1、三十六组合的简单应用 (15分钟30分)1要将甲、乙、丙、丁4名同学分到A，B，C三个班级中，要求每个班级至少分到一人，则甲被分到A班的分法种数为()A6B12C24D36【解析】选B.甲和另一个人一起分到A班有CA6种分法，甲一个人分到A班的方法有：CA6种分法，共有12种分法【发散拓】解答排列、组合应用题要从“分析”“分辨”“分类”“分步”的角度入手(1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“对象”，哪些是“位置”(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些对象的位置有、无限制等(3)“分类”就是将较复杂的应用题中的对象分成互相排斥的几类，然后逐类解决(4)“分步”就是把问题化成几个互
2、相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决2某密码锁共设四个数位，每个数位的数字都可以是1，2，3，4中的任一个现密码破译者得知：甲所设的四个数字有且仅有三个相同；乙所设的四个数字有两个相同，另两个也相同；丙所设的四个数字有且仅有两个相同；丁所设的四个数字互不相同则上述四人所设密码最安全的是()A甲 B乙 C丙 D丁【解析】选C.甲共有CCC48种不同设法，乙共有36种不同设法，丙共有CCA144种不同设法，丁共有A24种不同设法，所以丙最安全. 3在直角坐标平面xOy中，平行直线xn(n0，1，2，5)与平行直线yn(n0，1，2，5)组成的图形中，矩形共有_个【解析】在垂
3、直于x轴的6条直线中任取2条，在垂直于y轴的6条直线中任取2条，四条直线相交得出一个矩形，所以矩形总数为CC1515225个答案：2254现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加厦门市华侨博物院志愿者服务活动，每人从事礼仪、导游、翻译、讲解四项工作之一，每项工作至少有一人参加甲、乙不会导游但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是_(用数字作答)【解析】根据题意，分情况讨论，(1)甲、乙一起参加除了导游的三项工作之一有CA18种安排方案；(2)甲、乙不同时参加一项工作，进而又分为2种情况：丙、丁、戊三人中有两人承担同一份工作，有ACA323236种安排方案；甲或乙与丙
4、、丁、戊三人中的一人承担同一份工作，有ACCA72种安排方案由分类加法计数原理，可得共有183672126种不同的安排方案答案：1265对于各数互不相等的正整数组(i1，i2，in)(n是不小于2的正整数)，如果在pq时有ipiq，则称ip和iq是该数组的一个“好序”，一个数组中“好序”的个数称为此数组的“好序数”，例如，数组(1，3，4，2)中有好序“1，3”，“1，4”，“1，2”，“3，4”，其“好序数”等于4.若各数互不相等的正整数组(a1，a2，a3，a4，a5，a6)的“好序数”等于2，求(a6，a5，a4，a3，a2，a1)的“好序数”【解析】因为各数互不相等的正整数组(a1，a
5、2，a3，a4，a5，a6)的“好序数”等于2，(a6，a5，a4，a3，a2，a1)中任取两个的组合有C15个，所以(a6，a5，a4，a3，a2，a1)的“好序数”是15213个 (30分钟60分)一、单选题(每小题5分，共20分)1设集合A(x1，x2，x3，x4，x5)|xi1，0，1，i1，2，3，4，5，那么集合A中满足条件“1|x1|x2|x3|x4|x5|3”的元素个数为()A60 B90 C120 D130【解题指南】题设条件1|x1|x2|x3|x4|x5|3意味着x1，x2，x3，x4，x5有4个，3个，2个元素为0.【解析】选D.集合A中元素为有序数组(x1，x2，x3
6、，x4，x5)，题中要求有序数组的5个数中仅1个数为1，仅2个数为1或仅3个数为1，所以共有C2C22C222130个元素2在同一个袋子中含有不同标号的红、黑两种颜色的小球共8个，从红球中选取2个，从黑球中选取1个，共有30种不同的选法，其中黑球至多有()A2个B4个C3个D5个【解析】选C.设黑球有x个，则红球有(8x)个，则CC30，由于0x8，xN*，所以容易检验，当x2，3时，等式CC30成立，所以黑球至多有3个【类题通】(1)组合问题的常见题型有“必选问题”“不选问题”“恰选问题”“至多问题”“至少问题”“既有，又有问题”，在解题时应加以区别，正确解答(2)“至多问题”“至少问题”“
7、既有，又有问题”一般都有直接法和间接法两种做法，应根据具体情况进行选择3在200件产品中有3件次品，现从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有()ACC种B种CCC种 D种【解析】选D.根据题意，“至少有2件次品”可分为“有2件次品”与“有3件次品”两种情况，“有2件次品”的抽取方法有CC种，“有3件次品”的抽取方法有CC种，则共有CCCC种不同的抽取方法【补偿训练】用黄、蓝、白三种颜色粉刷6间办公室，一种颜色粉刷3间，一种颜色粉刷2间，一种颜色粉刷1间，则粉刷这6间办公室不同的安排方法有()ABCCCCCCCA DAAA【解析】选C.先固定一种粉刷方法，如黄色粉刷3间，蓝色粉刷2间，白色
8、粉刷1间则有CCC种，三种颜色互换有A种方法，由分步乘法计数原理知，不同的方法有CCCA种4中国足球超级联赛的计分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分某赛季甲球队打完15场比赛后，球队积分是30分，则该队胜、负、平的情况共有()A3种B4种C5种D6种【解题指南】首先该球队胜x场、平y场、负z场，则x，y，z是非负整数，根据题意可得方程组然后根据取值范围，结合x，y，z是非负整数即可求得结论【解析】选A.设该球队胜x场、平y场、负z场，则x，y，z是非负整数，且满足由得y3，代入得z2x15，又因为0y15，0z15，所以所以7.5x10，因为x，y，z是非负整数，所以x的值为8，
9、9，10，当x8时，y6，z1；当x9时，y3，z3；当x10时，y0，z5；所以比赛结果是：胜8场、平6场、负1场；胜9场、平3场、负3场，或是胜10场、平0场、负5场，故共有3种情况二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)5有13名医生，其中女医生6人，现从中抽调5名医生组成医疗小组前往湖北疫区，若医疗小组至少有2名男医生，同时至多有3名女医生，设不同的选派方法种数为N，则下列等式能成为N的算式是()ACCCBCCCCCCCCCCCCDCC【解析】选BC.13名医生，其中女医生6人，男医生7人利用直接法，2男3女：CC；3男2女：CC；4男1女
10、：CC；5男：C，所以NCCCCCCC；利用间接法：13名医生，任取5人，减去4，5名女医生的情况，即NCCCC；所以能成为N的算式是BC.6下列说法正确的为()A6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，有CCC种不同的分法B6本不同的书分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本，有CCC种不同的分法C6本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有10种不同的分法D6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有540种不同的分法【解析】选ACD.对于A，6本不同的书中，先取2本给甲，再从剩余的4本中取2本给乙，最后2本给丙，共有CCC种不同的分法，故A正确；对于B，6本不同的书
11、中，先取1本作为一组，再从剩余的5本中取2本作为一组，最后3本作为一组，共有CCC种分组方法，再将3组分给甲、乙、丙三人，共有CCCA种不同的分法，故B不正确；对于C，6本相同的书分给甲、乙、丙三人，利用挡板法有C10种不同的分法，故C正确；对于D，6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，分3种情况讨论：一人4本，其他两人各1本，共有A90种不同的分法；一人1本，一人2本，一人3本，共有CCCA360种不同的分法，每人2本，共有CCC90种不同的分法，故共有9036090540种不同的分法，故D正确三、填空题(每小题5分，共10分)7(2021日照高二检测)为做好社区新冠肺炎疫情防控工作
12、，需将六名志愿者分配到甲、乙、丙、丁四个小区开展工作，其中甲小区至少分配两名志愿者，其他三个小区至少分配一名志愿者，则不同的分配方案共有_种(用数字作答)【解析】若甲小区分配3人，甲小区有C种情况，剩下的3个小区有A种情况，此时有CA120种分配方法，若甲小区分配2人，甲小区有C种情况，剩下的3个小区有CA种情况，此时有CCA540种分配方法，则有120540660种不同的分配方法答案：6608.工人在安装一个正六边形零件时，需要固定如图所示的六个位置的螺丝，首先随意拧一个螺丝，接着拧它对角线上的(距离它最远的，下同)螺丝，再随意拧第三个螺丝，第四个也拧它对角线上的螺丝，第五个和第六个以此类推
13、，则不同的固定方式有_种【解析】先随意拧一个螺丝，接着拧它对角线上的，有C种方法，再随意拧第三个螺丝和其对角线上的，有C种方法，然后随意拧第五个螺丝和其对角线上的，有C种方法，所以总共的固定方式有CCC48种答案：48四、解答题(每小题10分，共20分)9有五张卡片，它们的正、反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9.将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？【解析】依0与1两个特殊值分析，可分三类：(1)取0不取1，可先从另四张卡片中选一张作百位，有C种方法；0可在后两位，有C种方法；最后需从剩下的三张中任取一张，有C种方法；又除含0的那张外，其他两张都有正面
14、或反面两种可能，故此时可得不同的三位数有CCC22个.(2)取1不取0，同上分析可得不同的三位数有C22A个(3)0和1都不取，有不同的三位数C23A个综上所述，不同的三位数共有CCC22C22AC23A432个10有8名男生和5名女生，从中任选6人(1)有多少种不同的选法？(2)其中有3名女生，有多少种不同的选法？(3)其中至多有3名女生，有多少种不同的选法？(4)其中有2名女生，4名男生，分别负责6种不同的工作，共有多少种不同的分工方法？(5)其中既有男生又有女生，有多少种不同的选法？【解析】(1)符合题意的选法有C1 716种(2)第1步，选出女生，有C种；第2步，选出男生，有C种由分步
15、乘法计数原理知，符合题意的选法有CC560种(3)至多有3名女生包括：没有女生，1名女生，2名女生，3名女生四类情况第1类没有女生，有C种；第2类1名女生，有CC种；第3类2名女生，有CC种；第4类3名女生，有CC种由分类加法计数原理知，符合题意的选法共有CCCCCCC1 568种(4)第1步，选出符合题意的6人，有CC种；第2步，给这6人安排6种不同的工作，有A种由分步乘法计数原理知，符合题意的分工方法共有CCA504 000种(5)用间接法，排除掉全是男生的情况和全是女生的情况即是符合题意的选法而由题意知不可能6人全是女生，所以只需排除全是男生的情况，所以有CC1 716281 688种选
16、法1集合S1，2，3，20的4元子集Ta1，a2，a3，a4中，任意两个元素的差的绝对值都不为1，这样的4元子集的个数为_个【解题指南】不妨设a1a2a3a4，有a2a12，a3a22，a4a32，a1，a21，a32，a43相当于从1，2，3，4，17中任意选出4个，所有的取法共有C种，运算求得结果【解析】不妨设a1a2a3a4，由于任意两个元素的差的绝对值都不为1，故有a2a12，a3a22，a4a32，将a2，a3，a4分别减去1，2，3，这时a1，a21，a32，a43相当于从1，2，3，4，17中任意选出4个，所有的取法共有C2 380种不同的取法故这样的4元子集有2 380个答案：
17、2 3802如图，从左到右有5个空格(1)若向这5个格子中填入0，1，2，3，4五个数，要求每个数都要用到，且第三个格子不能填0，则一共有多少种不同的填法？(2)若给这5个空格涂上颜色，要求相邻格子不同色，现有红、黄、蓝3种颜色可供使用，问一共有多少种不同的涂法？(3)若向这5个格子中放入7个不同的小球，要求每个格子里都有球，问有多少种不同的放法？ 【解题指南】(1)根据题意，分2步进行分析：分析0；将其余的4个数字全排列，安排在其他四个格子中，由分步乘法计数原理计算可得答案；(2)根据题意，依次分析5个格子的涂色方法数目，由分步乘法计数原理计算可得答案；(3)根据题意，分2步进行分析：将7个
18、小球分成5组，有2种分法，分组时，注意平均分组问题；将分好的5组全排列，对应5个空格，由分步乘法计数原理计算可得答案【解析】(1)根据题意，分2步进行分析：第三个格子不能填0，则0有4种选法；将其余的4个数字全排列，安排在其他四个格子中，有A种情况，则一共有4A96种不同的填法(2)根据题意，第一个格子有3种颜色可选，即有3种情况，第二个格子与第一个格子的颜色不能相同，有2种颜色可选，即有2种情况，同理可得：第三、四、五个格子都有2种情况，则五个格子共有3222248种不同的涂法(3)根据题意，分2步进行分析：将7个小球分成5组，有2种分法：若分成2，2，1，1，1的5组，有种分组方法，若分成3，1，1，1，1的5组，有C种分组方法，则共有种分组方法，将分好的5组全排列，对应5个空格，有A种情况，则一共有A16 800种放法
