1、第二节空间几何体的表面积与体积最新考纲考情分析核心素养1.了解球、柱、锥、台的表面积和体积的计算公式，并掌握空间几何体的表面积与体积的计算方法.2.理解空间图形转化为平面图形的思想，了解柱、锥、台体的侧面展开图的特征.2021年高考主要考查空间几何体的表面积、体积及与球有关的切接问题，多为选择题、填空题，分值为5分.1.直观想象2.数学运算知识梳理1柱、锥、台和球的侧面积和体积面积体积圆柱S侧2rhVShr2h圆锥S侧rlVShr2hr2圆台S侧(r1r2)lV(S上S下)h(rrr1r2)h直棱柱S侧ChVSh正棱锥S侧ChVSh正棱台S侧(CC)hV(S上S下)h球S球面4R2VR32.几
2、何体的表面积(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和常用结论1设正方体的棱长为a，则它的内切球半径r，外接球半径Ra.2设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则它的外接球半径R.3设正四面体的棱长为a，则它的高为a，内切球半径ra，外接球半径Ra.4直棱柱的外接球半径可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，可知球心为上下底面外接圆圆心连线的中点，再根据勾股定理求得基础自测一、疑误辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)多面体的表面积等于各个面的面积之和()(2)锥体的体积等于
3、底面积与高之积()(3)球的体积之比等于半径比的平方()(4)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差()(5)长方体既有外接球又有内切球()(6)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2S.()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)二、走进教材2(必修2P27练习1改编)已知圆锥的表面积等于12 cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为()A1 cmB2 cmC3 cmD cm答案：B3(必修2P27例4改编)圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的体积与圆柱的体积比V球V柱为()A12B23C34D13答案：B三、易错自纠4已知某几何体的
4、三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是()A84 cm3B92 cm3C100 cm3D108 cm3解析：选C由三视图可得该几何体是棱长分别为6，3，6的长方体截去一个三条侧棱两两垂直，且长度分别为3，4，4的三棱锥，所以该几何体的体积是6634431088100(cm3)5将一个相邻边长分别为4，8的矩形卷成一个圆柱，则这个圆柱的表面积是()A402B642C322或642D3228或32232解析：选D当底面周长为4时，底面圆的半径为2，两个底面的面积之和是8；当底面周长为8时，底面圆的半径为4，两个底面的面积之和为32.无论哪种方式，侧面积都是矩形的面积322.故所求的表面积
5、是3228或32232.6.如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为_解析：设长方体的相邻三条棱长分别为a，b，c，它截出棱锥的体积V1abcabc，剩下的几何体的体积V2abcabcabc，所以V1V2147.答案：147|题组突破|1(2019届黄冈模拟)已知一几何体的三视图如图所示，它的侧视图与正视图相同，则该几何体的表面积为()A1612B3212C2412D3220解析：选A由三视图知，该几何体是一个正四棱柱与半球的组合体，且正四棱柱的高为，底面对角线长为4，球的半径为2，所以该正四棱柱的底面正方形的边长为2，该几何体的表面积S
6、42222241216.2(2018年全国卷)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为()A12B12C8D10解析：选B由题意知，圆柱的轴截面是一个面积为8的正方形，则圆柱的高与底面直径均为2.设圆柱的底面半径为r，则2r2，解得r.所以圆柱的表面积S圆柱2r22rh2()2224812.3.如图所示的几何体是从棱长为2的正方体中截去一个到正方体的某个顶点的距离均为2的几何体后的剩余部分，则该几何体的表面积为()A243B24C24D245解析：选B由题意知该几何体是从棱长为2的正方体中截去以正方体某个顶点为球心
7、，2为半径的球后的剩余部分，则其表面积S62232242224.故选B名师点津求空间几何体表面积的常见类型及思路求多面体的表面积只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积求旋转体的表面积可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系求不规则几何体的表面积通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积|题组突破|4圆柱的轴截面是正方形，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为()ABC
8、D解析：选A根据题意可知球的半径R1，则易得圆柱的高h，圆柱的底面半径r，所以V圆柱r2h.故选A5.(2019年江苏卷)如图，长方体ABCDA1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥EBCD的体积是_解析：因为长方体ABCDA1B1C1D1的体积是120，所以CC1S四边形ABCD120.又E是CC1的中点，所以三棱锥EBCD的体积VEBCDECSBCDCC1S四边形ABCD12010.答案：106(2019年全国卷)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型如图，该模型为长方体ABCDA1B1C1D1挖去四棱锥OEFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H
9、分别为所在棱的中点，ABBC6 cm，AA14 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为_g.解析：由题易得长方体ABCDA1B1C1D1的体积为664144(cm3)，四边形EFGH为平行四边形，如图所示，连接GE，HF，易知四边形EFGH的面积为矩形BCC1B1面积的一半，即为6412(cm2)，所以V四棱锥OEFGH31212(cm3)，所以该模型的体积为14412132(cm3)，所以制作该模型所需原料的质量为1320.9118.8(g)答案：118.87(2019年北京卷)某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示如果
10、网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为_解析：如图所示的正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为4，去掉四棱柱MQD1A1NPC1B1(其底面是一个上底为2，下底为4，高为2的直角梯形)所得的几何体为题中三视图对应的几何体，故所求几何体的体积为43(24)2440.答案：40名师点津求空间几何体体积的常见类型及思路规则几何体若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解其中，求三棱锥的体积常用等体积转换法不规则几何体若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解三视图形式若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三
11、视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解与球有关的切接问题是立体几何中的难点，也是高考的常见题型常见的命题角度有：(1)几何体的内切球问题；(2)几何体的外接球问题命题角度一几何体的内切球问题【例1】(1)(2019届重庆七校联考)已知正三棱锥的高为6，内切球(与四个面都相切)的表面积为16，则其底面边长为()A18B12C6D4(2)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是_解析(1)如图，由题意知，球心在三棱锥的高PE上，E为正ABC的中心，设内切球的半径为R，则S球4R216，所以R2，所以OEOF2，OP
12、4.在RtOPF中，PF2.因为OPFDPE，所以，得DE2.由题意知，正三棱锥的体高落在正三角形的重心处，所以AD3DE6，ABAD12.故选B(2)设圆柱内切球的半径为R，则由题设可得圆柱O1O2的底面圆的半径为R，高为2R，故.答案(1)B(2)名师点津处理与球有关内切问题的策略解答此类问题时首先要找准切点，通过作截面来解决如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作命题角度二几何体的外接球问题【例2】(2019年全国卷)已知三棱锥PABC的四个顶点在球O的球面上，PAPBPC，ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，CEF90，则球O的体积为()A8
13、B4C2D解析因为点E，F分别为PA，AB的中点，所以EFPB因为CEF90，所以EFCE，所以PBCE.取AC的中点D，连接BD，PD，易证AC平面BDP，所以PBAC，又ACCEC，AC，CE平面PAC，所以PB平面PAC，所以PBPA，PBPC因为PAPBPC，ABC为正三角形，所以PAPC，即PA，PB，PC两两垂直，将三棱锥PABC放在正方体中如图所示因为AB2，所以该正方体的棱长为，所以该正方体的体对角线长为，所以三棱锥PABC的外接球的半径R，所以球O的体积VR3，故选D答案D名师点津1把一个多面体的各个顶点放在球面上即为球的外接问题解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多
14、面体的顶点的距离等于球的半径2常见的几种几何体的外接球问题(1)如果三棱锥的三条侧棱两两垂直并且相等，那么可以补形为一个正方体，正方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心(2)如果三棱锥的三条侧棱两两垂直但不相等，那么可以补形为一个长方体，长方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心(3)如果四面体的三对对棱分别相等，那么可以补形为一个长方体，长方体的外接球的球心就是四面体的外接球的球心|跟踪训练|1(2019届合肥市质检)已知一个圆锥底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内切球的表面积为()ABC2D3解析：选C依题意，作出圆锥与球的轴截面，如图所示，设球的半径为r，易知轴截面三角形SAB边A
15、B上的高为2，因此，解得r，所以圆锥内切球的表面积为42，故选C2(2020届石家庄摸底)已知正三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，棱锥的底面是边长为2的正三角形，侧棱长为2，则球O的表面积为()A25B20C16D30解析：选A如图，延长SO交球O于点D，设ABC的外心为E，连接AE，AD，由正弦定理得2AE4，AE2，易知SE平面ABC，由勾股定理可知，三棱锥SABC的高SE4，由于点A是以SD为直径的球O上一点，SAD90，由射影定理可知，球O的直径2RSD5，因此，球O的表面积为4R2(2R)225.故选A【例】(2019届沈阳市第一次质量监测)如图，四棱锥PABCD的底面为矩形
16、，矩形的四个顶点A，B，C，D在球O的同一个大圆上，且球的表面积为16，点P在球面上，则四棱锥PABCD的体积的最大值为()A8BC16D解析设球的半径为R，由题知4R216，则R2，再设大圆内的矩形长、宽分别为x，y，由题知x2y216，则矩形面积xy8，当且仅当xy时取等号，即底面为正方形时，底面面积最大又四棱锥PABCD的高的最大值为2，故四棱锥PABCD体积的最大值为82，故选D答案D名师点津与空间几何体有关的最值问题，多通过在条件中把目标函数转化为函数最值问题，再通过二次函数、基本不等式或导数求最值|跟踪训练|(2019届重庆市第一次调研)三棱锥SABC中，SA，SB，SC两两垂直，已知SAa，SBb，SC2，且2ab，则此三棱锥的外接球的表面积的最小值为()ABC4D6解析：选A由题意，设三棱锥的外接球的半径为R，因为SA，SB，SC两两垂直，所以以SA，SB，SC为棱构造长方体，其体对角线即为三棱锥的外接球的直径因为SAa，SBb，SC2，所以4R2a2b24a245(a1)2，所以当a1时，(4R2)min，所以三棱锥的外接球的表面积的最小值为，故选A
