1、江苏省盐城市、南京市2021届高三第一次模拟考试数学试题20212一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1若为实数，其中i为虚数单位，则实数a的值为A2 B C D22已知函数的定义域为集合M，函数ysinx的值域为N，则MNA B(2，1 C1，1) D1，13函数在其定义域上的图象大致为4一次竞赛考试，老师让学生甲、乙、丙、丁预测他们的名次学生甲说：丁第一；学生乙说：我不是第一；学生丙说：甲第一；学生丁说：甲第二若有且仅有一名学生预测错误，则该学生是A甲 B乙 C丙 D丁5化简sin2()s
2、in2()可得 Acos(2) Bsin(2) Ccos(2) Dsin(2)6某词汇研究机构为对某城市人们使用流行语的情况进行调查，随机抽取了200人进行调查统计得下方的22列联表则根据列联表可知A有95%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系B没有95%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系C有97.5%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系 D有97.5%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”没有关系 参考公式：独立性检验统计量，其中下面的临界值表供参考：P()0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.02
3、46.6357.87910.8287设F1，F2分别为双曲线(a0，b0)的左、右焦点，圆F1与双曲线的渐近线相切，过F2与圆F1相切的直线与双曲线的一条渐近线垂直，则双曲线的两条渐近线所成的锐角的正切值为A B C D18已知点A，B，C，D在球O的表面上，AB平面BCD，BCCD，若AB2，BC4，AC与平面ABD所成角的正弦值为，则球O表面上的动点P到平面ACD距离的最大值为 A2 B3 C4 D5二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9下列关于向量，的运算，一定成立的有A B C D1
4、0下列选项中，关于x的不等式ax2(a1)x20有实数解的充分不必要条件的有Aa0 Ba32 Ca0 Da3211已知函数，则下列说法正确的是A函数是偶函数 B函数是奇函数C函数在(，0上为增函数 D函数的值域为1，)12回文数是一类特殊的正整数，这类数从左到右的数字排列与从右到左的数字排列完全相同，如1221，15351等都是回文数若正整数i与n满足2in且n4，在，上任取一个正整数取得回文数的概率记为Pi，在10，上任取一个正整数取得回文数的概率记为Qn，则 A(2in1) B C D1三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分请把答案填写在答题卡相应位置上）13若函数为偶函数，则
5、的一个值为 （写出一个即可）14的展开式中有理项的个数为 15在平面直角坐标系xOy中，设抛物线与在第一象限的交点为A，若 OA的斜率为2，则 16罗默、伯努利家族、莱布尼兹等大数学家都先后研究过星形线C：的性质，其形美观，常用于超轻材料的设计曲线C围成的图形的面积S 2（选填“”、“”或“”），曲线C上的动点到原点的距离的取值范围是 （第一空2分，第二空3分）四、解答题（本大题共6小题，共计70分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（本小题满分10分）设正项数列的前n项和为，（1）求数列的通项公式；（2）求证：18（本小题满分12分）在ABC中，角A，B，C
6、的对边分别为a，b，c，AB3C（1）求sinC的取值范围；（2）若c6b，求sinC的值19（本小题满分12分）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABEF为正方形，平面ABEF平面CDFE，CDEF，DFEF，EF2CD2（1）若DF2，求二面角ACEF的正弦值；（2）若平面ACF平面BCE，求DF的长20（本小题满分12分）某市为创建全国文明城市，市文明办举办了一次文明知识网络竞赛，全市市民均有且只有一次参赛机会，满分为100分，得分大于等于80分的为优秀竞赛结束后，随机抽取了参赛中100人的得分为样本，统计得到样本平均数为71，方差为81假设该市有10万人参加了该竞赛活动，得分Z服从正
7、态分布N(71，81)（1）估计该市这次竞赛活动得分优秀者的人数是多少万人？（2）该市文明办为调动市民参加竞赛的积极性，制定了如下奖励方案：所有参加竞赛活动者，均可参加“抽奖赢电话费”活动，竞赛得分优秀者可抽奖两次，其余参加者抽奖一次抽 奖者点击抽奖按钮，即随机产生一个两位数(10，11，99)，若产生的两位数的数字相同， 则可奖励40元电话费，否则奖励10元电话费假设参加竞赛活动的所有人均参加了抽奖 活动，估计这次活动奖励的电话费总额为多少万元？参考数据：若ZN(，)，则P(Z)0.6821（本小题满分12分）设F为椭圆C：的右焦点，过点(2，0)的直线与椭圆C交于A，B两点（1）若点B为椭
8、圆C的上顶点，求直线AF的方程；（2）设直线AF，BF的斜率分别为，(0)，求证：为定值22（本小题满分12分）设函数(a1) （1）求证：有极值点；（2）设的极值点为，若对任意正整数a都有(m，n)，其中m，nZ，求nm的最小值江苏省盐城市、南京市2021届高三第一次模拟考试数学试题20212一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1若为实数，其中i为虚数单位，则实数a的值为A2 B C D2答案：B解析：，要使原式是实数，则，选B2已知函数的定义域为集合M，函数ysinx的值域为N，则MNA
9、B(2，1 C1，1) D1，1答案：C解析：因为，所以M(2，1)，又N1，1，故MN1，1)，故选C3函数在其定义域上的图象大致为答案：D解析：首先判断出该函数是奇函数，排除AB选项，当x1时，选D4一次竞赛考试，老师让学生甲、乙、丙、丁预测他们的名次学生甲说：丁第一；学生乙说：我不是第一；学生丙说：甲第一；学生丁说：甲第二若有且仅有一名学生预测错误，则该学生是A甲 B乙 C丙 D丁答案：C解析：显然丙丁有一个错误，倘若丙正确，则与甲矛盾，故丁错误故选C5化简sin2()sin2()可得 Acos(2) Bsin(2) Ccos(2) Dsin(2)答案：B解析：因为，所以原式，故选B6某
10、词汇研究机构为对某城市人们使用流行语的情况进行调查，随机抽取了200人进行调查统计得下方的22列联表则根据列联表可知A有95%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系B没有95%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系C有97.5%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系 D有97.5%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”没有关系 参考公式：独立性检验统计量，其中下面的临界值表供参考：P()0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828答案：A解析：，根据临界值知有95%的把握认为经
11、常用流行语与年轻人有关系，故选A7设F1，F2分别为双曲线(a0，b0)的左、右焦点，圆F1与双曲线的渐近线相切，过F2与圆F1相切的直线与双曲线的一条渐近线垂直，则双曲线的两条渐近线所成的锐角的正切值为A B C D1答案：C解析：根据题意作图，由算两次可知，所以，故选C8已知点A，B，C，D在球O的表面上，AB平面BCD，BCCD，若AB2，BC4，AC与平面ABD所成角的正弦值为，则球O表面上的动点P到平面ACD距离的最大值为 A2 B3 C4 D5答案：B解析：因为AB平面BCD，BCCD，所以球心O为AD中点，其在面BCD投影为E，则OE1，作CFBD，所以sinCAF， 所以，所以
12、P到平面ACD距离的最大值为3 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9下列关于向量，的运算，一定成立的有A B C D答案：ACD解析：选项B中左边为的共线向量，右边为的共线向量不正确，其余均正确10下列选项中，关于x的不等式ax2(a1)x20有实数解的充分不必要条件的有Aa0 Ba32 Ca0 Da32答案：AC解析：a0时必有解，当a0时，或， 故AC符合题意11已知函数，则下列说法正确的是A函数是偶函数 B函数是奇函数C函数在(，0上为增函数 D函数的值域为1，)答案：AD解析：，所
13、以函数是偶函数，B错误； ，故C错综上选AD12回文数是一类特殊的正整数，这类数从左到右的数字排列与从右到左的数字排列完全相同，如1221，15351等都是回文数若正整数i与n满足2in且n4，在，上任取一个正整数取得回文数的概率记为Pi，在10，上任取一个正整数取得回文数的概率记为Qn，则 A(2in1) B C D1答案：BD解析：i为奇数，i为偶数， 所以，A错； 当n4时，所以C错，故选BD三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分请把答案填写在答题卡相应位置上）13若函数为偶函数，则的一个值为 （写出一个即可）答案：答案不唯一解析：的奇数倍都可以14的展开式中有理项的个数为
14、答案：34解析：，所以r0，3，6，99时为有理想，共34个15在平面直角坐标系xOy中，设抛物线与在第一象限的交点为A，若 OA的斜率为2，则 答案：解析：设A(x，y)，则代入抛物线得16罗默、伯努利家族、莱布尼兹等大数学家都先后研究过星形线C：的性质，其形美观，常用于超轻材料的设计曲线C围成的图形的面积S 2（选填“”、“”或“”），曲线C上的动点到原点的距离的取值范围是 （第一空2分，第二空3分）答案：，1解析：由题意知且既关于原点对称又关于y轴对称， 当时，同理可得曲线在yx1，yx1，yx1，yx1四条直线内部，所以， ，所以四、解答题（本大题共6小题，共计70分请在答题卡指定区域
15、内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（本小题满分10分）设正项数列的前n项和为，（1）求数列的通项公式；（2）求证：解：（1）当n1时，由2Snan2an，得a1 (a11)0 因为正项数列，所以a10，所以a11因为当n1时，2Snan2an， 所以当n2时，2Sn1an12an1， ，得2Sn2Sn1an2an12anan1，即2anan2an12anan1， 所以anan1(anan1)(anan1)因为数列an的各项均正，所以anan10所以当n2时，anan11 故数列an是公差为1的等差数列故数列an的通项公式为ann （2）因为()， 故(1)()()(1)18（
16、本小题满分12分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，AB3C（1）求sinC的取值范围；（2）若c6b，求sinC的值解：（1）由AB3C及ABC，得2B4C，所以B2C，所以AC 由得 得0C，故sinC的取值范围为(0，) （2）若c6b，由正弦定理有sinC6sinB，由（1）知B2C，则sinBsin(2C)cos2C由得sinCcos2C12sin2C，所以12sin2CsinC60， 解得sinC或sinC， 又sinC(0，)，所以sinC19（本小题满分12分）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABEF为正方形，平面ABEF平面CDFE，CDEF，DFEF，EF
17、2CD2（1）若DF2，求二面角ACEF的正弦值；（2）若平面ACF平面BCE，求DF的长解：方法一（1）因为平面ABEF平面CDFE，平面ABEF平面CDFEEF，DFEF，DF平面CDFE，所以DF平面ABEF 所以DFAF，DFFE又AFEF所以，以，为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系Fxyz则F(0，0，0)，A(2，0，0)，E(0，2，0)，C(0，1，2)，则(2，2，0)，(0，1，2)设平面ACE的一个法向量为m(x，y，z)，则m，mABCDFExyz所以即不妨取z1，则xy2，所以m(2，2，1) 又(2，0，0)，(0，2，0)，(0，1，2)， 所以0，0所以，又
18、FEFCF，所以(2，0，0)为平面CEF的一个法向量 所以cosm， 所以二面角ACEF的正弦值为 （2）设DFt(t0)，则C(0，1，t)(2，0，0)，(0，1，t)，(2，0，0)，(0，1，t)，设平面BCE的一个法向量为n(a，b，c)，则n，n所以 即 不妨令c1，则bt，所以n(0，t，1) 设平面ACF的一个法向量为s(p，q，r)，则由s，s，得 不妨取r1，则qt，得s(0，t，1) 因为平面ACF平面BCE，所以ns0，即t210，得t1，即DF1 方法二（1）因为平面ABEF平面CDFE，平面ABEF平面CDFEEF，DFEF，DF平面CDFE，所以DF平面ABEF
19、，所以DFAF又因为AFEF，DF平面CDFE，EF平面CDFE，DFEFF所以AF平面CDFE 在平面CEF内过点F作FGCE于G，连结AG，则AGCE所以AGF为二面角ACEF的平面角 ABCDFEGl在CEF中，CECF，EF2，由SCEFEFDFCEFG，得FG 在AFG中，AG，所以sinAGF， 所以二面角ACEF的正弦值为. （2）设平面ACF平面BCFl因为四边形ABEF为正方形，所以AFBE又AF平面BCE，BE平面BCE，所以AF平面BCE又AF平面ACF，平面ACF平面BCEl，所以AFl 因为AF平面CDFE，CF平面CDFE，所以AFCF，所以CFl又平面ACF平面B
20、CE，平面ACF平面BCEl，CF平面ACF，所以CF平面BCE又CE平面BCE，所以CFCE，所以CF2CE2EF2 设DFt(t0)，则CF，CE，所以(t21)(t21)22，解得t1，即DF1. 20（本小题满分12分）某市为创建全国文明城市，市文明办举办了一次文明知识网络竞赛，全市市民均有且只有一次参赛机会，满分为100分，得分大于等于80分的为优秀竞赛结束后，随机抽取了参赛中100人的得分为样本，统计得到样本平均数为71，方差为81假设该市有10万人参加了该竞赛活动，得分Z服从正态分布N(71，81)（1）估计该市这次竞赛活动得分优秀者的人数是多少万人？（2）该市文明办为调动市民参
21、加竞赛的积极性，制定了如下奖励方案：所有参加竞赛活动者，均可参加“抽奖赢电话费”活动，竞赛得分优秀者可抽奖两次，其余参加者抽奖一次抽 奖者点击抽奖按钮，即随机产生一个两位数(10，11，99)，若产生的两位数的数字相同， 则可奖励40元电话费，否则奖励10元电话费假设参加竞赛活动的所有人均参加了抽奖 活动，估计这次活动奖励的电话费总额为多少万元？参考数据：若ZN(，)，则P(Z)0.68解：（1）因得分ZN(71，81)，所以标准差s9，所以优秀者得分Zms，由P(msZms)0.68得，P(Zms)0.16因此，估计这次参加竞赛活动得分优秀者的人数为100.161.6(万人) （2）方法一设
22、抽奖一次获得的话费为X元，则P(X40)，P(X10) ， 所以抽奖一次获得电话费的期望值为E(X)401013 又由于10万人均参加抽奖，且优秀者参加两次，所以抽奖总次数为10100.1611.6万次， 因此，估计这次活动所需电话费为11.613150.8万元 方法二设每位参加活动者获得的电话费为X元，则X的值为10，20，40，50，80且P(X10)(10.16)，P(X20)0.16()2， P(X40)(10.16)， P(X50)0.16()()2， P(X80)0.16()2 所以E(X)102040508015.08 因此，估计这次活动所需电话费为1015.08150.8(万元
23、) 21（本小题满分12分）设F为椭圆C：的右焦点，过点(2，0)的直线与椭圆C交于A，B两点（1）若点B为椭圆C的上顶点，求直线AF的方程；（2）设直线AF，BF的斜率分别为，(0)，求证：为定值解：（1）若B为椭圆的上顶点，则B(0，1)又AB过点(2，0)，故直线AB：x2y20代入椭圆C：y21，可得3y24y10，解得y11，y2，即点A(，)，从而直线AF：yx1 （2）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，方法一设直线AB：xty2，代入椭圆方程可得：(2t2)y24ty20所以y1y2，y1y2 故k1k2 0又k1，k2均不为，故1，即为定值1 方法二设直线AB：xty2，代
24、入椭圆方程可得：(2t2)y24ty20所以y1y2，y1y2 所以，即ty1y2， 所以1，即为定值1 方法三设直线AB：xty2，代入椭圆方程可得：(2t2)y24ty20所以y1y2，y1y2 ， 所以2t 所以，把2t代入得1 方法四设直线AB：yk(x2)，代入椭圆的方程可得(12k2)x28k2x(8k22)0，则x1x2，x1x2 所以因为x1x2x1x222，x2x1，代入得1 22（本小题满分12分）设函数(a1) （1）求证：有极值点；（2）设的极值点为，若对任意正整数a都有(m，n)，其中m，nZ，求nm的最小值解：（1）由题意得f(x)axlnaex，所以f (x)ax
25、(lna)2ex0，所以函数f (x)单调递增， 由f (x)0，得(ae)xlna1，(ae)x 因为a1，所以0，所以xlogae 当xlogae时，f (x)0，f(x)单调递增；当xlogae时，f (x)0，f(x)单调递减因此，当x=logae时函数f(x)有极值 （2）方法一由（1）知，函数f(x)的极值点x0(即函数f (x)的零点）唯一，因为f (1)e令g(a)，则g(a)0，得ae 当ae时，g(a)0，g(a)单调递减；当0ae时，g(a)0，g(a)单调递增，所以g(a)g(e)，所以f (1) e0 而f (0)lna1，当a2时，f(0)0，当a3时，f(0)0
26、又f (1)alna 因为a为正整数且a2时，所以alna2ln21当a2时，f(1)0 即对任意正整数a1，都有f (1)0，f (1)0，所以x0(1，1)恒成立，且存在a2，使x0(0，1)，也存在a3，使x0(1，0)所以nm的最小值为2 方法二由（1）知x0logae令lnak，kln2，ln3，则x00，得k1先证：lnkk1令g(k)lnkk1，则g(k)， 当k1时，g(k)0；当k1时，g(k)0所以g(k)g(1)0，即lnkk1成立所以x01 又当kln3时，x00， 而2ln21，所以ln2，所以e当kln2时，x00，且x01， 所以x0(1，1)恒成立，且存在a2，使x0(0，1)，也存在a3，使x0(1，0)所以nm的最小值为2.
