1、专题九 数学思想方法 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)专题九 数学思想方法 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)专题九 数学思想方法 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)理解转化与化归是高中数学的重要思想方法，会运用转化与化归思想解决问题专题九 数学思想方法 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)专题九 数学思想方法 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)数学问题的解答离不开转化与化归它既是一种数学思想又是一种数学能力高考对这种思想方法的考查所占比重很大，是历年高考考查的重点诸如常量与变量的转化、数与形的转化、实际问题向数学模型的转化、以及数学各分支之间的转化都是高考的热点问题特别是
2、实施新课标之后，高考考题不再向数学知识的纵深发展，而是以基础知识为出发点，转化与化归思想在解决问题中起到了更大的作用专题九 数学思想方法 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)专题九 数学思想方法 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)化归是转化与归结的简称，其基本内涵是：人们在解决数学问题时，常常将待解决的问题A，通过某种转化手段，归结为另一问题B，而问题B是相对较容易解决的或已经有固定解决模式的问题，且通过问题B的解决可以得到原问题A的解用框图可直观地表示为：专题九 数学思想方法 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)其中问题B称为化归目标或方向，转化的手段称为化归策略化归思想有着坚实的客
3、观基础，它着眼于揭示联系，实现转化，通过矛盾转化解决问题专题九 数学思想方法 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)2化归的原则(1)目标简单化原则，即复杂的问题向简单的问题转化；(2)和谐统一性原则，即化归应朝着待解决的问题在表现形式上趋于和谐，在量、形、关系上趋于统一的方向进行，使问题的条件和结论更均匀和恰当；(3)具体化原则，即化归方向应由抽象到具体；(4)低层次原则，即将高维空间问题化归成低维空间问题基于上述原则，化归就有一定的策略我们在应用化归方法时，应“有章可循，有法可依”通常可以从以下几个方面去考虑：专题九 数学思想方法 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)(1)抽象问题与具体
4、问题化归；(2)一般问题与特殊问题化归；(3)正向思维与逆向思维化归；(4)命题与等价命题化归3转化与化归的常见方法(1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题(2)换元法：运用“换元”把超越式转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题专题九 数学思想方法 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)(3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径(4)参数法：引进参数，使原问题的变换具有灵活性，易于转化(5)构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题(6)坐标法：以坐
5、标系为工具，用计算方法解决几何问题，是转化方法的一个重要途径(7)类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定转化途径专题九 数学思想方法 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)(8)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题(9)一般化方法：若原问题是某个一般化形式问题的特殊形式且又较难解决，可将问题通过一般化的途径进行转化(10)等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到转化目的专题九 数学思想方法 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)(11)加强命题法：在证明不等式时，原命题难以得证，往往把命题的结论加强，即把命题的结论加强为原命题的充分条
6、件，从而能将原命题转化为一个较易证明的命题加强命题法是非等价转化方法(12)补集法：如果正面解决原问题有困难，可把原问题结果看作集合A，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U，通过解决全集U及补集UA获得原问题的解决以上所列的一些方法是互相交叉的，不能截然分割专题九 数学思想方法 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)专题九 数学思想方法 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)例 1(2011临沂检测)已知等差数列an的公差 d0，且 a1、a3、a9 成等比数列，则 a1a3a9a2a4a10的值是_分析 利用满足条件的具体数列代入求值答案 1316专题九 数学思想方法 走向高考二轮专题
7、复习 数学(新课标版)解析 由题意知，只要满足 a1、a3、a9 成等比数列的条件，an取何种等差数列与所求代数式的值是没有关系的因此，可把抽象数列化归为具体数列比如，可选取数列 ann(nN*)，则 a1a3a9a2a4a10 13924101316.专题九 数学思想方法 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)评析 本题如果从已知条件 a23a1a9(a12d)2a1(a18d)，解得 a1 与 d 的关系后，代入所求式子：a1a3a9a2a4a10a1a12da18da1da13da19d，也能求解，但计算较繁锁，易错因此，把抽象数列转化为具体的简单的数列进行分析，可以很快得到答案专题九
8、数学思想方法 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)设 a、b、c 是单位向量，有 ab0，则(ac)(bc)的最小值为()A2 B.22C1 D1 2答案 D专题九 数学思想方法 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)解析 解法一：设 a(1,0)，b(0,1)，c(cos，sin)，则(ac)(bc)(1cos，sin)(cos，1sin)1sincos1 2sin4因此当 sin4 1 时，(ac)(bc)取到最小值 1 2.解法二：(ac)(bc)ab(ab)cc21(ab)c1|ab|c|1 ab21 2.专题九 数学思想方法 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)例2 已知aR，求
9、函数y(asinx)(acosx)的最小值分析 y(asinx)(acosx)a2a(sinxcosx)sinxcosx.而sinxcosx与sinxcosx有联系，可设tsinxcosx，则原来的问题可转化为二次函数在闭区间上的最值问题专题九 数学思想方法 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)解析 设 tsinxcosx，则 t 2sinx4，t 2，2，而 sinxcosx12(sinxcosx)2112(t21)，于是 yf(t)a2a(sinxcosx)sinxcosxa2at12(t21)12t2ata212专题九 数学思想方法 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)12(ta)2
10、12a212.原问题转化为求二次函数 f(t)12(ta)212a212在 t 2，2上的最值问题(1)当 2a 2，ta 时，f(t)min12a212；专题九 数学思想方法 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)(2)当 a 2时，f(t)在 2，2上单调递减，f(t)minf(2)a2 2a12；(3)当 a0.专题九 数学思想方法 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)即 12m32m210，也即(2m1)(6m22m1)0 恒成立，所以 2m10，所以 m12.即当 m0，By|y26y80，若AB，则实数a的取值范围为_答案 a|a2 或 3a 3专题九 数学思想方法 走向高考二轮
11、专题复习 数学(新课标版)解析 由题意得Ay|ya21或ya，By|2y4，我们不妨先考虑当AB时a的取值范围如图：专题九 数学思想方法 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)由a4 得a 3或a 3，a 3或 3a2.即 AB时，a 的取值范围为 a 3或 3a2.而AB时，a 的取值范围显然是其补集，从而所求范围为a|a2 或 3a 3.专题九 数学思想方法 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)例4 如图，在四面体ABCD中，CBCD，ADBD，点E、F分别是AB、BD的中点求证：(1)直线EF平面ACD；(2)平面EFC平面BCD.专题九 数学思想方法 走向高考二轮专题复习 数学(新课
12、标版)分析 证明线面平行，常用方法是转化为证线线平行或面面平行；证明面面垂直，常常转化为线面垂直解析(1)在ABD中，因为E、F分别是AB、BD的中点，所以EFAD.又AD平面ACD，EF平面ACD，所以直线EF平面ACD.专题九 数学思想方法 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)(2)在 ABD 中，因 为 ADBD，EFAD，所 以EFBD.在BCD中，因为CDCB，F为BD的中点，所以CFBD.因为EF平面EFC，CF平面EFC，EF与CF交于点F，所以BD平面EFC.又因为BD平面BCD，所以平面EFC平面BCD.专题九 数学思想方法 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)评析 在立体几何证明中，两类转化关系相当重要：线线平行线面平行面面平行线线垂直线面垂直面面垂直专题九 数学思想方法 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)