1、第一次月考数学理试题【湖北版】一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1A1i B1i C1i D1i2已知集合A1，a，B1，2，3，则“a3”是“AB”的A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件3已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数3，3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是A0.4x2.3 B2x2.4 C2x9.5 D0.3x4.44已知向量a，b的夹角为45，且|a|1，|2ab|，则|b|A B2 C3 D45若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为AB5CD46在
2、ABC中，AC，BC2，B60，则BC边上的高等于A B C D7x，y满足约束条件若zyax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为A或1 B2或 C2或1 D2或18如图，互不相同的点A1，A2，An，和B1，B2，Bn，分别在角O的两条边上，所有AnBn相互平行，且所有梯形AnBnBn1An1的面积均相等设OAnan，若a11，a22，则a9A B C5 D29已知F为抛物线y2x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，2（其中O为坐标原点），则AFO与BFO面积之和的最小值是A B C D10已知函数f(x)x2ex（x0）与g(x)x2ln(xa)的图象上存在关于y轴对称的点，
3、则a的取值范围是A(，) B(，) C(，) D(，)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分请将答案填在答题卡对应题号的位置上答错位置，书写不清，模棱两可均不得分11设二项式()5的展开式中常数项为A，则A 12如果执行如图所示的程序框图，输入x1，n3，则输出的数S 13正方形的四个顶点A(1，1)，B(1，1)，C(1，1)，D(1，1)分别在抛物线yx2和yx2上，如图所示若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是 14已知椭圆C：1，点M与C的焦点不重合若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|BN| 15平面几何中有如下
4、结论：如图1，设O是等腰RtABC底边BC的中点，AB1，过点O的动直线与两腰或其延长线的交点分别为Q，R，则有2类比此结论，将其拓展到空间有：如图2，设O是正三棱锥A-BCD底面BCD的中心，AB，AC，AD两两垂直，AB1，过点O的动平面与三棱锥的三条侧棱或其延长线的交点分别为Q，R，P，则有 三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16（本小题满分12分）已知函数f(x)cosx(sinxcosx)（）若sin()，且0，求f()的值；（）当f(x)取得最小值时，求自变量x的集合17（本小题满分12分）已知数列an的前n项和为Sn，a11，an0，ana
5、n1Sn1，其中为常数（）证明：an2an；（）当为何值时，数列an为等差数列？并说明理由18（本小题满分12分）如图，在三棱锥P-ABQ中，PB平面ABQ，BABPBQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连结GH（）求证：ABGH；（）求平面PAB与平面PCD所成角的正弦值19（本小题满分12分）在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表： （）设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；（）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季
6、中至少有2季的利润不少于2000元的概率20（本小题满分13分）如图，动点M与两定点A(1，0)，B(2，0)构成MAB，且MBA2MAB设动点M的轨迹为C（）求轨迹C的方程；（）设直线y2xm（其中m2）与y轴相交于点P，与轨迹C相交于点Q，R，且|PQ|PR|，求的取值范围21（本小题满分14分）已知函数f(x)axxlnx的图象在点xe（e为自然对数的底数）处的切线的斜率为3（）求实数a的值；（）若f(x)kx2对任意x0成立，求实数k的取值范围；（）当nm1（m，nN*）时，证明：参考答案一、选择题1B 2A 3A 4C 5D6B 7D 8C 9B 10B二、填空题1110 124 1
7、3 148 153三、解答题16（本小题满分12分）解：（）0， 2分sin()，即 4分f()cos(sincos)cos(sincos)6分（）f(x)sinxcosxcos2xsin2x 7分sin2xcos2xsin(2x) 8分当2x2k，kZ，即xk，kZ时，f(x)取得最小值， 10分此时自变量x的集合为x|xk，kZ12分17（本小题满分12分）解：（）由题设，anan1Sn1，an1an2Sn11 2分两式相减，得an1(an2an)an1 3分由于an10，所以an2an4分（）由题设，a11，a1a2S11，可得a21 5分由（）知，a31令2a2a1a3，解得4 6分故
8、an2an4，由此可得a2n1是首项为1，公差为4的等差数列，a2n14n3；7分a2n是首项为3，公差为4的等差数列，a2n4n18分所以an2n1，an1an2 10分因此当4时，数列an为等差数列12分18（本小题满分12分）解：（）D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，1分EFAB，DCAB， 2分EFDC又EF 平面PCD，DC平面PCD， EF平面PCD 3分又EF 平面EFQ，平面EFQ平面PCDGH，4分EFGH又EFAB，ABGH6分（）在ABQ中，AQ2BD，ADDQ，ABQ90，即ABBQ又PB平面ABQ，BA，BQ，BP两两垂直以B为坐标原点，分别以BA，B
9、Q，BP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系设BABQBP2，则B(0，0，0)，Q(0，2，0)，D(1，1，0)，C(0，1，0)，P(0，0，2)，(注：坐标写对给2分)(1，1，2)，(0，1，2)8分设平面PCD的一个法向量为n(x，y，z)，由n0，n0，得取z1，得n(0，2，1)10分又(0，2，0)为平面PAB的一个法向量，cosn，故平面PAB与平面PCD所成角的正弦值为12分19（本小题满分12分）解：（）设A表示事件“作物产量为300kg”，B表示事件“作物市场价格为6元/kg”，由题设知P(A)0.5，P(B)0.4（注：基本事件叙述各1分）2分利
10、润产量市场价格成本，X所有可能的取值为5001010004000，500610002000，3001010002000，30061000800 4分P(X4000)P()P()(10.5)(10.4)0.3，P(X2000)P()P(B)P(A)P()(10.5)0.40.5(10.4)0.5，P(X800)P(A)P(B)0.50.40.2X的分布列为X40002000800P0.30.50.26分（注：每个概率1分）（）设Ci表示事件“第i季利润不少于2000元”（i1，2，3），8分由题意知C1，C2，C3相互独立，由（）知，P(Ci)P(X4000)P(X2000)0.30.50.8（
11、i1，2，3）这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为PC0.83C0.820.20.5120.3840.89612分20（本小题满分13分）解：（）设M的坐标为(x，y)，显然有x0，且y01分当MBA90时，点M的坐标为(2，3)2分当MBA90时，x2，由MBA2MAB，有tanMBA，即，4分化简可得，3x2y230而点(2，3)在曲线3x2y230上，5分综上可知，轨迹C的方程为x21（x1）6分（）由消去y并整理，得x24mxm230（*）7分由题意，方程（*）有两根且均在(1，)内设f(x)x24mxm23，解得m1，且m29分m2，1m2 10分设Q，R的坐标分别为(x
12、Q，yQ)，(xR，yR)，由|PQ|PR|及方程（*）有xR2m，xQ2m，1由1m2，得11712分故的取值范围是(1，7)13分21（本小题满分14分）解：（）求导数，得f (x)alnx1 1分由已知，得f (e)3，即alne13a12分（）由（），知f(x)xxlnx，f(x)kx2对任意x0成立k对任意x0成立，4分令g(x)，则问题转化为求g(x)的最大值求导数，得g(x)，令g(x)0，解得x15分当0x1时，g(x)0，g(x)在(0，1)上是增函数；当x1时，g(x)0，g(x)在(1，)上是减函数6分故g(x)在x1处取得最大值g(1)1k1即为所求8分（）令h(x)，则h(x)9分由（），知x1lnx（x0），h(x)0，10分h(x)是(1，)上的增函数nm1，h(n)h(m)，即，11分mnlnnnlnnmnlnmmlnm，12分即mnlnnmlnmmnlnmnlnn，即lnnmnlnmmlnmmnlnnn，即ln(mnn)mln(nmm)n， 13分(mnn)m(nmm)n，14分7
