1、庄河高中数学组怀 天下，求真知，学做人向量的正交分解与向量的直角坐标运算2025年12月1日复习平面向量基本定理如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2使a=1 e1+2 e2轴上向量的坐标a=x e1(1)我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不唯一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式唯一.1,2是被 a,e1、e2唯一确定的数量。a=1 e1+2 e2复习一、向量的直角坐标1 向量垂直：如果两个向量的基线互相垂直，记作：ab2
2、正交基底：如果基底的两个基向量e1,e2互相垂直，称这个基底正交基底3 正交分解：在正交基底下分解向量 4 向量的直角坐标：e2e1oxyaa1a2 (a1,a2)就是向量a在正交基底e1,e2下坐标，记作 a=(a1,a2)a=a1e1+a2e2=(a1,a2)a1a2AB平面向量的坐标表示如图，是分别与x轴、y轴方向相同的单位向量，若以为基底，则这里，我们把（x,y）叫做向量的（直角）坐标，记作其中，x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标，式叫做向量的坐标表示。1、把 a=x i+y j 称为向量基底形式.2、把(x,y)叫做向量a的（直角）坐标,记为：a=(x,y),称其为向量的坐标
3、形式.3、a=x i+y j=(x,y)4、其中 x、y 叫做 a 在X、Y轴上的坐标.单位向量 i=（1，0），j=（0，1）yOxajixiyjxiyjb相等的向量坐标相同向量a、b有什么关系?ab能说出向量b的坐标吗?b=(x,y)Oxyij aA(x,y)a如图所示点A的坐标与向量a 的坐标的关系？两者相同向量a坐标（x，y）一 一 对 应两个向量相等的充要条件，利用坐标如何表示？一、向量的直角坐标思考探究：基向量e1,e2 和 0 的坐标是什么？e1=(1,0),e2=(0,1),0=(0,0)ba=a1=b1,a2=b2符号(x,y)表示什么？为了区别点和向量，要说点（x,y）和向
4、量(x,y)二、向量的直角坐标运算法则 a+b=(a1+b1,a2+b2)设a=(a1,a2),b=(b1,b2),则a-b=(a1-b1,a2-b2)a=(a1,a2)两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的坐标例 若A,B,C三点的坐标分别为(2,4),(0,6),(8,10),求AC,AB+2BC,BC-AC的坐标解：AC=(-8-2,10-4)=(-10,6)AB=(0-2,6-4)=(-2,2)BC=(-8-0,10-6)=(-8,4)AB+2BC=(-2,2)+2(-8,4)=(-2-16,2+8)=(-18,10)B
5、C-AC=(-8,4)-(-10,6)=(-8+10,4-6)=(2,-2)例2.用基底 i,j 分别表示向量a,b,c,d,并求出它们的坐标.-4 -3 -2 -1 1 2 3 4AB12-2-1xy453例3 已知a=（2，1），b=（-3，4），求a+b，a-b，3a+4b的坐标解：a+b=（2，1）+（-3，4）=（-1，5）；a-b=（2，1）-（-3，4）=（5，-3）；3a+4b=3（2，1）+4（-3，4）=（6，3）+（-12，16）=（-6，19）例4 已知求xyO解：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。这是一个重要结论！例5 已知ABCD的三
6、个顶点A、B、C的坐标分别为（2，1）、（1，3）、（3，4），求顶点D的坐标解法1：设顶点D的坐标为（x，y）ABCDxyO例5 已知ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为（2，1）、（1，3）、（3，4），求顶点D的坐标ABCDxyO解法2：由平行四边形法则可得而所以顶点D的坐标为（2，2）随堂练习坐标是A、(3,2)B、(2,3)C、(-3,-2)D、(-2,-3)BA、x=1,y=3 B、x=3,y=1C、x=1,y=-3 D、x=5,y=-1B标坐标为A、(x-2,y+1)B、(x+2,y-1)C、(-2-x,1-y)D、(x+2,y+1)CBB标的坐标为(i,j),则点A的坐标为A、(m-i,n-j)B、(i-m,j-n)C、(m+i,n+j)D、(m+n,i+j)A3.向量的直角坐标的运算1.向量的正交分解课堂小结:1)加、减法法则2)实数与向量积的运算法则：3)向量坐标.若A(x1,y1),B(x2,y2)2.向量坐标定义.则=(x2 -x1,y2 y1)a +b=(x2,y2)+(x1,y1)=(x2+x1,y2+y1)a -b=(x2,y2)-(x1,y1)=(x2-x1,y2-y1)a=(x,y )=(x,y)欢迎你的提问！课本第 103 页习题 A-B组能力培养
