19、c=2 曲线E的方程为x23+y2=1.(2)设Ax1,y1,Bx2,y2,联立x23+y2=1,y=kx+2,消去y并整理,得1+3k2x2+12kx+9=0, =12k2361+3k2=36k2360,即k21, x1+x2=12k1+3k2,x1x2=91+3k2, x1x22=x1+x224x1x2=144k21+3k22361+3k2=36k211+3k22.又原点到直线l:y=kx+2的距离d=21+k2, SAOB=12|AB|d=121+k2|x1x2|21+k2=|x1x2|.令t=k2,则t1, S2=x1x22=36t11+3t2=36t19t2+6t+1=36t19t1
20、2+24t1+16=369t1+16t1+24t1,当且仅当t1=43,即t=73时,Smax2=34,所以当k2=73,即k=213时,AOB的面积最大,最大为32.21.【答案】解:(1)因为gx=fx=2ax+a2e2x,所以gx=2a4e2x=22e2xa,当a0时,gx0时,令gx0,则x12lna2,令gx12lna2,所以gx在(,12lna2)上单调递增,在12lna2,+)上单调递减综上所述,当a0时,gx在R上单调递减;当a0时,gx在,12lna2上单调递增,在12lna2,+)上单调递减(2)fx=2ax+a2e2x=a2x+12e2x=2x+1a2e2x2x+1,f0
21、=0,令fx=0,得a=2e2x2x+1,设x=2e2x2x+1,则x=8xex2x+12,当x0时,x0,(x)在0,+上单调递增,所以(x)在0,+上的值域是2,+,即2e2x2x+12,当a2时,fx=0没有实根,且fx0,fx在0,+上单调递减,fx2时,0=20,fx在0,x0上单调递增,fxf0=0,不符合题意综上所述,a2,即a的取值范围为(,2.【解答】解:(1)因为gx=fx=2ax+a2e2x,所以gx=2a4e2x=22e2xa,当a0时,gx0时,令gx0,则x12lna2,令gx12lna2,所以gx在(,12lna2)上单调递增,在12lna2,+)上单调递减综上所
22、述,当a0时,gx在R上单调递减;当a0时,gx在,12lna2上单调递增,在12lna2,+)上单调递减(2)fx=2ax+a2e2x=a2x+12e2x=2x+1a2e2x2x+1,f0=0,令fx=0,得a=2e2x2x+1,设x=2e2x2x+1,则x=8xex2x+12,当x0时,x0,(x)在0,+上单调递增,所以(x)在0,+上的值域是2,+,即2e2x2x+12,当a2时,fx=0没有实根,且fx0,fx在0,+上单调递减,fx2时,0=20,fx在0,x0上单调递增,fxf0=0,不符合题意综上所述,a2,即a的取值范围为(,2.22.【答案】解:(1)设N到直线x=12的距
23、离为d. d=|MN|12, N到直线x=1的距离等于N到M(1,0)的距离.由抛物线的定义可知,N的轨迹C为抛物线, 轨迹C的方程为y2=4x.(2)设直线l的方程为x+12=my+12,即2x2my+1m=0. A,B与Q点不重合, m35.设直线QA,QB的斜率分别为k1和k2,k1+k2=,点A(x1,y1),B(x2,y2),联立2x2my+1m=0,y2=4x,消去x,得y24my+22m=0,则y1+y2=4m,y1y2=22m,由=(4m)24(22m)0,解得m12,且m35.因为k1=y12x11=y1212(2my1+m1)1=2(y12)2my1+m3,同理可得k2=2
24、(y22)2my2+m3,所以=k1+k2=2(y12)2my1+m3+2(y22)2my2+m3=24my1y23(m+1)(y1+y2)4(m3)4m2y1y2+2m(m3)(y1+y2)+(m3)2=24m(22m)3(m+1)4m4(m3)4m2(22m)+2m(m3)4m+(m3)2=8(5m22m+3)3(5m22m+3)=83,所以直线QA,QB的斜率之和为定值83【解答】解:(1)设N到直线x=12的距离为d. d=|MN|12, N到直线x=1的距离等于N到M(1,0)的距离.由抛物线的定义可知,N的轨迹C为抛物线, 轨迹C的方程为y2=4x.(2)设直线l的方程为x+12=
25、my+12,即2x2my+1m=0. A,B与Q点不重合, m35.设直线QA,QB的斜率分别为k1和k2,k1+k2=,点A(x1,y1),B(x2,y2),联立2x2my+1m=0,y2=4x,消去x,得y24my+22m=0,则y1+y2=4m,y1y2=22m,由=(4m)24(22m)0,解得m12,且m35.因为k1=y12x11=y1212(2my1+m1)1=2(y12)2my1+m3,同理可得k2=2(y22)2my2+m3,所以=k1+k2=2(y12)2my1+m3+2(y22)2my2+m3=24my1y23(m+1)(y1+y2)4(m3)4m2y1y2+2m(m3)(y1+y2)+(m3)2=24m(22m)3(m+1)4m4(m3)4m2(22m)+2m(m3)4m+(m3)2=8(5m22m+3)3(5m22m+3)=83,所以直线QA,QB的斜率之和为定值83