1、4.3组合第1课时组合与组合数A级必备知识基础练1.(2022天津河西高二期中)学校要求学生从物理、历史、化学、生物、政治、地理这6科中选3科参加考试,规定先从物理和历史中任选1科,然后从其他4科中任选2科,不同的选法种数为()A.5B.12C.20D.1202.某新农村社区共包括n个自然村,且这些村庄分布零散,没有任何三个村庄在一条直线上,现要在该社区内建“村村通”工程,共需建公路的条数为28,则n=()A.6B.8C.9D.103.(2022湖北鄂东南教改联盟高二期中)某中学招聘5位老师,其中安排2位老师去高一,安排2位老师去高二,安排1位老师去高三,则不同的安排方法有()A.30种B.6
2、0种C.90种D.120种4.国庆期间,甲、乙等6人计划分两组(每组3人)去旅行,每组将在云南丽江、广西桂林、河北石家庄、内蒙古呼和浩特选1个地方,且每组去的地方不同.已知甲不想去云南,乙只想去广西,其余4人这4个地方都想去,则他们分组旅行的方案种数为()A.24B.30C.18D.365.(2022重庆南开中学高二期中)在某社会实践活动中,某班有一个7人小组参加烧烤活动,老师将从小组成员中选出2名同学整理烧烤架,再选出3名同学生火.若小组中的甲、乙两位同学至多有1人生火,则不同的安排方案种数为()A.120B.150C.180D.2406.若An3=12Cn2,则n=.7.方程1C5x-1C
3、6x=710C7x中的解x=.8.(2022北京西城高二期末)生物兴趣小组有12名学生,其中正、副组长各1名,组员10名.现从该小组选派3名同学参加生物学科知识竞赛.(1)如果正、副组长2人中有且只有1人入选,共有多少种不同的选派方法?(2)如果正、副组长2人中至少有1人入选,且组员甲没有入选,共有多少种不同的选派方法?B级关键能力提升练9.(多选题)(2022安徽铜陵高二期末)已知A3m-C32+0!=4,则m的值可以是()A.1B.2C.3D.410.(2022福建龙岩高二期中)C44+C54+C64=()A.C72B.C65C.C76D.A6411.(2022山东济宁高二期末)2名老师和
4、4名学生共6人参加两项不同的活动,每人参加一项活动,每项活动至少有2人参加,但2名老师不能参加同一项活动,则不同的参加方式的种数为()A.20B.28C.40D.5012.有10台不同的电视机,其中甲型3台,乙型3台,丙型4台.现从中任意取出3台,若其中至少含有两种不同的型号,则不同的取法共有()A.96种B.108种C.114种D.118种13.某省派出5个医疗队去支援4个灾区,每个灾区至少分配一个医疗队,则不同的分配方案共有种.(用数字填写答案)14.(2022山东滕州高二期中)要从6名男生4名女生中选出5人参加一项活动.(1)甲当选且乙不当选,有多少种不同的选法?(2)至多有3名男生当选
5、,有多少种不同的选法?C级学科素养创新练15.按照下列要求,分别求有多少种不同的方法?(1)5个不同的小球放入3个不同的盒子;(2)5个不同的小球放入3个不同的盒子,每个盒子至少一个小球;(3)5个相同的小球放入3个不同的盒子,每个盒子至少一个小球;(4)5个不同的小球放入3个不同的盒子,恰有1个空盒.参考答案4.3组合第1课时组合与组合数1.B第一步,从物理和历史中任选1科,有C21=2种选法;第二步,从其他4科中任选2科,有C42=6种选法.根据分步乘法计数原理,共有26=12种选法.故选B.2.B由于“村村通”公路的修建,是组合问题,故共需要建公路的条数为Cn2=n(n-1)2=28,解
6、得n=8或n=-7(舍去).3.A根据题意,不同的安排方法可以分三步完成:第一步,在5个老师中选出2人,安排去高一,有C52=10种选法;第二步,在剩下3人中,选出2人,安排到高二,有C32=3种选法;第三步,将最后1人安排到高三,有1种选法.根据分步乘法计数原理,共有1031=30种不同的安排方法.故选A.4.A若甲和乙都去广西桂林,则有C41C31=12种方案;若甲不去广西桂林,则有C21C42=12种方案.故他们分组旅行的方案种数为12+12=24.故选A.5.C小组中的甲、乙两位同学都生火,共有C51C42=30种,故甲、乙两位同学至多有1人生火的不同的安排方案种数为C72C53-30
7、=180.故选C.6.8由题得,An3=n(n-1)(n-2),Cn2=12n(n-1),所以n(n-1)(n-2)=1212n(n-1).因为nN+,且n3,解得n=8.7.2原式可化为x!(5-x)!5!-x!(6-x)!6!=7x!(7-x)!107!.0x5,x2-23x+42=0,解得x=21(舍去)或x=2,即x=2为原方程的解.8.解(1)正、副组长2人中有且只有1人入选,则选派方法数为C21C102=90.(2)正、副组长2人都入选,且组员甲没有入选,选派方法数为C22C91=9.正、副组长2人中有且只有1人入选,且组员甲没有入选,选派方法数为C21C92=72.故正、副组长2
8、人中至少有1人入选,且组员甲没有入选的选派方法数为9+72=81.9.BCA3m-C32+0!=4,A3m=6.当m=2时,等式成立;当m=3时,等式成立.故选BC.10.A由题可得,C44+C54+C64=C44+C51+C62=1+5+15=21.对于A,C72=21,故A正确;对于B,C65=6,故B错误;对于C,C76=7,故C错误;对于D,A64=6543=360,故D错误.故选A.11.B由题意参加方式分为两类:第一类,一项活动有1名老师和1名学生,另一项活动有1名老师和3名学生,有C21C41A22种参加方式;第二类,一项活动有1名老师和2名学生,另一项活动有1名老师和2名学生,
9、有C21C42种参加方式.根据分类加法计数原理,不同的参加方式的种数共有C21C41A22+C21C42=28.故选B.12.C根据题意,从10台不同的电视机中任意取出3台,有C103=120种取法,其中只有甲型电视机的取法有C33=1种,只有乙型电视机的取法有C33=1种,只有丙型电视机的取法有C43=4种,则其中至少含有两种不同的型号的取法有120-1-1-4=114种.故选C.13.240派出5个医疗队去支援4个灾区,每个灾区至少分配一个医疗队,则其中有一个灾区安排两个医疗队,剩下的3个灾区各安排一个医疗队,可以分两步:第一步,先选出一个灾区分配两个医疗队,有C41C52种分配法;第二步
10、,为剩下的3个灾区各分配一个医疗队有A33种分配法.根据分步乘法计数原理,不同的分配方案有C41C52A33=240种.14.解(1)若甲当选,乙不当选,则从剩余8人选4人即可,即有C84=70种选法.(2)至多有3名男生当选,则有1男4女,2男3女,3男2女三种情况,共有C61C44+C62C43+C63C42=6+60+120=186种选法.15.解(1)5个不同的小球放入3个不同的盒子,每个小球都有3种可能,利用分步乘法计数原理可得不同的方法有35=243种.(2)5个不同的小球放入3个不同的盒子,每个盒子至少一个小球,先把5个小球分组,分法有2,2,1和3,1,1两种,再放入3个不同的盒子,故不同的方法共有C52C32C11A22+C53C21C11A22A33=150种.(3)5个相同的小球放入3个不同的盒子,每个盒子至少一个小球,类似于在5个小球间的空隙中,放入2个隔板,把小球分为3组,故不同的方法共有C42=6种.(4)5个不同的小球放入3个不同的盒子,恰有一个空盒,先把5个小球分2组,分法有3,2,0和4,1,0两种,再放入3个不同的盒子,故不同的方法共有(C53C22+C54)A33=90种.
