1、单元素养评价(二)(第二章)(120分钟150分)一、选择题(每小题5分,共60分)1.数列-2,1,-,-的一个通项公式为()A.an=(-1)n+1B.an=(-1)nC.an=(-1)nD.an=(-1)n+1【解析】选C.根据题意,数列-2,1,-,-的前5项可以写成(-1)1,(-1)2,(-1)3,(-1)4,(-1)5,则数列的一个通项公式可以为an=(-1)n.2.在等差数列an中,若a3=2,a6=4,则等差数列an的公差d=()A.B.1C.D.【解析】选C.因为在等差数列an中,a3=2,a6=4,所以等差数列an的公差d=.3.已知等比数列an前9项的积为512,且a8
2、=32,则a2=()A.B.C.D.【解析】选B.根据题意,等比数列an前9项的积为512,即a1a2a3a4a5a6a7a8a9=(a5)9=512,解得:a5=2,则a2a8=4,若a8=32,则a2=.4.若1,a,3成等差数列,1,b,4成等比数列,则的值为()A.B.C.1D.1【解析】选D.由题知2a=1+3,所以a=2.由b2=4得b=2,所以=1.5.设等差数列an的前n项和为Sn,若a2+a8=15-a5,则S9等于()A.18B.36C.45D.60【解析】选C.因为a2+a8=15-a5,a2+a8=2a5,所以a5=5,所以S9=2a5=45.6.在等差数列an中,若a
3、6,a7是方程x2+3x-1=0的两根,则an的前12项的和为()A.6B.18C.-18D.-6【解析】选C.在等差数列an中,a6,a7是方程x2+3x-1=0的两根,所以a6+a7=-3,所以an的前12项的和为S12=(a1+a12)=(a6+a7)=(-3)=-18.7.已知等比数列an的前n项和为Sn=3n+a,则数列的前n项和为()A.B.C.D.9n-1【解析】选A.依题意,等比数列an的前n项和为Sn=3n+a,所以a1=3+a,a2=(9+a)-(3+a)=6,a3=(27+a)-(9+a)=18,所以=a1a3得a=-1,所以a1=2,q=3,所以数列的首项为4,公比为9
4、,所以数列的前n项和Tn=.8.已知数列an的通项公式为an=(nN*),则满足an+1an0的n的最大值为()A.11B.12C.13D.24【解析】选A.an=(nN*),n12时an0且单调递增,n13时,anan0的n的取值为n11,n的最大值为11.9.我国古代数学著作九章算术有如下问题:“今有金箍,长五尺,斩本一尺,重四斤,斩末一尺,重二斤,问次一尺各重几何?”意思是:“现有一根金杖,长5尺,一头粗,一头细,在粗的一端截下1尺,重4斤;在细的一端截下1尺,重2斤;问依次每一尺各重多少斤?”设该金杖由粗到细是均匀变化的,其质量为M,现将该金枝截成长度相等的10段,记第i段的质量为ai
5、(i=1,2,10).且a1a2a3a)以及常数x(0x1)确定实际销售价格c=a+x(b-a),这里,x被称为乐观系数.经验表明,最佳乐观系数x恰好使得(c-a)是(b-c)和(b-a)的等比中项,据此可得最佳乐观系数x的值等于.【解析】因为c-a=x(b-a),b-c=(b-a)-x(b-a),(c-a)是(b-c)和(b-a)的等比中项,所以x(b-a)2=(b-a)2-x(b-a)2,所以x2+x-1=0,解得x=,因为0x0),则由a3=4及a4=a2+6得4q=+6,化简得2q2-3q-2=0,解得q=2或q=-(舍去),于是a1=1,所以Sn=2n-1,nN*.(2)由已知b1=
6、S1=1,bn+1-bn=Sn=2n-1(nN*),所以当n2时,由累加法得bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+(b2-b1)+b1=(2n-1+2n-2+21)-(n-1)+1=-n+2=2n-n,又b1=1也适合上式,所以bn的通项公式为bn=2n-n,nN*.20.(12分)Sn为等比数列an的前n项和,已知a4=9a2,S3=13,且公比q0.(1)求an及Sn;(2)是否存在常数,使得数列Sn+是等比数列?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)由题意可得,解得a1=1,q=3,所以an=3n-1,Sn=.(2)假设存在常数,使得数列Sn+是等比数列,因为S
7、1+=+1,S2+=+4,S3+=+13,所以(+4)2=(+1)(+13),解得=,此时Sn+=3n,则=3,故存在常数,使得数列是等比数列.21.(12分)在数列an中,Sn为an的前n项和,2Sn+2n=3an(nN*).(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=,数列bn的前n项和为Tn,证明Tn.【解析】(1)因为2Sn+2n=3an,所以2Sn+1+2(n+1)=3an+1,两式相减得an+1=3an+2,所以an+1+1=3(an+1),因为2S1+2=3a1,解得a1=2.所以数列an+1是以3为首项,3为公比的等比数列,所以an=3n-1.(2)bn=,所以Tn=-+-+-=-.22.(12分)已知函数f(x)满足f(x+y)=f(x)f(y)且f(1)=.(1)当nN*时,求f(n)的表达式;(2)设an=nf(n),nN*,求证:a1+a2+a3+an2.【解析】(1)已知函数f(x)满足f(x+y)=f(x)f(y)且f(1)=.令x=n,y=1,得:f(n+1)=f(n)f(1)=f(n),所以数列f(n)是以f(1)=为首项,为公比的等比数列.所以f(n)=.(2)设Tn=a1+a2+an,因为an=nf(n)=n(nN*).所以Tn=+2+3+n,Tn=+2+3+n,两式相减得Tn=+-n=-n=1-n,所以Tn=2-n2.
