1、2005年广州市普通高中毕业班综合测试数学 参考公式：如果事件、互斥，那么如果事件、相互独立，那么如果事件在一次试验中发生的概率是，那么在次独立重复试验中恰好发生次的概率球的表面积公式其中表示球的半径球的体积公式 其中表示球的半径一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。1已知集合，则（）AB CD2若函数，则（）ABCD3如图所示，在两个圆盘中，指针在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是（）A B C D4复数与（）的积是纯虚数的充要条件是（）AB C且 D且5已知向量和向量的夹角为，那么（）ABCD6若，则的值为（）ABCD7在圆上的所有点中，
2、到直线的距离最大的点的坐标是（）ABCD8在的展开式中，的系数是（）ABCD9设函数，则使得的自变量的取值范围是（）AB CD10设、是半径为2的球面上的四个不同的点，且满足，用、分别表示、的面积，则的最大值是（）ABCD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。11不等式的解集是。12如图，在底面为正方形的四棱锥中，底面，则三棱锥的体积为。13小于100的正整数中共有个数被5整除余2，这些数的和是。14的三个顶点的坐标为，点在内部及边界上运动，则的最大值为，最小值为。三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程。15（本小题满分12分）求函数（）的最小
3、正周期、最大值和最小值。16（本小题满分12分）已知函数（）在时有极值，其图象在点处的切线与直线平行。（）求，的值；（）求函数的单调区间。17（本小题满分14分）如图，在正三棱柱中，、分别是棱、的中点，。（）证明：；（）求二面角的大小。18（本小题满分14分）甲、 乙两人各有相同的小球10个，在每人的10个小球中都有5个标有数字1，3个标有数字2，2个标有数字3。两人同时分别从自己的小球中任意抽取1个，规定：若提取的两个球上的数字相同，则甲胜，否则为乙胜。（）求乙获胜的概率；（）若又规定：抽取的两个小球上的数字都有1时，甲胜且得1分；抽取的两个小球上的数字都为2时，甲胜且得2分；抽取的两个小球
4、上的数字都为3时，甲胜且得3分；甲败则得0分。求甲得分的数学期望。19（本小题满分14分）已知定义在实数集上的函数满足：；当时，；对于任意的实数、都有。（）证明：为奇函数；（）若数列满足条件：，（），证明：。20（本小题满分14分）已知双曲线的中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，离心率，一条准线的方程为。（）求双曲线的方程；（）设直线过点且斜率为（），问：在双曲线的右支上是否存在唯一点，它到直线的距离等于1。若存在，则求出符合条件的所有的值及相应点的坐标；若不存在，请说明理由。数学试卷参考答案YCY一、选择题：CAADD CBACB二、填空题：111213， 14，三、解答题：15解：由得最小正周
5、期，最大值，最小值。16解：（）。依题意，得；（）由（）的结论知。故由，即函数的单调递增区间为、，单调递减区间为。17解：如图建立空间直角坐标系，则（）证明：因为，所以，故，因此，有；（）设是平面的法向量，因为，所以由可取；同理，是平面的法向量。设二面角的平面角为，则。0123P0.620.250.090.0418解：（）乙获胜的概率为；（）设甲得分为，则的可能取值为、，其分布列为：从而甲得分的数学期望是。19证明：（）因为对于任意的实数、都有，故令得，再令得，即，所以是奇函数；（）设且，则，故，从而，所以在上是增函数。又因为，所以当时，有。由，即有。下面用数学归纳法证明：对任意的，都有。当时，命题显然成立；假定当时，命题成立，即，则由知：，由此及得，即当时，命题也成立。由、及数学归纳法原理知：上述命题成立。20解：（）依题意，可设双曲线的方程为（，），则，即双曲线的方程为；（）依题意，直线的方程为（），设为双曲线上到直线的距离等于1的点，则。若，则直线与双曲线右支相交，故双曲线的右支上有两个点到直线的距离等于1，与题意矛盾；若（如图所示），则直线在双曲线的右支的上方，故，从而有。又因为，所以有，整理，得。（）若，则由（）得，即；若，则方程（）必有相等的两个实数根，故由，解之得（不合题意，舍去），此时有，即。综上所述，符合条件的的值有两个：，此时；，此时。
