1、第三节空间点、直线、平面之间的位置关系考情展望1.本节以考查点、线、面的位置关系为主，同时考查逻辑推理能力与空间想象能力.2.以棱柱、棱锥为依托考查异面直线所成角.3.考查应用公理、定理证明点共线、线共点、线共面的问题一、平面的基本性质名称图示文字表示符号表示公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内Al，Bl，且A，Bl公理2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P，且Pl且pl三个公理的应用1公理1的作用：(1)检验平面；(2)判断直线在平面内；(3)由直线在平面内判断直线上的点在平面内2公理
2、2的作用：公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法3公理3的作用：(1)判定两平面相交；(2)作两平面相交的交线；(3)证明多点共线二、空间点、直线、平面之间的位置关系直线与直线直线与平面平面与平面平行关系图形语言符号语言aba相交关系图形语言符号语言abAaAl独有关系图形语言符号语言a，b是异面直线a三、空间直线的位置关系1位置关系的分类2平行公理平行于同一条直线的两条直线互相平行3等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补4异面直线所成的角(或夹角)(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的锐角或直角叫做
3、异面直线a与b所成的角(2)范围：.1下列命题正确的个数为()梯形可以确定一个平面；若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合A0B1C2D3【解析】中两直线可以平行、相交或异面，中若三个点在同一条直线上，则两个平面相交，正确【答案】C2已知a、b是异面直线，直线c直线a，那么c与b()A一定是异面直线 B一定是相交直线C不可能是平行直线 D不可能是相交直线【解析】若cb，ca，ab，与a，b异面矛盾c，b不可能是平行直线【答案】C3若直线l不平行于平面，且l，则()A内的所有直线与l异面B内不存在与
4、l平行的直线C内存在唯一的直线与l平行D内的直线与l都相交【解析】由题意知，直线l与平面相交，则直线l与平面内的直线只有相交和异面两种位置关系，因而只有选项B是正确的【答案】B4l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()Al1l2，l2l3l1l3Bl1l2，l2l3l1l3Cl1l2l3l1，l2，l3共面Dl1，l2，l3共点l1，l2，l3共面【解析】当l1l2，l2l3时，l1也可能与l3相交或异面，故A不正确；l1l2，l2l3l1l3，故B正确；当l1l2l3时，l1，l2，l3未必共面，如三棱柱的三条侧棱，故C不正确；l1，l2，l3共点时，l1，l2，l3未必
5、共面，如正方体中从同一顶点出发的三条棱，故D不正确，选B.【答案】B5(2013课标全国卷)已知m，n为异面直线，m平面，n平面.直线l满足lm，ln，l，l，则()A且lB且lC与相交，且交线垂直于lD与相交，且交线平行于l【解析】根据所给的已知条件作图，如图所示由图可知与相交，且交线平行于l，故选D.【答案】D图7316(2012四川高考)如图731，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是棱CD、CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是_【解析】如图，取CN的中点K，连接MK，则MK为CDN的中位线，所以MKDN.所以A1MK为异面直线A1M与DN所成的角连接A1C1
6、，AM.设正方体棱长为4，则A1K，MKDN，A1M6，A1M2MK2A1K2，A1MK90.【答案】90考向一 121平面的基本性质及应用如图732，空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，G、H分别在BC、CD上，且BGGCDHHC12.图732(1)求证：E、F、G、H四点共面；(2)设EG与FH交于点P.求证：P、A、C三点共线【思路点拨】利用题目中的中点及比例关系推出平行，利用两平行线确定一个平面证明四点共面；证明三点共线就是证明三点同时在两个平面内【尝试解答】(1)E、F分别为AB、AD的中点，EFBD.在BCD中，GHBD.EFGH.E、F、G、H四点共面(2)EGF
7、HP，PEG，EG平面ABC，P共面ABC.同理P平面ADC.P为平面ABC与平面ADC的公共点又平面ABC平面ADCAC，PAC，P、A、C三点共线规律方法1证明点、线共面的常用方法(1)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内(2)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面，再证明其余元素确定平面，最后证明平面、重合(3)反证法：可以假设这些点和直线不在同一个平面内，然后通过推理，找出矛盾，从而否定假设，肯定结论. 对点训练如图733，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点，求证：图733(1)E， C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共
8、点【证明】(1)如图，连结CD1，EF，A1B，E，F分别是AB和AA1的中点，EFA1B且EFA1B.又A1D1綊BC，四边形A1BCD1是平行四边形A1BCD1，EFCD1，EF与CD1确定一个平面，设为平面.E，F，C，D1，即E，C，D1，F四点共面(2)由(1)知，EFCD1，且EFCD1，四边形CD1FE是梯形CE与D1F必相交，设交点为P，如图所示，则PCE平面ABCD，且PD1F平面A1ADD1，P平面ABCD且P平面A1ADD1.又平面ABCD平面A1ADD1AD，PAD，CE，D1F，DA三线共点考向二 122空间两条直线的位置关系图734(1)如图734，在正方体ABCD
9、A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列判断错误的是()AMN与CC1垂直BMN与AC垂直CMN与BD平行DMN与A1B1平行(2)在图735中，G、N、M、H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有_(填上所有正确答案的序号)图735【思路点拨】(1)连接B1C，则点M是B1C的中点，根据三角形的中位线，证明MNB1D1.(2)先判断直线GH、MN是否共面，若不共面再利用异面直线的判定定理判定【尝试解答】(1)连接B1C，B1D1，则点M是B1C的中点，MN是B1CD1的中位线，MNB1D1，CC1B1D1，ACB1D1，BDB1D1，M
10、NCC1，MNAC，MNBD.又A1B1与B1D1相交，MN与A1B1不平行，故选D.(2)图中，直线GHMN；图中，G、H、N三点共面，但M面GHN，因此直线GH与MN异面；图中，连接MG，GMHN，因此GH与MN共面；图中，G、M、N共面，但H面GMN，因此GH与MN异面所以图、中GH与MN异面【答案】(1)D(2)规律方法21.判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点B的直线是异面直线.(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面.2.对于线线垂直，往往利用线面垂直的定义，由线面垂直得到线线垂直.3
11、.画出图形进行判断，可化抽象为直观.对点训练图736如图736所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：直线AM与CC1是相交直线；直线AM与BN是平行直线；直线BN与MB1是异面直线；直线MN与AC所成的角为60.其中正确的结论为_(注：把你认为正确的结论序号都填上)【解析】由图可知AM与CC1是异面直线，AM与BN是异面直线，BN与MB1为异面直线因为D1CMN，所以直线MN与AC所成的角就是D1C与AC所成的角，且角为60.【答案】考向三 123异面直线所成的角图737(2012上海高考改编题)如图737，在三棱锥PABC中，PA底面A
12、BC，D是PC的中点已知BAC，AB2，AC2，PA2.求：(1)三棱锥PABC的体积；(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值【思路点拨】(1)直接根据锥体的体积公式求解(2)取PB的中点，利用三角形的中位线平移BC得到异面直线所成的角(或其补角)【尝试解答】(1)SABC222，三棱锥PABC的体积为VSABCPA22.(2)如图，取PB的中点E，连接DE，AE，则EDBC，所以ADE(或其补角)是异面直线BC与AD所成的角在ADE中，DE2，AE，AD2，cosADE.故异面直线BC与AD所成角的余弦值为.规律方法31.求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中
13、已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移.2.求异面直线所成的角的三步曲为：即“一作、二证、三求”.其中空间选点任意，但要灵活，经常选择“端点、中点、等分点”，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，作出异面直线所成角，转化为解三角形问题，进而求解.3.异面直线所成的角范围是对点训练直三棱柱ABCA1B1C1中，若BAC90，ABACAA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于()A30B45C60D90【解析】分别取AB、AA1、A1C1的中点D、E、F，则BA1DE，AC1EF.所以异面直线BA1与AC1所成的角为DEF(或其补角)，设ABACAA12，则
14、DEEF，DF，由余弦定理得DEF120.【答案】C思想方法之十八构造模型判断空间线面位置关系由于长方体或正方体中包含了线线平行、线面平行、线线垂直、线面垂直及面面垂直等各种位置关系，故构造长方体或正方体来判断空间直线、平面间的位置关系，显得直观、易判断减少了抽象性与空间想象，构造时注意其灵活性1个示范例1个对点练已知m，n是两条不同的直线，为两个不同的平面，有下列四个命题：若m，n，mn，则；若m，n，mn，则；若m，n，mn，则；若m，n，则mn.其中所有正确的命题是()ABCD【解析】借助于长方体模型来解决本题对于，可以得到平面，互相垂直，如图(1)所示，故正确；对于，平面、可能垂直，如图(2)所示；对于，平面、可能垂直，如图(3)所示；对于，由m，可得m，因为n，所以过n作平面，且g，如图(4)所示，所以n与交线g平行，因为mg，所以mn.(2014汕头市金山中学摸底考试)已知a，b为异面直线，a平面，b平面.直线l满足la，lb，l，l，则()A与相交，且交线平行于lB，且lC与相交，且交线垂直于lD，且l【解析】构造长方体，如图所示，可知与相交，且交线平行于l.【答案】A
