1、数学试卷一、选择题(每小题5分,共60分1-10为单选题,11,12为多选题,多选题全对的5分,少选的2分,错选不得分)1.关于零向量,下列说法中错误的是 ( )A. 零向量是没有方向的B. 零向量的长度是0C. 零向量与任一向量平行D. 零向量的方向是任意的【答案】A【解析】【分析】根据零向量的概念,逐项判定,即可求解,得到答案【详解】由定义可得,零向量的长度为0,方向任意;且零向量与任意向量都平行,所以选项A错误,所以选项B,C,D正确,故选A【点睛】本题主要考查了零向量的概念的应用,其中解答中熟记零向量的概念是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于基础题2.若向量,满足,则
2、( )A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】C【解析】【分析】对条件,两边平方可得,从而可得结果.【详解】 ,.故选C【点睛】本题考查平面向量的数量积运算,考查向量模的性质,考查运算能力,属于基础题.3.复平面内,复数对应的点位于 ( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】由题设可知,故依据复数的实部与虚部的符号可知该复数对应的点位于第二象限,应选答案B4.在四边形ABCD中,若,则( )A. 是平行四边形B. 是菱形C. 是正方形D. 是矩形【答案】A【解析】【分析】由题意可得,据此结合向量相等的定义即可确定ABCD的形状.【详解】由题意得,即,BCA
3、D,且BC=AD,四边形ABCD一定是平行四边形.本题选择A选项.【点睛】本题主要考查向量运算,向量相等的定义等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5.设,则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用复数的四则运算法则将复数化为一般形式,利用复数的模长公式可求得的值.详解】,因此,.故选:D.【点睛】本题考查复数的计算,同时也考查了复数模长的计算,考查计算能力,属于基础题.6.已知复数满足,则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】结合复数的四则运算,化简计算z,即可【详解】,故选B.【点睛】考查了复数的四则运算,关键将z表示成的形式,即可,难度中等7
4、.向量,则与的值为( )A. 、B. 、C. 、D. 、【答案】D【解析】【分析】利用向量的坐标运算可得出关于、的方程组,即可解出这两个未知数的值.【详解】向量,即,所以,解得.故选:D.【点睛】本题考查利用向量的坐标运算求参数,考查运算求解能力,属于基础题.8.在中,若,则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】由向量的平行四边形法则,当时,所以,故选B9.已知向量,且,则实数( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】计算出的坐标,由得出,可得出关于的等式,即可解得结果.【详解】向量,则,解得.故选:A.【点睛】本题考查利用向量垂直求参数,考查向量数量积的坐标运
5、算,考查计算能力,属于基础题.10.ABC中,0,0,则该三角形为()A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定【答案】C【解析】为锐角,为钝角故选C11.已知向量是两个非零向量,在下列四个条件中,一定能使共线的是( )A. 且B. 存在相异实数,使C. (其中实数满足)D. 已知梯形其中【答案】AB【解析】【分析】利用向量共线的条件判断A的正误;利用平面向量共线定理判断B的正误;利用共线向量定理判断C的正误;利用梯形形状判断D的正误;【详解】对于A,向量是两个非零向量,且, ,此时能使共线,故A正确;对于B,存在相异实数,使,要使非零向量是共线向量,由共线定理即可成立,故
6、B正确;对于C,(其中实数满足)如果则不能使共线,故C不正确;对于D,已知梯形中, ,如果是梯形的上下底,则正确,否则错误;故选:AB【点睛】本题考查向量共线的定义、向量相等的定义以及它们之间的关系,考查共线向量、向量的模等概念,注意两个向量和为零,共线前提是非零向量才满足.12.在中,若,则的形状可能为( )A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 等边三角形【答案】ABCD【解析】【分析】根据正弦定理,将化简为:,故,即可求得答案.【详解】根据正弦定理 ,即. , 或即或,可能为:直角三角形,等腰三角形,等腰直角三角形,等边三角形.故选:ABCD.【点睛】本题考查了判断三角
7、形形状,解题关键是掌握正弦定理和正弦的二倍角公式,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.二、填空题(每题5分,共20分)13.已知复数,则的共轭复数是_【答案】【解析】【分析】利用复数的模长公式求出,并求出,利用共轭复数的定义可得出结果.【详解】,则,因此,的共轭复数是.故答案为:.【点睛】本题考查复数模长和共轭复数的计算,考查计算能力,属于基础题.14.在锐角三角形中,、分别为角、所对的边若,则_【答案】.【解析】【分析】利用正弦定理边角互化思想得出的值,结合角为锐角可得出角的值,再利用余弦定理可求得的值.【详解】,由正弦定理得,为锐角三角形,则,可得,.由余弦定理得,因此,.故答案为:.【
8、点睛】本题考查利用余弦定理解三角形,同时也考查了正弦定理边角互化思想的应用,考查计算能力,属于基础题.15.已知复数,且,则的最大值为_【答案】【解析】【分析】根据复数z的几何意义以及的几何意义,由图象得出最大值.【详解】复数且,复数z的几何意义是复平面内以点为圆心,为半径的圆.的几何意义是圆上的点与坐标原点连线的斜率由图可知:即的最大值为.故答案为:【点睛】本题主要考查了复数的几何意义的应用,属于中档题.16.已知向量,则_.【答案】【解析】【分析】根据向量夹角公式可求出结果.【详解】【点睛】本题考查了向量夹角运算,牢记平面向量的夹角公式是破解问题的关键三、解答题17.已知向量, (1)求;
9、(2)求满足的实数m,n;(3)若,求实数k.【答案】(1) (2) (3)【解析】【分析】(1)由已知向量的坐标即可求出的坐标; (2)把的坐标求出,再利用向量相等,即可求出实数,. (3)分别写出与的坐标,再利用向量平行的条件即可求得实数k.【详解】(1)(2), 解得(3),.【点睛】本题主要考查的是向量的坐标运算,以及向量相等、向量平行的应用,是基础题.18.在中,角所对的边分别是,若,且.()求的值;()若,求的面积.【答案】();().【解析】【分析】()根据可得所以,由余弦定理推论可知,根据同角基本关系可知,所以代入数据即可求出结果.()由(1)可得,在中,由正弦定理即可求出b,
10、c进而求出面积.【详解】()可得所以,所以, 所以所以()由(1)可得在中,由正弦定理,.19.已知:三点,其中.(1)若三点在同一条直线上,求的值;(2)当时,求【答案】(1) .(2) .【解析】【分析】(1)先求出的坐标,再根据向量共线得到的值;(2)根据的值,再求【详解】(1)依题有,共线, , .(2)由得 ,.又, , ,.【点睛】(1)本题主要考查向量的线性运算,考查向量共线和垂直的坐标表示,意在考查学生对这些基础知识的掌握能力. (2) 如果=,=,则|的充要条件是,则.20.设向量满足及,()求夹角的大小;()求的值【答案】()()【解析】【分析】( )对进行平方,利用向量的
11、数量积公式,可以求出夹角的大小;()先对进行平方运算,然后把结果再开算术平方根.【详解】解:()由,得,即,又,夹角;()【点睛】本题考查了应用向量数量积求向量夹角问题、求向量模大小问题,考查了运算能力.常见的求模的口诀是遇模则平方再开算术平方根,也就是应用这个公式.21.已知复数.(1)当实数为何值时,复数为纯虚数;(2)当时,计算.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)由复数为纯虚数得出其实部为零,虚部不为零,进而可解得实数的值;(2)当时,由复数的四则运算法则可计算得出的值.【详解】(1)复数为纯虚数,则,解得;(2)当时,.【点睛】本题考查利用复数类型求参数,同时也考查了复数的计算,考查计算能力,属于基础题.22.如图,在中,内角,的对边分别为,已知,分别为线段上的点,且,(1)求线段的长;(2)求的面积【答案】(1)(2)【解析】试题分析:(I)在ABC中,利用余弦定理计算BC,再在ACD中利用余弦定理计算AD;(II)根据角平分线的性质得到,又,所以,所以,再利用正弦形式的面积公式即可得到结果.试题解析:(1)因为,所以由余弦定理得,所以,即,在中,所以,所以(2)因为是的平分线,所以,又,所以,所以,又因为,所以,所以