1、第3节基本不等式：考试要求1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.知 识 梳 理1.基本不等式：(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当ab时取等号.(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数.2.几个重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)，当且仅当ab时取等号.(2)ab(a，bR)，当且仅当ab时取等号.(3)(a，bR)，当且仅当ab时取等号.(4)2(a，b同号)，当且仅当ab时取等号.3.利用基本不等式求最值已知x0，y0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值是2(简
2、记：积定和最小).(2)如果和xy是定值s，那么当且仅当xy时，xy有最大值是(简记：和定积最大).常用结论与易错提醒1.对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，例如：ab，(a0，b0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件.2.使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可.3.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致.4.基本不等式的一般形式：(a1a2a3an)(其中a1，a2，a3，an(0，)，当且仅当a1a2a3an时等号成立).诊 断 自 测1.判断下列说法的正误.(1)当a0，b0时，.()(2)两
3、个不等式a2b22ab与成立的条件是相同的.()(3)函数yx的最小值是2.()(4)函数f(x)sin x的最小值为4.()(5)x0且y0是2的充要条件.()解析(2)不等式a2b22ab成立的条件是a，bR；不等式成立的条件是a0，b0.(3)函数yx值域是(，22，)，没有最小值.(4)函数f(x)sin x无最小值.(5)x0且y0是2的充分不必要条件.答案(1)(2)(3)(4)(5)2.设x0，y0，且xy18，则xy的最大值为()A.80 B.77 C.81 D.82解析xy81，当且仅当xy9时取等号.答案C3.若直线1(a0，b0)过点(1，1)，则ab的最小值等于()A.
4、2 B.3 C.4 D.5解析因为直线1(a0，b0)过点(1，1)，所以1.所以ab(ab)2224，当且仅当ab2时取“”，故选C.答案C4.若函数f(x)x(x2)在xa处取最小值，则a()A.1 B.1 C.3 D.4解析当x2时，x20，f(x)(x2)2224，当且仅当x2(x2)，即x3时取等号，即当f(x)取得最小值时，即a3，选C.答案C5.(必修5P100A2改编)一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，则这个矩形的长为_m，宽为_m时菜园面积最大.解析设矩形的长为x m，宽为y m.则x2y30，所以Sxyx(2y)，当且仅当x2y，即x15，y时
5、取等号.答案156.已知正数x，y满足xy1，则xy的取值范围为_，的最小值为_.解析正数x，y满足xy1，y1x，0x1，y1x，xy2x1，又0x1，02x2，12x10且x0，解得0x1)的最小值为_.(2)当x0时，x(a0)的最小值为3，则实数a的值为_.解析(1)y(x1)222.当且仅当x1，即x1时，等号成立.(2)因为当x0，a0时，xx1121，当且仅当x1时，等号成立，又x(a0)的最小值为3，所以213，解得a4.答案(1)22(2)4考点二常数代换或消元法求最值 易错警示【例2】 (1)(2020浙江“超级全能生”联考)已知正数x，y满足xy1，则的最小值是()A.
6、B. C. D.(2)(一题多解)已知x0，y0，x3yxy9，则x3y的最小值为_.解析(1)xy1，2x22y15，(2x22y1)，当且仅当2x24y24x4y10时等号成立，故选C.(2)由已知得x.法一(消元法)因为x0，y0，所以0y3，所以x3y3y3(y1)6266，当且仅当3(y1)，即y1，x3时，(x3y)min6.法二x0，y0，9(x3y)xyx(3y)，当且仅当x3y时等号成立.设x3yt0，则t212t1080，(t6)(t18)0，又t0，t6.故当x3，y1时，(x3y)min6.答案(1)C(2)6规律方法条件最值的求解通常有三种方法：一是消元法，即根据条件
7、建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值；三是对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解.易错警示(1)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件；(2)尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致.【训练2】 (1)(一题多解)若正数x，y满足x3y5xy，则3x4y的最小值为_.(2)已知正数x，y满足2xy2，则当x_时，y取得最小值为_.解析(1)法一由x3y5xy可得1，3x4y(3x4y)5(当且仅当，即x1，y时，等号成立)，3x4y的最
8、小值是5.法二由x3y5xy，得x，x0，y0，y，3x4y4y4y425，当且仅当x1，y时等号成立，(3x4y)min5.(2)x，y为正数，则2xy2y22x00x1，所以(22x)2x222，当且仅当2x，即x时等号成立.答案(1)5(2)22考点三一般形式的基本不等式的应用(选用)【例3】 (一题多解)(2018全国卷)已知函数f(x)2sin xsin 2x，则f(x)的最小值是_.解析法一因为f(x)2sin xsin 2x，所以f(x)2cos x2cos 2x4cos2x2cos x24(cos x1)，由f(x)0得cos x1，即2kx2k，kZ，由f(x)0得1cos
9、x，即2kx2k或2kx2k，kZ，所以当x2k(kZ)时，f(x)取得最小值，且f(x)minf2sinsin 2.法二因为f(x)2sin xsin 2x2sin x(1cos x)4sincos2cos28sincos3，所以f(x)23sin2cos6，当且仅当3sin2cos2，即sin2时取等号，所以0f(x)2，所以f(x)，所以f(x)的最小值为.法三因为f(x)2sin xsin 2x2sin x(1cos x)，所以f(x)24sin2x(1cos x)24(1cos x)(1cos x)3，设cos xt，则y4(1t)(1t)3(1t1)，所以y4(1t)33(1t)(
10、1t)24(1t)2(24t)，所以当1t0；当t1时，y0，而(sin2 cos )24cos24，当且仅当sin2cos2，即cos ，时等号成立.sin2 cos 的最大值为.(2)证明因为a，b，c为正数且abc1，故有(ab)3(bc)3(ca)333(ab)(bc)(ca)3(2)(2)(2)24.当且仅当abc1时，等号成立，所以(ab)3(bc)3(ca)324.基础巩固题组一、选择题1.下列不等式一定成立的是()A.lglg x(x0)B.sin x2(xk，kZ)C.x212|x|(xR)D.1(xR)解析当x0时，x22xx，所以lglg x(x0)，故选项A不正确；运用
11、基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”，当xk，kZ时，sin x的正负不定，故选项B不正确；显然选项C正确；当x0时，有1，选项D不正确.答案C2.(2019诸暨期末)已知a2b1(a0，b0)，则的最小值等于()A.4 B.22C. D.21解析由题意得22222，当且仅当ab1时，等号成立，所以的最小值为22，故选B.答案B3.若正数x，y满足4x29y23xy30，则xy的最大值是()A. B. C.2 D.解析由x0，y0，得4x29y23xy2(2x)(3y)3xy(当且仅当2x3y时等号成立)，12xy3xy30，即xy2，当且仅当x，y时取等号，xy的最大值为2.答案C4
12、.已知a0，b0，ab，则的最小值为()A.4 B.2 C.8 D.16解析由a0，b0，ab，得ab1，则22.当且仅当，即a，b时等号成立.故选B.答案B5.若a0，b0，且ab4，则下列不等式恒成立的是()A. B.1C.2 D.a2b28解析4ab2(当且仅当ab时，等号成立)，即2，ab4，选项A，C不成立；1，选项B不成立；a2b2(ab)22ab162ab8，选项D成立.答案D6.若实数a，b满足，则ab的最小值为()A. B.2 C.2 D.4解析依题意知a0，b0，则2，当且仅当，即b2a时，“”成立.因为，所以，即ab2(当且仅当a2，b2时等号成立)，所以ab的最小值为2
13、，故选C.答案C7.已知a，b，c，d0，abcd2，则(a2c2)(b2d2)的最大值是()A.4 B.8 C.16 D.32解析4，(a2c2)(b2d2)16，当ad2，bc0或bc2，ad0时取到等号，故选C.答案C8.(2019台州期末评估)已知实数a，b满足a2b24，则ab的取值范围是()A.0，2B.2，0C.(，22，)D.2，2解析a2b24，根据基本不等式得4a2b22|ab|，|ab|2，2ab2，ab的取值范围是2，2，故选D.答案D9.已知xy8(x，y0)，则xy的最小值为()A.5 B.9C.4 D.10解析由xy8得xy8，则(xy8)(xy)(xy)5529
14、，当且仅当，即y2x时，等号成立，令txy，所以(t8)t9，解得t1或t9，因为xy0，所以xy9，所以xy的最小值为9，故选B.答案B二、填空题10.(2019天津卷)设x0，y0，x2y5，则的最小值为_.解析x0，y0，0.x2y5，224，当且仅当2，即x3，y1或x2，y时取等号.的最小值为4.答案411.(2020镇海中学模拟)已知a，b(0，)且a2b3，则的最小值是_.解析因为a，b0，且a2b3，所以23，当且仅当，即ab1时取等号.答案312.(2018江苏卷)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，ABC120，ABC的平分线交AC于点D，且BD1，则4ac的
15、最小值为_.解析因为ABC120，ABC的平分线交AC于点D，所以ABDCBD60，由三角形的面积公式可得acsin 120a1sin 60c1sin 60，化简得acac，又a0，c0，所以1，则4ac(4ac)5529，当且仅当c2a时取等号，故4ac的最小值为9.答案913.若正数a，b满足：1，则的最小值为_.解析正数a，b满足1，abab，10，10，b1，a1，则226(当且仅当a，b4时等号成立)，的最小值为6.答案614.(一题多解)若实数x，y，z满足x2y3z1，x24y29z21，则z的最小值是_.解析法一因为19z2(x2y)22x2y(x2y)22，又x2y13z，则
16、19z2(13z)2，解得z，即z的最小值为.法二由x2(2y)219z2，设xcos ，2ysin ，则13z(cos sin )sin，由三角函数的有界性，得|13z|，解得z，即z的最小值为.答案能力提升题组15.设正实数x，y，z满足x23xy4y2z0，则当取得最大值时，的最大值为()A.0 B.1 C. D.3解析由已知得zx23xy4y2，(*)则1，当且仅当x2y时取等号，把x2y代入(*)式，得z2y2，所以11.答案B16.(2020金华一中月考)已知正实数a，b满足：ab1，则的最大值是()A.2 B.1C.1 D.1解析因为正实数a，b满足ab1，所以.令ta1(1，2
17、)，则原式1.当且仅当t，即ta1，a1，b2时取等号，故选C.答案C17.(一题多解)(2017北京卷改编)已知x0，y0，且xy1，则x2y2的最小值为_，最大值为_.解析法一x0，y0且xy1，2xy1，当且仅当xy时取等号，从而0xy，因此x2y2(xy)22xy12xy，所以x2y21.法二xy1，x0，y0，y1x，x0，1，x2y2x2(1x)22x22x12，对称轴为x，故x时，有最小值为，x0或x1时有最大值为1.法三可转化为线段AB上的点到原点距离平方的范围.AB上的点到原点距离的范围为，则x2y2的取值范围为.答案18.(2020杭州四中仿真)已知实数x，y，z满足则xy
18、z的最小值为_；此时z_.解析由xy2z1得z，则5x2y2z2x2y22|xy|，即x2y26xy190或x2y210xy190，解得52xy32，则xyzxy，则当xy52时，xyz取得最小值932，此时z2.答案932219.设ab2，b0，则当a_时，取得最小值为_.解析由于ab2，所以，由于b0，|a|0，所以21，因此当a0时，的最小值是1.当a0，且a2b2c210，则abacbc的最大值是_，abac2bc的最大值是_.解析因为abacbc10，当且仅当abc时取等号，又因为a2xb2ab(0x1)，a2yc2ac(0y1)，(1x)b2(1y)c22bc，令，即xy2，故此时有a2b2c2(1)(abac2bc)，即abac2bc55，当且仅当a()b()c时取等号.答案1055
