1、正 弦 定 理(20分钟35分)1.在ABC中,B=135,C=15,a=3,则边b=()A.5B.4C.3D.2【解析】选C.因为B=135,C=15,所以A=180-B-C=30,所以由正弦定理=可得b=3.【补偿训练】在ABC中,已知a=8,B=60,C=75,则b等于()A.4B.4C.4D.【解析】选C.A=180-(B+C)=45.然后利用正弦定理求出b=4.2.在ABC中,a=80,b=100,A=45,则此三角形解的情况是()A.一解B.两解C.一解或两解D.无解【解析】选B.由题意知,a=80,b=100,A=45,所以bsin A=100=5080,如图因为bsin Aa0
2、,所以b=a=或0bsin AB.a=bsin AC.absin AD.absin A【解析】选D.由正弦定理=,得a=,在ABC中,因为0sin B1,所以1,所以absin A.4.在ABC中lg(sin A+sin C)=2lg sin B-lg(sin C-sin A),则ABC的形状为()A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形【解析】选B.因为lg(sin A+sin C)=lg,所以sin2C-sin2A=sin2B,结合正弦定理得c2=a2+b2,所以ABC为直角三角形.【误区警示】本题容易因对数运算公式遗忘从而造成计算出错.5.已知a,b,c分别为ABC的
3、三个内角A,B,C的对边,已知C=45,c=,a=x,若满足条件的三角形有两个,则x的取值范围是()A.x2B.x1C.1x2D.1x【解析】选A.在ABC中,由C=45,c=,a=x,则asin C=xsin 45=x,要使得三角形有两个,则满足xcx,即xx,解得x2,即实数a的取值范围是(,2).二、填空题(每小题5分,共15分)6.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若A=,B=,a=3,则b=.【解析】在ABC中,由正弦定理得=,所以b=2.答案:27.在ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=csin A,则的最大值为.【解题指南】
4、由正弦定理的边化角公式以及两角和的正弦公式整理得出C=90,再次利用边化角公式化简,结合辅助角公式得出=sin,由B+的范围确定其最大值即可.【解析】由正弦定理边化角公式得sin Bcos C+cos Bsin C=sin Csin A,则sin(B+C)=sin Csin A,即sin A=sin Asin C,因为0A0,所以0B,所以cos B1.因为=2cos B,所以12cos B2,故12.答案:(1,2)三、解答题(每小题10分,共20分)9.在ABC中,(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),试判断ABC的形状.【解析】由(a2+b2)sin(A-B)=
5、(a2-b2)sin(A+B),得a2sin(A+B)-sin(A-B)=b2sin(A+B)+sin(A-B),所以a2cos Asin B=b2sin Acos B.由正弦定理得sin2Acos Asin B=sin2Bsin AcosB.因为0A,0B0,sin B0,02A2,02B2,所以sin Acos A=sin Bcos B,即sin 2A=sin 2B.所以2A=2B或2A+2B=,即A=B或A+B=.所以ABC为等腰三角形或直角三角形.10.已知下列各三角形中的两边及其中一边的对角,判断三角形是否有解,有解的作出解答.(1)a=10,b=20,A=80.(2)a=2,b=6,A=30.【解析】(1)a=10,b=20,ab,A=8020sin 60=10,所以absin A,所以本题无解.(2)a=2,b=6,ab,A=30bsin A,所以bsin Aab,所以本题有两解.由正弦定理得sin B=,又因为0B180,所以B=60或B=120.当B=60时,C=90,c=4;当B=120时,C=30,c=2.所以当B=60时,C=90,c=4;当B=120时,C=30,c=2.
