1、课时作业40空间几何体的表面积与体积1(2019湖南五市十校联考)如图，小方格是边长为1的正方形，一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(D)A496 B(26)96C(44)64 D(44)96解析：由三视图知，该几何体为一个圆锥和一个正方体的组合体，正方体的棱长为4，圆锥的高为4，底面半径为2，所以该几何体的表面积S642222(44)96.2(2019福建质检)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，俯视图中的两条曲线均为圆弧，则该几何体的体积为(C)A64 B648C64 D64解析：由三视图可知该几何体是由棱长为4的正方体截去个圆锥和个圆柱所得到的，
2、且圆锥的底面半径为2，高为4，圆柱的底面半径为2，高为4，所以该几何体的体积为4364.故选C3(2015全国卷)已知A，B是球O的球面上两点，AOB90，C为该球面上的动点若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为(C)A36 B64C144 D256解析：SOAB是定值，且VO-ABCVC-OAB，当OC平面OAB时，VC-OAB最大，即VO-ABC最大设球O的半径为R，则(VO-ABC)maxR2RR336，R6，球O的表面积S4R2462144.4(2019河南濮阳一模)已知三棱锥A-BCD中，ABD与BCD是边长为2的等边三角形且二面角A-BD-C为直二面角，则三棱锥A-
3、BCD的外接球的表面积为(D)A B5C6 D解析：取BD中点M，连接AM，CM，取ABD，CBD的中心即AM，CM的三等分点P，Q，过P作平面ABD的垂线，过Q作平面CBD的垂线，两垂线相交于点O，则点O为外接球的球心，其中OQ，CQ，连接OC，则外接球的半径ROC，表面积为4R2，故选D5一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M是AB上的动点，记四面体EFMC的体积为V1，多面体ADF-BCE的体积为V2，则(B)A BC D解析：由三视图可知多面体ADF-BCE是直三棱柱，其底面是等腰直角三角形(直角边长为a)，且四边形DFEC与四边形ABCD都是正方形，它们的边长均为AM是AB上的动点
4、，且易知AB平面DFEC，点M到平面DFEC的距离等于点B到平面DFEC的距离，距离为a，V1VE-FMCVM-EFCaaa，又V2aaa，故.6某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为(A)A BC D解析：原工件是一个底面半径为1，高为2的圆锥，依题意加工后的新工件是圆锥的内接长方体，且落在圆锥底面上的面是正方形，设正方形的边长为a，长方体的高为h，则0a，0h2.于是，h2A令f(a)V长方体a2h2a2a3，f(a)4a3a2，当f(a)0时，a.易知f(a)maxf.材料利用率，故
5、选A7(2017全国卷)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为(B)A90 B63C42 D36解析：由三视图可知两个同样的几何体可以拼成一个底面直径为6，高为14的圆柱，所以该几何体的体积V321463，故选B8已知三棱锥O-ABC的顶点A，B，C都在半径为2的球面上，O是球心，AOB120，当AOC与BOC的面积之和最大时，三棱锥O-ABC的体积为(B)A BC D解析：设球O的半径为R，因为SAOCSBOCR2(sinAOCsinBOC)，所以当AOCBOC90时，SAOCSBOC取得最大值，此时OA
6、OCOBOC，OBOAO，OA，OB平面AOB，所以OC平面AOB，所以V三棱锥O-ABCV三棱锥C-OABOCOAOBsinAOBR3sinAOB，故选B9某组合体的三视图如图所示，则该组合体的体积为.解析：如图所示，该组合体由一个四棱锥和四分之一个球组成，球的半径为1，四棱锥的高为球的半径，四棱锥的底面为等腰梯形，上底为2，下底为1，高为，所以该组合体的体积V(21)113.10(2018全国卷)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30.若SAB的面积为8，则该圆锥的体积为8.解析：设圆锥底面半径为r，母线长为l，高为h，因为母线SA与底面所成的角为30，所以
7、lr.由SAB的面积为8得l28，即r28，所以r212，hr2.所以圆锥的体积为r2h1228.11(2019江西南昌二中模拟)在三棱锥S-ABC中，ABC是边长为3的等边三角形，SA，SB2，二面角S-AB-C的大小为120，则此三棱锥的外接球的表面积为21.解析：根据题意得SA2AB2SB2，即SAAB取AB的中点为D，SB的中点为M，连接CD、MD，得CDM为二面角S-AB-C的平面角，MDC120.如图，设三角形ABC的外心为O1，则O1在CD上，连接BO1，则CO1BO1，DO1.设外接球半径为R，易知球心为过M垂直面ABS的垂线与过O1垂直面ABC的垂线的交点O.在四边形MDO1
8、O中，二面角S-AB-C的平面角MDC120，且MOMD，O1ODO1，MDO1D，ODO160，OO1O1Dtan60，连接OB，R2OB2OOO1B23，球的表面积S4R221.12如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，ABBCAD，BADABC90.(1)证明：直线BC平面PAD；(2)若PCD的面积为2，求四棱锥P-ABCD的体积解：(1)证明：在平面ABCD内，因为BADABC90，所以BCAD又BC平面PAD，AD平面PAD，故BC平面PAD(2)取AD的中点M，连接PM，CM.由ABBCAD及BCAD，ABC90得四边形ABCM为正方形，则CMA
9、D因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以PMAD，PM底面ABCD因为CM底面ABCD，所以PMCM.设BCx，则CMx，CDx，PMx，PCPD2x.取CD的中点N，连接PN，则PNCD，所以PNx.因为PCD的面积为2，所以xx2，解得x2(舍去)或x2.于是ABBC2，AD4，PM2.所以四棱锥P-ABCD的体积V24.13九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈；上袤二丈，无广；高一丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊柱的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，高一丈，问它的体积是多少
10、？”已知1丈为10尺，现将该楔体的三视图给出，其中网格纸上小正方形的边长为1丈，则该楔体的体积为(A)A5 000立方尺 B5 500立方尺C6 000立方尺 D6 500立方尺解析：该楔体的直观图如图中的几何体ABCDEF.取AB的中点G，CD的中点H，连接FG，GH，HF，则该几何体的体积为四棱锥F-GBCH与三棱柱ADE-GHF的体积之和又可以将三棱柱ADE-GHF割补成高为EF，底面积为S31平方丈的一个直棱柱，故该楔体的体积V22315立方丈5 000立方尺14(2019深圳调研)如图所示，在平面四边形ABCD中，ABADCD1，BD，BDCD，将其沿对角线BD折成四面体ABCD，使
11、平面ABD平面BCD，若四面体ABCD的顶点在同一个球面上，则该球的体积为(A)A B3C D2解析：如图，取BD的中点为E，BC的中点为O，连接AE，OD，EO，AO.因为ABAD，所以AEBD由于平面ABD平面BCD，所以AE平面BCD因为ABADCD1，BD，所以AE，EO.所以OA.在RtBDC中，OBOCODBC，所以四面体ABCD的外接球的球心为O，半径为.所以该球的体积V3.15(2017全国卷)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径若平面SCA平面SCB，SAAC，SBBC，三棱锥S-ABC的体积为9，则球O的表面积为36.解析：如图所示，设SC2r，
12、取SC的中点O，连接AO，OB因为SAAC，SBBC，所以OASC，OBSC所以SSBCSCOB2rrr2.又因为平面SAC平面SBC，平面SAC平面SBCSC，OASC，所以OA平面SBC所以VS-ABCVA-SBCSSBCOAr39.解得r3，所以S表4r236.16(2019贵阳质检)如图，ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，DC平面ABC，AB2，EB.(1)求证：DE平面ACD；(2)设ACx，V(x)表示三棱锥B-ACE的体积，求函数V(x)的解析式及最大值解：(1)证明：四边形DCBE为平行四边形，CDBE，BCDE.DC平面ABC，BC平面ABC，DCBCAB是圆O的直径，BCAC，且DCACC，DC，AC平面ADC，BC平面ADCDEBC，DE平面ADC(2)DC平面ABC，BE平面ABC在RtABE中，AB2，EB.在RtABC中，ACx，BC(0x2)，SABCACBCx，V(x)V三棱锥E-ABCx(0x2)x2(4x2)24，当且仅当x24x2，即x时取等号，当x时，体积有最大值.
