1、景胜中学2020年12月高二月考数学文试卷 一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ， ） 1. 已知命题p:x0，那么p是( ) A.x0，x20B.x0，x20C.x0，则a0”，则它的否命题是( ) A.若ab0，则a0B.若ab0，则a0C.若ab0，则am0是方程x2m+y2n=1 表示的曲线为椭圆的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5. 直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( ) A.14B.13C.12D.346. 集合A=x|1x1，若“xB”是“x
2、A”的充分不必要条件，则B可以是( ) A.x|1x1B.x|1x1C.x|0x2D.x|2x0”的否定是“xR,3x2+2x10，b0)的右焦点为F，点B是虚轴上的一个端点，线段BF与双曲线C的右支交于点A，若BA=2AF，且|BF|=4，则双曲线C的方程为( ) A.x26y25=1B.x28y212=1C.x28y24=1D.x24y26=110. 已知抛物线C:x2=12y，直线l过点0,3与抛物线C交于A，B两点，且|AB|=14，则直线l倾斜角的正弦值为（） A.24B.4242C.66D.7711. 若双曲线x2a2y2b2=1a0,b0的一条渐近线与函数fx=lnx+1的图象相
3、切，则该双曲线离心率为( ) A.2B.3C.2D.512. 已知F1,F2是椭圆C:x28+y2m=1的两个焦点，若椭圆C上存在点P满足F1PF2=90，则m的取值范围是（） A.0,216,+B.0,416,+C.0,28,+D.0,48,+ 二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ， ） 13. 已知p:xR,x2+mx+10，若p为假命题，则实数m的取值范围是_. 14. 已知函数fx=13x3+mx223若x=0是fx在1,+)上的极小值点，则实数m的取值范围是_. 15. 已知直线y=2x2与抛物线y2=8x交于A，B两点，抛物线的焦点为F，则FAFB的值
4、为_. 16. 已知双曲线x2y28=1上有三个点A，B，C，且AB，BC，AC的中点分别为D，E，F，用字母k表示斜率，若kOD+kOE+kOF=8（点O为坐标原点，且kOD，kOE，kOF均不为零），则1kAB+1kBC+1kAC=_. 三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，共计70分 ， ） 17.(10分) 已知p：关于x方程x2+2x+14m2=0有两个不相等的实根；q：方程y23+x2m=1表示焦点在y轴上的椭圆 (1)若p为真命题，求实数m的取值范围； (2)如果“pq”为真命题，“pq”为假命题，求实数m的取值范围18.(12分) 已知命题p：实数x满足x24ax+3a20，命
5、题q：实数x满足x2x60，x2+2x80. (1)若a=1，且命题p和命题q均为真命题，求实数x的范围； (2)若p是q的必要不充分条件，求a的范围19.(12分) 设a为实数，函数fx=2x315x2+36x+a. (1)求fx的极值； (2)若函数y=fx的图像与x轴仅有一个交点，求a的取值范围20.(12分) 已知椭圆E：x2a2+y2b2=1ab0的离心率e=63，并且经过定点P32,12. (1)求曲线E的方程； (2)直线l：y=kx+2交椭圆E于不同的A，B两点，O是坐标原点，求AOB面积的最大值21.(12分) 已知函数fx=ax2+ax+1e2x. (1)若函数gx=fx，
6、试讨论gx的单调性； (2)若x0,+，fx0，求a的取值范围22.(12分) 已知圆M：x12+y2=14，动圆N与圆M相外切，且与直线x=12相切 (1)求动圆圆心N的轨迹C的方程； (2)已知点P12,12，Q1,2，过点P的直线l与曲线C交于两个不同的点A，B（与Q点不重合），直线QA，QB的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由参考答案与试题解析景胜中学2020年12月高二月考数学文试卷一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ） 1.【答案】C【解答】解：特称命题的否定是全称命题.已知命题p:x0，那么p是：x0，则a0”的否命题是“若ab
7、0，则a0.”故选D4.【答案】A【解答】解：若方程x2m+y2n=1表示的曲线为椭圆，则 m0，n0，且mn，故nm0 是“方程x2m+y2n=1表示的曲线为椭圆”的充分不必要条件.故选A.5.【答案】C【解答】解：设椭圆的方程为：x2a2+y2b2=1(ab0)，直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，则直线方程为：xc+yb=1，椭圆中心到l的距离为其短轴长的14，可得：11c2+1b2=b2， 4=b2(1c2+1b2)， b2c2=3， a2c2c2=3， e=ca=12故选C6.【答案】B【解答】解：A，B=x|1x1与集合A相等，“xB”是“xA”的充分必要条件.故选项A错误.B，B
8、=x|1x1，B包含于A，“xB”是“xA”的充分不必要条件.故选项B正确.C，B=x|0x2，B不包含A，A也不包含B，“xB”既不是“xA”的充分条件，也不是必要条件.故选项C错误.D，B=x|2x1，B不包含A，A也不包含B，“xB”既不是“xA”的充分条件，也不是必要条件.故选项D错误.故选B.7.【答案】C【解答】解：由函数y=f(x)的导函数f(x)的图象知，当x1及3x5时，f(x)0，f(x)单调递减；当1x5时，f(x)0，f(x)单调递增，所以f(x)的单调递减区间为(,1)和(3,5)，单调递增区间为(1,3)和(5,+)，所以f(x)在x=1，5处取得极小值，在x=3处
9、取得极大值，因此C是错误的.故选C.8.【答案】D【解答】解：A中，命题“若|x|=5，则x=5”的否命题为“若|x|5，则x5”，故A不正确；B中，由x25x6=0，解得x=1或x=6，所以“x=1是“x25x6=0”的充分不必要条件，故B不正确；C中，“x0R,3x02+2x010的否定是“xR,3x2+2x10，故C不正确；D中，命题“若x=y，则sinx=siny”为真命题，因此其逆否命题为真命题，D正确.故选D9.【答案】D【解答】解：设A(x,y)，因为右焦点为F(c,0)，点B(0,b)，线段BF与双曲线C的右支交于点A，BA=2AF，所以x=2c3，y=b3，A(2c3,b3)
10、，代入双曲线方程，可得49c2a219=1，所以b=62a，因为|BF|=4，所以c2+b2=16，所以a=2，b=6，所以双曲线C的方程为x24y26=1故选D.10.【答案】D【解答】解：由题意可知，直线l的斜率存在当直线的斜率为零时，由于0,3为抛物线的焦点，故应有|AB|=12，所以直线的斜率存在，且不为零，设直线l的方程为y=kx+3（k0），由 y=kx+3,x2=12y,消去x得，y2(12k2+6)y+9=0，所以y1+y2=12k2+6，所以|AB|=y1+y2+6=12k2+12=14，所以k=66，所以tan=66，所以sin=77故选D11.【答案】A【解答】解：由题易
11、知切点为原点，又fx=lnx+1的导函数fx=1x+1，故f0=10+1=1，ba=1，则ba=1，又c2a2a2=1，则e=2.故选A12.【答案】B【解答】解：先讨论当点P在椭圆上时，F1PF2最大时，点P的位置cosF1PF2=|PF1|2+|PF2|2|F1F2|22|PF1|PF2|=|PF1|+|PF2|22|PF1|PF2|4c22|PF1|PF2|=4a22|PF1|PF2|4c22|PF1|PF2|=4b22|PF1|PF2|24b22(|PF1|+|PF2|2)22=2b2a22,当且仅当|PF1|=|PF2|时取得等号，即当点P在椭圆的短轴的端点上时，cosF1PF2最小
12、，此时F1PF2最大要使得椭圆C上存在点P满足F1PF2=90，则只需F1PF2最大时的值大于等于90如图设椭圆的一个短轴的端点为B，即只需F1BO45当椭圆的焦点在x轴上时，c=8m,由题意可得8mmtan45,0m8,解得，08,解得，m16故选B二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ） 13.【答案】2m2【解答】解：由p为假命题可知，p为真命题，则=m24110，解得2m2.故答案为：2m2.14.【答案】0,+【解答】解：由题意f(x)=x2+2mx=x(x+2m)，令f(x)=0，解得x1=0，x2=2m.因为x=0是fx在1,+)上的极小值点，所以x=
13、2m0.故答案为：0,+.15.【答案】11【解答】解：联立y=2x2与y2=8x得，x24x+1=0，设Ax1,y1，Bx2,y2，由已知F2,0，则x1+x2=4，x1x2=1，y1y2=2x122x22=8，则FAFB=x12x22+y1y2=11故答案为：11.16.【答案】1【解答】解：设Ax1,y1，Bx2,y2，Dx0,y0，则x1+x2=2x0，y1+y2=2y0，x12y128=1，x22y228=1,两式相减得x1x2x1+x2=y1+y2y1y28，整理可得x1x2y1y2=y08x0，即1kAB=kOD8，同理得1kBC=kOE8，1kAC=kOF8.因为kOD+kOE
14、+kOF=8，所以1kAB+1kBC+1kAC=1.故答案为：1.三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，共计70分 ） 17.【答案】解：(1)由题可知4m20，所以实数m的取值范围为2m0表示焦点在y轴上的椭圆，所以0m3，当p为真，q为假时，2m2，m0或m3，解得2m0；当p为假，q为真时，m2或m2，0m3，解得2m0，所以实数m的取值范围为2m0表示焦点在y轴上的椭圆，所以0m3，当p为真，q为假时，2m2，m0或m3，解得2m0；当p为假，q为真时，m2或m2，0m3，解得2m3.综上，实数m的取值范围为：(2,02,3).18.【答案】解：(1)当a=1时，由x24x+30得1x
15、3，即p:1x0，解得2x3，x2或x4，即2x3，即q:2x3. 命题p和命题q均为真命题，即x满足2x3，1x3，即2x3.(2) p是q的必要不充分条件， q是p的充分不必要条件，由p知，A=x|ax0，由q知，B=x|23，即a1，a2，即1a2，即实数a的取值范围是(1,2.【解答】解：(1)当a=1时，由x24x+30得1x3，即p:1x0，解得2x3，x2或x4，即2x3，即q:2x3. 命题p和命题q均为真命题，即x满足2x3，1x3，即2x3.(2) p是q的必要不充分条件， q是p的充分不必要条件，由p知，A=x|ax0，由q知，B=x|23，即a1，a2，即1a2，即实数
16、a的取值范围是(1,2.19.【答案】解：(1)fx=6x230x+36=6x2x3，令fx=0，得x1=2，x2=3，当x变化时fx，fx的变化情况如下表：x,222,333,+fx+00+fx极大值极小值 fx的极大值是f2=28+a，极小值是f3=27+a.(2)结合(1)中fx的单调性，当x时fx；当x+时fx+，y=fx的图像与x轴仅有一个交点，则有f2=28+a0，解得a27. a的取值范围是,2827,+【解答】解：(1)fx=6x230x+36=6x2x3，令fx=0，得x1=2，x2=3，当x变化时fx，fx的变化情况如下表：x,222,333,+fx+00+fx极大值极小值
17、 fx的极大值是f2=28+a，极小值是f3=27+a.(2)结合(1)中fx的单调性，当x时fx；当x+时fx+，y=fx的图像与x轴仅有一个交点，则有f2=28+a0，解得a27. a的取值范围是,2827,+20.【答案】解：(1)由题意：e=ca=63且94a2+14b2=1，又a2=b2+c2，解得a=3，b=1，c=2 曲线E的方程为x23+y2=1.(2)设Ax1,y1，Bx2,y2，联立x23+y2=1，y=kx+2，消去y并整理，得1+3k2x2+12kx+9=0， =12k2361+3k2=36k2360，即k21， x1+x2=12k1+3k2，x1x2=91+3k2，
18、x1x22=x1+x224x1x2=144k21+3k22361+3k2=36k211+3k22.又原点到直线l:y=kx+2的距离d=21+k2， SAOB=12|AB|d=121+k2|x1x2|21+k2=|x1x2|.令t=k2，则t1， S2=x1x22=36t11+3t2=36t19t2+6t+1=36t19t12+24t1+16=369t1+16t1+24t1，当且仅当t1=43，即t=73时，Smax2=34，所以当k2=73，即k=213时，AOB的面积最大，最大为32.【解答】解：(1)由题意：e=ca=63且94a2+14b2=1，又a2=b2+c2，解得a=3，b=1，
19、c=2 曲线E的方程为x23+y2=1.(2)设Ax1,y1，Bx2,y2，联立x23+y2=1，y=kx+2，消去y并整理，得1+3k2x2+12kx+9=0， =12k2361+3k2=36k2360，即k21， x1+x2=12k1+3k2，x1x2=91+3k2， x1x22=x1+x224x1x2=144k21+3k22361+3k2=36k211+3k22.又原点到直线l:y=kx+2的距离d=21+k2， SAOB=12|AB|d=121+k2|x1x2|21+k2=|x1x2|.令t=k2，则t1， S2=x1x22=36t11+3t2=36t19t2+6t+1=36t19t1
20、2+24t1+16=369t1+16t1+24t1，当且仅当t1=43，即t=73时，Smax2=34，所以当k2=73，即k=213时，AOB的面积最大，最大为32.21.【答案】解：(1)因为gx=fx=2ax+a2e2x，所以gx=2a4e2x=22e2xa，当a0时，gx0时，令gx0，则x12lna2，令gx12lna2，所以gx在(,12lna2)上单调递增，在12lna2,+)上单调递减综上所述，当a0时，gx在R上单调递减；当a0时，gx在,12lna2上单调递增，在12lna2,+)上单调递减(2)fx=2ax+a2e2x=a2x+12e2x=2x+1a2e2x2x+1,f0
21、=0，令fx=0，得a=2e2x2x+1，设x=2e2x2x+1，则x=8xex2x+12，当x0时，x0，(x)在0,+上单调递增，所以(x)在0,+上的值域是2,+，即2e2x2x+12，当a2时，fx=0没有实根，且fx0，fx在0,+上单调递减，fx2时，0=20，fx在0,x0上单调递增，fxf0=0，不符合题意综上所述，a2，即a的取值范围为(,2.【解答】解：(1)因为gx=fx=2ax+a2e2x，所以gx=2a4e2x=22e2xa，当a0时，gx0时，令gx0，则x12lna2，令gx12lna2，所以gx在(,12lna2)上单调递增，在12lna2,+)上单调递减综上所
22、述，当a0时，gx在R上单调递减；当a0时，gx在,12lna2上单调递增，在12lna2,+)上单调递减(2)fx=2ax+a2e2x=a2x+12e2x=2x+1a2e2x2x+1,f0=0，令fx=0，得a=2e2x2x+1，设x=2e2x2x+1，则x=8xex2x+12，当x0时，x0，(x)在0,+上单调递增，所以(x)在0,+上的值域是2,+，即2e2x2x+12，当a2时，fx=0没有实根，且fx0，fx在0,+上单调递减，fx2时，0=20，fx在0,x0上单调递增，fxf0=0，不符合题意综上所述，a2，即a的取值范围为(,2.22.【答案】解：(1)设N到直线x=12的距
23、离为d. d=|MN|12， N到直线x=1的距离等于N到M(1,0)的距离.由抛物线的定义可知，N的轨迹C为抛物线， 轨迹C的方程为y2=4x.(2)设直线l的方程为x+12=my+12，即2x2my+1m=0. A，B与Q点不重合， m35.设直线QA，QB的斜率分别为k1和k2，k1+k2=，点A(x1,y1)，B(x2，y2)，联立2x2my+1m=0，y2=4x,消去x，得y24my+22m=0，则y1+y2=4m，y1y2=22m，由=(4m)24(22m)0，解得m12，且m35.因为k1=y12x11=y1212(2my1+m1)1=2(y12)2my1+m3，同理可得k2=2
24、(y22)2my2+m3，所以=k1+k2=2(y12)2my1+m3+2(y22)2my2+m3=24my1y23(m+1)(y1+y2)4(m3)4m2y1y2+2m(m3)(y1+y2)+(m3)2=24m(22m)3(m+1)4m4(m3)4m2(22m)+2m(m3)4m+(m3)2=8(5m22m+3)3(5m22m+3)=83，所以直线QA，QB的斜率之和为定值83【解答】解：(1)设N到直线x=12的距离为d. d=|MN|12， N到直线x=1的距离等于N到M(1,0)的距离.由抛物线的定义可知，N的轨迹C为抛物线， 轨迹C的方程为y2=4x.(2)设直线l的方程为x+12=
25、my+12，即2x2my+1m=0. A，B与Q点不重合， m35.设直线QA，QB的斜率分别为k1和k2，k1+k2=，点A(x1,y1)，B(x2，y2)，联立2x2my+1m=0，y2=4x,消去x，得y24my+22m=0，则y1+y2=4m，y1y2=22m，由=(4m)24(22m)0，解得m12，且m35.因为k1=y12x11=y1212(2my1+m1)1=2(y12)2my1+m3，同理可得k2=2(y22)2my2+m3，所以=k1+k2=2(y12)2my1+m3+2(y22)2my2+m3=24my1y23(m+1)(y1+y2)4(m3)4m2y1y2+2m(m3)(y1+y2)+(m3)2=24m(22m)3(m+1)4m4(m3)4m2(22m)+2m(m3)4m+(m3)2=8(5m22m+3)3(5m22m+3)=83，所以直线QA，QB的斜率之和为定值83