1、本章总结提升第3章内容索引0102网络构建 归纳整合专题突破 素养提升网络构建 归纳整合专题突破 素养提升专题一与圆锥曲线有关的轨迹问题涉及与圆锥曲线有关的轨迹问题,主要将已知条件转化为动点满足的关系式,结合圆锥曲线的定义求出动点的轨迹方程.求圆锥曲线的轨迹(方程)主要是提升数学抽象、直观想象以及数学运算的核心素养.【例1】已知两个同心圆,其半径分别为a,b(ab),AB为小圆上的一条定直径,则以大圆的切线l为准线,且过A,B两点的抛物线的焦点F的轨迹方程为()(以线段AB所在直线为x轴,其中垂线为y轴建立平面直角坐标系)答案 A解析 过A,B,O分别向准线l作垂线,垂足为C,D,G,易知G为
2、切点.根据抛物线的定义,可得|AF|=|AC|且|BF|=|BD|,|AF|+|BF|=|AC|+|BD|.在梯形ABDC中,可得|AC|+|BD|=2|OG|=2a,又A(-b,0),B(b,0)是x轴上的两个定点,点F到A,B两个定点的距离之和等于2a2b,根据椭圆的定义可得点F的轨迹是以A,B为焦点的椭圆,该椭圆的标准方程为=1,由于点G在x轴上时,不能作出抛物线,所以xa.因此可得动点F的轨迹方程为=1(xa).故选A.规律方法动点轨迹问题的求解策略(1)解决与圆锥曲线有关的轨迹问题,首先要明确圆锥曲线的性质,做好对图形变化可能性的总体分析,选好相应的解题策略并拟定好具体的解题方法,注
3、意将动点的几何特性用数学语言表达出来.(2)要注意一些轨迹问题所包含的隐含条件,如曲线上点的坐标的取值范围等.变式训练1如图,圆E:(x+2)2+y2=4,点F(2,0),动圆P过点F,且与圆E内切于点M,则动圆P的圆心P的轨迹方程是.解析 由已知,圆E的半径为2,设圆P的半径为R,则|PE|=|PM|-|ME|=R-2,所以|PF|-|PE|=2.由双曲线的定义知,点P的轨迹为双曲线的左支,专题二直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系是圆锥曲线解答题的重要组成部分,研究直线与圆锥曲线的位置关系主要是提升数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养.规律方法直线与圆锥曲线相交问题的解法直线
4、与圆锥曲线相交问题的解法主要是将直线方程代入圆锥曲线的方程,将交点的性质转化为消元后的一元二次方程的根的关系,求解时要注意直线与圆锥曲线相交的条件.变式训练2 专题三圆锥曲线中的取值范围与最值问题圆锥曲线中的取值范围与最值问题是直线与圆锥曲线的位置关系中的重要题型,求解的基本思路是建立目标函数等,然后利用求函数的值域(最值)等方法确定求解目标的取值范围或最值.此类问题主要是提升数学运算、逻辑推理、数学抽象的核心素养.(1)求a,b的值;(2)设P是椭圆C的长轴上的一个动点,过点P作斜率为1的直线交椭圆于A,B两点,求OAB面积的最大值.分析 由椭圆的几何性质求椭圆的标准方程中的参数.设出点P的
5、坐标,利用已知条件写出直线的方程,代入椭圆方程,求出弦AB的长度以及点O到直线AB的距离,将OAB面积表示为与点P的坐标有关的函数关系式,利用函数关系式求最值.规律方法圆锥曲线中最值与取值范围问题的常见求法(1)几何法:若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义,则考虑利用图形性质来解决.(2)代数法:若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可首先建立目标函数,再求这个函数的最值.在利用代数法解决最值与取值范围问题时常从以下几个方面考虑:利用判别式来构造不等关系,从而确定取值范围;利用隐含或已知的不等关系建立不等式,从而求出取值范围;利用基本不等式求出取值范围;利用函数的值域的求法,确定
6、取值范围.变式训练3 如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:+y2=1的上、下顶点分别为A,B,点P在椭圆C上且异于点A,B,直线AP,PB与直线l:y=-2分别交于点M,N.(1)设直线AP,PB的斜率分别为k1,k2,求证:k1k2为定值;(2)求线段MN长的最小值.专题四参数的取值范围问题直线与圆锥曲线的位置关系中的参数的取值范围问题的求解基本思路是建立不等式,此类问题主要是提升数学运算、逻辑推理、数学抽象的核心素养.【例4】已知椭圆的一个顶点A(0,-1),焦点在x轴上,离心率为.(1)求椭圆的标准方程;(2)设直线y=kx+m(k0)与椭圆交于不同的两点M,N.当|AM|=|A
7、N|时,求实数m的取值范围.分析 根据离心率及顶点坐标求出椭圆方程中的参数,利用|AM|=|AN|的几何性质:点A与M,N的中点的连线与直线MN垂直建立方程,研究直线与椭圆的交点的性质.规律方法解决圆锥曲线中参数的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围;(2)利用已知参数的取值范围,求新参数的取值范围,解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系;(3)利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围;(4)利用已知的不等关系构造不等式,从而求出参数的取值范围;(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值域,
8、从而确定参数的取值范围.变式训练4(1)求椭圆C的标准方程;(2)过点(0,-2)的直线l与椭圆C交于不同的A,B两点,若AOB为钝角,求直线l的斜率的取值范围.专题五定值问题与圆锥曲线有关的定值问题,求解的主要方法是列出关于待求定值的关系式,将关系式化简为定值,此类问题主要提升数学运算、逻辑推理的核心素养.【例5】(2022江西南昌高二期中)已知点A(-2,0),B(2,0)皆为曲线C上的点,P为曲线C上异于A,B的任意一点,且满足直线PA的斜率与直线PB的斜率之积为-.(1)求曲线C的方程;(2)若曲线C的右焦点为F,过M(4,0)的直线l与曲线C交于D,E,求证:直线FD与直线FE的斜率
9、之和为定值.分析 设P(x,y),代入kPAkPB=-,化简即可求出曲线C的方程,将椭圆方程与直线方程联立,运用一元二次方程根与系数的关系式及斜率公式求解.(2)证明易知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=k(x-4),D(x1,y1),E(x2,y2),则=(32k2)2-4(3+4k2)(64k2-12)0,解得k2 ,即kFD+kFE=0,所以直线FD与直线FE斜率之和为定值0.规律方法圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)有关斜率的定值问题,包含证明动直线的斜率为定值,不同直线斜率的关系(如k1+k2,k1k2,)是定值.方法:设原始量的有关变量,逐步表示出关系式中涉及的斜率,最后进行化简得到一个定值.(2)有关向量的定值问题,包括向量之积为定值,向量之间一些稍微复杂的关系为定值,两直线垂直(可以用向量的数量积为0来证明).方法:设出原始量的变量,逐步表示出向量所涉及的点的坐标,再表示出向量,直接利用坐标关系列式子,最后化简得定值.(当求,而A,B,C,D在同一条直线上时,可化为求线段长度之积|AB|CD|的问题,要注意正负号)(3)有关线段长的定值问题,包括线段的长为定值,线段长之间的关系式(如,AB+PQ,ABPQ等)为定值.方法:设原始量的变量,推出线段长度的表达式(这里常用到“设而不求”法求弦长),然后代入式子化简求得定值.变式训练5
