1、2006年北京市崇文区高三统一练习数学（理）试题第一卷（选择题，共40分）一. 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1. 已知向量a（5，3），b（2，x），且a/b，则x的值是 A. B. C. D. 2. 已知集合，则p是q的 A. 充分条件，但不是必要条件 B. 必要条件，但不是充要条件 C. 充分必要条件 D. 既不是充分条件，也不是必要条件 3. 椭圆上的一点P到左焦点的距离为1，则它到相对应的准线的距离为 A. B. C. 1D. 4. 如果复数（）的实部和虚部互为相反数，则b等于 A. 0B. 1C. -1D. 2 5
2、. 已知直线m、n及平面、，则下列命题正确的是 A. B. C. D. 6. 欲对某商场作一简要审计，通过检查发票及销售记录的2来快速估计每月的销售总额。现采用如下方法：从某本25张的发票存根中随机抽一张，如15号，然后按序往后将40号，65号，90号，发票上的销售额组成一个调查样本。这种抽取样本的方法是 A. 简单随机抽样B. 系统抽样 C. 分层抽样D. 其它方式的抽样 7. 已知是第二象限角，则的值为 A. 7B. C. D. 8. 函数和的定义域为a，b，若对任意的，总有，则称可被“置换”。下列函数中，能置换函数，的是 A. ， B. ， C. ， D. ，第二卷（共110分）二. 填
3、空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。 9. 若，则目标函数的最小值为_ 10. 函数取得最大值时，自变量x的集合是_ 11. 小明上楼梯每步可以登一级或两级台阶，若小明上有四级台阶的楼梯，则有_种不同的走法。 12. 若展开式的第三项为168，则x_ 13. 已知，x表示不大于x的最大整数，如，则_；使成立的x的取值范围是_ 14. 双曲线的左、右焦点为F1、F2，则左焦点F1到渐进线的距离为_，若双曲线上一点P使得为锐角，则P点横坐标的取值范围是_。三. 解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15. 本小题共12分 已知一次
4、函数 （I）当时，解不等式； （II）当函数的最大值为4，求实数a的值。 16. （本小题共14分） 如图，直三棱柱ABCABC中，CB平面ABBA，点E是棱BC的中点，ABBCAA （I）求证直线CA/平面ABE； （II）求二面角CABB的大小； （III）求直线CA与平面BBCC所成角的大小。 17. （本小题共13分） 已知数列满足， （I）求证：数列的通项公式为 （II）求数列的前n项和Tn； （III）是否存在无限集合M，使得当时，总有成立。若存在，请找出一个这样的集合；若不存在，请说明理由。 18. （本小题共13分） 某足球赛事中甲乙两中球队进入决赛，但乙队明显处于弱势，乙队为
5、争取胜利决定采取这样的战术：顽强防守，0：0逼平甲队，进入点球大战。现规定：点球大战中每队各出5名队员，且每名队员都踢一球，假设在点球大战中双方每名运动员进球概率均为。求： （I）乙队踢进4个球的概率有多大？ （II）5个点球过后是4：4或5：5平局的概率有多大？ 19. （本小题共14分） 已知是定义在R上的函数，在1，0和4，5上是减函数，在0，2上是增函数。 （I）求c的值； （II）求a的取值范围； （III）在函数的图象上是否存在一点M（x0，y0），使得曲线在点M处的切线的斜率为3，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由。 20. （本小题共14分） 过抛物线的焦点F作直线交抛
6、物线于A、B两点，O为坐标原点 （I）证明：是钝角三角形； （II）求面积的最小值； （III）过A点作抛物线的切线交y轴于点C，求线段AC中点M的轨迹方程。2006年北京市崇文区高三统一练习数学（理）试题答案一. 选择题 1. C2. B3. B4. A5. D6. B 7. C8. A二. 填空题 9. 4 10. ， 11. 8 12. 13. 2 14. 4，或三. 解答题 15. 解：（I）若a3，则 不等式的解集为4分 （II） 当a0时，不等式的解集为 当a0时，不等式的解集为9分 （III） 又 所以，13分 16. 证明：（I）平面PAD平面ABCD，AD为交线，CDAD 平
7、面PAD 平面PAD 又为正三角形，E为PD中点 平面PCD5分 （II）作PQ/AB且PQAB，连QB、QC可得ADBCBQAPDPCQ 平面PAD，所以 是平面PAB与平面PDC所成二面角的平面角 平面PAB与平面PDC所成二面角的大小为6010分 （III）作，则F为QC中点，连PF 四边形AEFB是平行四边形，BF/AE 平面PDC 平面PDC 是BP与平面PDC所成的角 设PAa，则， 则由直三角形PFB可得 直线PB与平面PDC所成角的大小为14分 17. 解：（I）乙队以4：3点球取胜的概率为 6分 （II）乙队在五个点球中得分的概率分布和数学期望012345P1/21015/2
8、1045/29135/29405/210243/210 数学期望 13分 18. 证明：（I）由 得 二式相减得 叠乘得：7分 （II） 10分 （III）令 得： 故满足条件的M存在，是一个这样的集合12分 19. 解：（I）设A（x1，y1），B（x2，y2），AB方程 由，得 为钝角，为钝角三角形5分 （II）由（I）， 当k0时取等号 面积的最小值是9分 （III）解法一 由，得 过点A的抛物线的切线方程为 令x0，得 线段AC中点M为（x，0） 点M的轨迹方程为14分 解法二 设过点A的切线方程为 由得 令 解得 切线方程为 令x0，得 线段AC中点M为（x，0） 点M的轨迹方程为1
9、4分 20. 解：（II）原函数图象与其反函数图象的交点不一定在直线yx上2分 （III）证明：设点（a，b）是的图象与其反函数图象的任一交点，由于原函数与反函数图象关于直线yx对称，则点（b，a）也是的图象与其反函数图象的交点，且有 若ab时，交点显然在直线上 若ab且是增函数时，有，从而有ba，矛盾；若ba且是增函数时，有，从而有ab，矛盾 若ab且是减函数，有，从而ab成立，此时交点不在直线yx上；同理，ba且是减函数时，交点也不在直线yx上。 综上所述，如果函数是增函数，并且的图象与其反函数的图象有交点，则交点一定在直线上； 如果函数是减函数，并且的图象与其反函数的图象有交点，则交点不一定在直线yx上。14分
