1、专题四 数列 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)专题四 数列 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)专题四 数列 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)专题四 数列 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)1数列的概念和简单表示法(1)了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式)(2)了解数列是一种特殊函数2等差数列、等比数列(1)理解等差数列、等比数列的概念(2)掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式3了解数列求和的基本方法专题四 数列 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)专题四 数列 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)本部分考查的内容主要是:(1)等差数列、等
2、比数列的基本知识(定义、通项公式、前n项和公式)(2)能转化成等差数列、等比数列的递推数列的通项公式,本部分的考题一般是一个选择,一个填空题,以中、低档题为主专题四 数列 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)专题四 数列 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)1等差数列(1)定义式:an1and(nN*,d为常数);(2)通项公式:ana1(n1)d;(3)前n项和公式:Snna1an2na1nn1d2;(4)等差中项公式:2anan1an1(nN*,n2);(5)性质:anam(nm)d(n,mN*);若mnpq,则amanapaq.专题四 数列 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)2等
3、比数列(1)定义式:an1an q(nN*,q为非零常数);(2)通项公式:ana1qn1;(3)前n项和公式:Snna1 q1a11qn1qq1;专题四 数列 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)(4)等比中项公式:a2nan1an1(nN*,n2);(5)性质:anamqnm(n,mN*);若mnpq,则amanapaq(p,q,m,nN*)注意:(1)a2nan1an1是an1,an,an1成等比数列的必要不充分条件(2)利用等比数列前n项和的公式求和时,不可忽视对公比q是否为1的讨论专题四 数列 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)专题四 数列 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版
4、)例1(2011福建文,17)已知等差数列an中,a11,a33.(1)求数列an的通项公式;(2)若数列an的前k项和Sk35,求k的值解析(1)设等差数列an的公差为d,则a11,a312d3,d2 an32n.专题四 数列 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)(2)由(1)知an32n,Snn132n2n(2n)由Sk35知,k(2k)35,即k22k350.k7或k5,又kN*.k7.专题四 数列 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)评析(1)在等差、等比数列的通项公式和前n项公式中,有五个量“知三求二”,是基本的思想方法,解决等差、等比数列的有关问题时,先求“基本量”是常用方法(
5、2)对于数列求和应掌握经常使用的方法,如:裂项、叠加、累积本题应用了裂项求和专题四 数列 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)(2011大纲全国卷理,4)设Sn为等差数列an的前n项和,若a11,公差d2,Sk2Sk24,则k()A8 B7 C6 D5答案 D专题四 数列 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)解析 方法一:Sk2Sk(k2)1k2k122k1kk1224k424,k5.方法二:Sk2Skak2ak11(k1)21k24k424,k5.专题四 数列 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)例 2(2011潍坊模拟)已知数列an的首项 a1a,an12an11(nN*,n2)若
6、bnan2(nN*)(1)问数列bn是否能构成等比数列?并说明理由(2)若已知 a11,设数列anbn的前 n 项和为 Sn,求 Sn.专题四 数列 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)解析(1)b1a2,anbn2,bn212(bn12)1,即bn12bn1.所以,当a2时,数列bn能构成等比数列;当a2时,数列bn不能构成等比数列专题四 数列 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)(2)当a1,得bn(12)n1,an2(12)n1,anbn(14)n12(12)n1,所以Sn114n1142112n11243(1 14n)4(112n)8343 14n 42n.专题四 数列 走向高考二
7、轮专题复习 数学(新课标版)评析 证明数列an为等比数列的方法(1)证明an1an q(与n值无关的非零常数)(2)a2nan1an1(等比中项)(n2,nN)专题四 数列 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)设数列an满足:a13a232a33n1ann3,nN*.(1)求数列an的通项;(2)设bnnan,求数列bn的前n项和Sn.专题四 数列 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)分析 已知前n项和Sn,可用公式anS1 n1SnSn1n2求通项对anbn(其中an为等差数列,bn为等比数列)型数列求和,采取错位相减法专题四 数列 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)解析(1)a13
8、a232a33n1ann3a13a232a33n2an1n13(n2)得:3n1ann3n13 13(n2)an13n(n2)易验证n1时也满足上式an13n(nN*)专题四 数列 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)(2)bnn3nSn13232333n3n3Sn132233(n1)3nn3n1得2Sn332333nn3n12Sn313n13 n3n1Snn23n1143n1342n143n134.专题四 数列 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)评析 在已知前n项和Sn求数列通项an时,要注意对n1时情形的讨论当n1时的情形符合n2时的表达式时,二者可合为一个统一的表达式否则应以分段函
9、数的形式呈现在考查求和时,除了错位相减法之外,累加法、拆项转化法、裂项相消法也是考查热点.专题四 数列 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)例3(2011辽宁理,17)已知等差数列an满足a20,a6a810.(1)求数列an的通项公式;(2)求数列 an2n1的前n项和专题四 数列 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)解析(1)设等差数列an的公差为d.由已知条件可得a1d0,2a112d10,解得a11,d1.故数列an的通项公式为an2n.专题四 数列 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)(2)设数列an2n1 的前n项和为Sn,即Sna1a22 an2n1,故S11,Sn2 a1
10、2 a24 an2n.所以,当n1时,Sn2 a1a2a12anan12n1an2n专题四 数列 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)1(1214 12n1)2n2n1(1 12n1)2n2n n2n.所以Sn n2n1.综上,数列an2n1 的前n项和Sn n2n1.专题四 数列 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)(2011河北衡水)已知数列an是等比数列,其前n项和为Sn,a12a20,S4S218.(1)求数列an的通项公式;(2)求数列anSn的前n项和;(3)求使不等式an 116成立的n的集合专题四 数列 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)解析(1)设等比数列an的公比是
11、q,因为a12a20,且a10,所以qa2a112.因为S4S218,所以a11q41qa1(1q)18,将q12代入上式,解得a11,所以ana1qn1(12)n1(nN*)专题四 数列 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)(2)由于an(12)n1,Sn231(12)n,anSn23(12)n1(12)2n1,故a1S1a2S2anSn8949(12)n49(14)n.专题四 数列 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)(3)an 116(12)n1 116.显然当n是偶数时,此不等式不成立当n是奇数时,(12)n1 116(12)n1(12)4n5,但n是正整数,所以n1,3,5.综上
12、,使原不等式成立的n的集合为1,3,5.专题四 数列 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)例4(2011福建厦门质检)将数列an中的所有项按每一行比上行多一项的规则排成如下数表:a1a2 a3a4 a5 a6a7 a8 a9 a10专题四 数列 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)记表中的第一列数a1,a2,a4,a7,构成的数列为bn,b1a11,Sn为数列bn的前n项和,且满足2bnbnSnS2n1(n2)(1)证明数列 1Sn 成等差数列,并求数列bn的通项公式;(2)上表中,若从第三行起,每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列,且公比为同一个正数当a81 491时,求上表中第k
13、(k3)行所有项的和专题四 数列 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)分析(1)巧妙地对2bnbnSnS2n1(n2)变形得到1Sn是等差数列,进而求出bn.(2)通过此表的分析得出a81在表中的位置,即确定首项和公比,求出第k行的所有项的和专题四 数列 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)解析(1)证明:由已知,当n2时,2bnbnSnS2n1,又Snb1b2bn,所以2SnSn1SnSn1SnS2n1,即2SnSn1Sn1Sn 1,所以 1Sn 1Sn112.又S1b1a11,所以数列1Sn是首项为1,公差为12的等差数列专题四 数列 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)由上可知 1
14、Sn112(n1)n12,即Sn 2n1.所以当n2时,bnSnSn1 2n12n2nn1.因此bn1 n12nn1n2.专题四 数列 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)(2)解:设上表中从第三行起,每行的公比都为q,且q0.因为12121213278,所以表中第1行至第12行共含有数列an的前78项,故a81在表中第13行第3列,因此a81b13q2 491.又b1321314,所以q2.记表中第k(k3)行所有项的和为S,则Sbk1qk1q2kk112k122kk1(12k)(k3)专题四 数列 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)评析 数列项的变化呈规律性,这是等差、等比数列的特征
15、,在高考中,这种变化的规律性经常用数表或图形给出,也可以是给出信息根据新信息解题,对考查学生的创新能力提出了较高的要求新课标教材的学习,十分重视创新、立意鲜明、背景鲜明、设问灵活解这类问题要先读懂题意,从题目中获取有用信息,然后根据相关知识作进一步的演算和推理,综合运用新的信息和数学知识分析,解决新情境问题专题四 数列 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)已知数集Aa1,a2,an(1a1a2an,n2)具有性质P:对任意的i,j(1ijn),aiaj与 aiaj 两数中至少有一个属于A.(1)分别判断数集1,3,4与1,2,3,6是否具有性质P,并说明理由;(2)证明:a11,且 a1a2
16、ana11 a12 a1n an;(3)证明:当n5时,a1,a2,a3,a4,a5成等比数列专题四 数列 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)解析(1)由于34与43均不属于数集1,3,4,该数集不具有性质P.由于12,13,16,23,62,63,11,22,33,66都属于数集1,2,3,6,该数集具有性质P.专题四 数列 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)(2)Aa1,a2,an具有性质P,anan与 anan中至少有一个属于A.由于1a1a2an,故ananA.从而1ananA,a11.1a2a2an,故akanA(k2,3,n)由A具有性质P可知anakA(k2,3,n)专题
17、四 数列 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)又anan anan1ana2ana1,anan1,anan1a2,ana2an1,ana1an,从而anan anan1ana2ana1a1a2an1an,a1a2ana11 a12 a1n an.专题四 数列 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)(3)由(2)知,当n5时,有a5a4a2,a5a3a3,即a5a2a4a23.1a1a2a2a4a5,a3a4A.由于A具有性质P可知a4a3A.由a2a4a23,得a3a2a4a3A,且1a3a2a2,a4a3a3a2a2,a5a4a4a3a3a2a2a1a2.即a1,a2,a3,a4,a5是首项为1,公比为a2的等比数列专题四 数列 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)