1、北京市东城区2015-2016学年第一学期期末教学统一检测高三数学（文科）学校_班级_姓名_考号_本试卷共5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合，.若，则实数（A） （B） （C） （D）（2）在复平面内，复数对应的点位于 （A）第一象限 （B）第二象限（C）第三象限 （D）第四象限（3）已知向量，.若与平行，则实数的值是（A）（B）（C）（D）（4）经过圆的圆心且与直线平行的直
2、线方程是（A） （B） （C） （D）（5）给出下列函数： ； ； ； .其中图象关于轴对称的是 （A） （B）（C） （D）（6）“”是“”的（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件（7）某程序框图如图所示，当输入的的值为时，输出的值恰好是，则在空白的处理框处应填入的关系式可以是（A） （B） （C） （D）（8）已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是（A） （B） （C） （D） 第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。（9）双曲线的离心率是_.（10）在中，角,所对边分别为,，且,面积
3、，则_；=_.（11）如图是名学生某次数学测试成绩（单位：分）的频率分布直方图，则测试成绩落在 中的学生人数是_.（12）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 （13）已知点的坐标满足条件点为坐标原点,那么的最大值等于_. （14）纸张的规格是指纸张制成后，经过修整切边，裁成一定的尺寸.现在我国采用国际标准，规定以，等标记来表示纸张的幅面规格. 复印纸幅面规格只采用系列和系列，其中系列的幅面规格为：，所有规格的纸张的幅宽（以表示）和长度（以表示）的比例关系都为； 将纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格，纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格，如此对开至规格现有，纸各一张.若纸的宽度为
4、，则纸的面积为 ；这张纸的面积之和等于_ 三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本小题13分）已知等差数列的前项和为，且满足，（I） 求数列的通项公式；（II）若成等比数列，求正整数的值（16）（本小题13分）已知函数在一个周期内的部分对应值如下表：（）求的解析式； （）求函数的最大值和最小值. （17）（本小题13分）某中学从高三男生中随机抽取名学生的身高，将数据整理，得到的频率分布表如下所示.（）求出频率分布表中和位置上相应的数据；（）为了能对学生的体能做进一步了解，该校决定在第，组中用分层抽样抽取名学生进行体能测试，求第，组每组各抽取多少名学生进
5、行测试？（）在（）的前提下，学校决定在名学生中随机抽取名学生进行引体向上测试，求：第组中至少有一名学生被抽中的概率.组号分组频数频率第1组第2组第3组第4组第5组合计（18）（本小题13分）如图，在四棱锥中， 平面, 平面，.（）求证：平面平面；（）在线段上是否存在一点,使平面？若存在,求出 的值；若不存在，说明理由.（19）（本小题14分）已知函数，.（）当时，求曲线在点处的切线的方程；（）若曲线与轴有且只有一个交点，求的取值范围；（）设函数，请写出曲线与最多有几个交点.（直接写出结论即可）（20）（本小题14分）已知椭圆过点，且满足.() 求椭圆的方程；() 斜率为的直线交椭圆于两个不同点
6、，点的坐标为，设直线与 的斜率分别为， 若直线过椭圆的左顶点，求此时，的值； 试探究是否为定值？并说明理由.东城区2015-2016学年第一学期期末教学统一检测高三数学参考答案及评分标准 （文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）（1） C （2）C （3）D （4）A （5）B （6）B （7）C （8）D 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9） （10） （11） （12）（13） （14） 注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分三、解答题（本大题共6小题，共80分）（15）（共13分）解：（）设数列的公差为，由题意知，即，由 ，解得.
7、所以，即 ,. 6分（）由（）可得，所以. 又，由已知可得，即， 整理得 ，.解得（舍去）或. 故. 13分（16）（共13分）解：（）由表格可知，的周期，所以. 又由，且，所以.所以. 6分（） . 由，所以当时，有最大值； 当时，有最小值. 13分（17）（共13分） 解：（）由题可知，第组的频数为人，第组的频率为. 即处的数据为，处的数据为. 3分（）因为第，组共有名学生,所以利用分层抽样,在名学生中抽取名学生,每组分别为:第组:人；第组:人；第组:人.所以第，组分别抽取人，人，人. 6分（）设第组的位同学为，第组的位同学为，第组的位同学为，则从位同学中抽两位同学有种可能，分别为: ，.
8、其中第组的两位同学至少有一位同学被选中的有: ，种可能.所以第组的两位同学至少有一位同学被选中的概率. 13分（18）（共13分）证明：（）因为平面，平面，所以. 又因为，,所以平面. 又因为平面， 所以平面平面. 7分（）在线段上存在一点,且，使平面. ABCEDFFM 设为线段上一点, 且. 过点作交于，则. 因为平面,平面， 所以.又，所以.因为，所以.所以四边形是平行四边形.所以. 又因为平面，平面，所以平面. 13分（19）（共14分） 解：（）当时，.当时，又，所以曲线在点处的切线方程为. 4分（）由，得.当时，此时在上单调递增.当时，当时，所以当时，曲线与轴有且只有一个交点； 8分当时，令，得.与在区间上的情况如下：极大值若曲线与轴有且只有一个交点，则有，即.解得.综上所述，当或时，曲线与轴有且只有一个交点. 12分（）曲线与曲线最多有个交点. 14分（20）（共14分）解：()由椭圆过点，则.又，故.所以椭圆的方程为. 4分() 若直线过椭圆的左顶点，则直线的方程是，由解得或故，. 8分 为定值，且.设直线的方程为.由消，得.当，即时，直线与椭圆交于两点.设.,则，.又，故.又，所以.故. 14分
